Graf merupakan pasangan himpunan berhingga yang anggotanya disebut himpunan titik dan himpunan yang anggotanya adalah pasangan titik yang disebut sisi. Banyaknya sisi yang terkait pada satu titik merupakan derajat titik tersebut. Suatu graf yang memiliki 2 titik berderajat 1 dan titik lainnya berderajat 2 disebut lintasan. Jika untuk setiap pasangan titik pada suatu graf terdapat lintasan yang menghubungkannya, maka graf tersebut disebut graf terhubung. Graf terhubung yang setiap titiknya berderajat 2 disebut siklus. Siklus adalah salah satu graf khusus yang istimewa karena setiap titiknya merupakan titik pusat dan pusat berat. Selanjutnya, graf dengan siklus yang memuat semua titik dari graf disebut graf Hamilton. Sedangkan graf yang memuat semua siklus dengan panjang dari 3 sampai n disebut graf pansiklik. Graf non-bipartit dengan derajat terkecil lebih besar atau sama dengan setengah ordenya merupakan graf pansiklik. Setiap graf pansiklik juga merupakan graf Hamilton. Di dalam skripsi ini akan dibahas sifat - sifat siklus dan graf yang memuat semua siklus

Oktaviani, Nur Rohmah

Hasanuddin University Repository

SIFAT – SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS 
Nur Rohmah Oktaviani Putri 
* 
Jurusan Matematika  
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam 
Universitas Hasanuddin 
 
CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES 
Nur Rohmah Oktaviani Putri 
Departement of Mathematics 
Mathematics and Sciences Faculty 
Hasanuddin University 
 
 
Abstrak 
Graf merupakan pasangan himpunan berhingga yang anggotanya disebut himpunan titik dan himpunan yang 
anggotanya adalah pasangan titik yang disebut sisi. Banyaknya sisi yang terkait pada satu titik merupakan derajat titik 
tersebut. Suatu graf yang memiliki 2 titik berderajat 1 dan titik lainnya berderajat 2 disebut lintasan. Jika untuk setiap 
pasangan titik pada suatu graf terdapat lintasan yang menghubungkannya, maka graf tersebut disebut graf terhubung. 
Graf  terhubung yang setiap titiknya berderajat 2 disebut siklus. Siklus adalah salah satu graf khusus yang istimewa 
karena setiap titiknya merupakan titik pusat dan pusat berat. Selanjutnya, graf dengan siklus yang memuat semua titik 
dari graf disebut graf Hamilton. Sedangkan graf yang memuat semua siklus dengan panjang dari 3 sampai   disebut 
graf pansiklik. Graf non-bipartit dengan derajat terkecil lebih besar atau sama dengan setengah ordenya merupakan graf 
pansiklik. Setiap graf pansiklik juga merupakan graf Hamilton. Di dalam skripsi ini akan dibahas sifat -  sifat siklus dan 
graf yang memuat semua siklus. 
Kata Kunci : Graf Hamilton, Graf Pansiklik, Siklus 
 
Abstract 
Graph is a finite set of pairs consisting set vertices and set vertices pair, which is consisted of edges. The 
number of related edge at one vertex derived as the degree of its vertices. A graph that has 2 1-degree vertices and other 
2-degree vertices is termed as path. If any pair of vertices on a graph is connected by a path, then the graph is called a 
connected graph. A connected graph which consisted by all 2-degree vertex is called cycle. Cycle is the one special 
because every vertex furthered as its central point and its centroid. Furthermore, cycles which contain all the vertices of 
the graph are called Hamilton graph, and the graph that containing all the cycle length within 3 to n is called a pancyclic 
graph, thus the non - bipartite graph with the smallest degree greater or equal than half of its order is also called the 
pancyclic graph. Every pancyclic graph is also Hamiltonian. In this case, this paper will be further explain about the 
properties of cycle and graph which contain the cycle. 
Key Words : Cycle, Hamiltonian  Graph, Pancyclic Graph 
 
 
1.  PENDAHULUAN1 
 
Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri 
dari pasangan himpunan berhingga dari obyek yang 
disebut titik (vertex) dan pasangan titik yang disebut 
sisi (edge). Jumlah sisi yang berkaitan dengan suatu 
titik pada suatu graf disebut derajat. Suatu graf yang 
memiliki 2 titik berderajat 1 dan titik lainnya 
berderajat 2 disebut lintasan. Jika untuk setiap 
pasangan titik u dan v pada suatu graf, terdapat 
lintasan dari u ke v, maka graf tersebut disebut graf 
terhubung. 
Dalam keterhubungan graf, dibahas masalah 
mengenai graf terhubung, diantaranya siklus, graf 
                                                 
*  E-mail : nurrohmah061092@gmail.com  
bipartit, graf roda, graf bintang, graf Hamilton. 
Siklus dapat didefinisikan sebagai suatu graf 
terhubung yang derajat setiap titiknya adalah 2. Graf 
Hamilton memiliki siklus yang memuat setiap titik 
dari graf. Graf bipartit jika memiliki siklus, maka 
siklus tersebut mempunyai panjang genap. Hal 
menarik terkait siklus adalah bagaimana sifat graf 
yang memuat semua siklus, mulai dari siklus 
terkecil sampai siklus terbesar dan apa kaitannya 
dengan graf Hamilton. 
  
 
 
 
 
 2. TINJAUAN PUSTAKA 
 
2.1 Graf dan Unsur – Unsur Graf 
Graf   adalah pasangan himpunan   dan  , 
dengan     dan                . Setiap 
anggota       disebut titik dan setiap      
disebut sisi, sehingga   disebut himpunan titik dan 
  disebut himpunan sisi. Notasi sebuah graf adalah 
       . Jika pada  ,     dan       maka 
  disebut graf sederhana. Jika    , maka sisi    
dinamakan gelang atau loop karena berawal dan 
berakhir pada titik yang sama. Dan jika    
   maka titik   dan   memiliki sisi paralel. Graf   
yang memiliki sisi paralel dan loop disebut 
pseudograf. 
Misalkan   adalah graf dan         . 
Jika          , maka titik   disebut tetangga 
dari  , begitu pula sebaliknya. Sehingga titik   dan 
  disebut bertetangga. Lebih jauh, sisi   disebut 
terkait (incident) dengan   atau  . Banyaknya titik 
dari   disebut orde dari   yang biasanya 
disimbolkan dengan   dan banyaknya sisi dari   
disebut ukuran (      yang disimbolkan dengan 
        
Derajat suatu titik    pada graf  , yang 
dilambangkan dengan        , adalah banyaknya 
sisi         yang terkait dengan titik     Titik suatu 
graf yang berderajat nol disebut titik terasing dan 
graf yang hanya terdiri dari satu titik disebut graf 
trivial. Sedangkan titik yang derajatnya satu disebut 
titik terminal atau titik ujung.  Derajat terkecil dari 
graf   dinotasikan dengan       atau secara 
matematis dapat ditulis 
                              . Sedangkan 
derajat terbesar dari graf   dinotasikan dengan 
     atau                               . 
Teorema 2.1.1 Misalkan   adalah sebarang graf 
berorde   dan berukuran  . Jika      
              maka 
        
 
   
    
 
2.2 Keterhubungan Graf 
Beberapa istilah yang melatarbelakangi 
pembahasan tentang keterhubungan yaitu seperti 
jalan (walk), lintasan (path), jalur (trail), siklus 
(cycle), dan masih banyak lagi. Jalan W pada graf G 
dengan panjang  k adalah barisan barisan berselang-
seling titik dan sisi, yaitu 
                            dengan           
             .  
Dalam hal ini,    disebut titik awal dan    
disebut titik akhir. Sebuah jalan disebut sebagai 
jalan tertutup apabila      . Jalan W disebut 
lintasan (path) bila semua titiknya berbeda. 
Sedangkan jika setiap sisinya yang berbeda maka 
jalan tersebut dinamakan jalur (trail). Jalur yang 
berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut 
sirkuit dengan derajat setiap titik adalah 2.  
Sirkuit yang mengandung titik yang 
berlainan (kecuali titik awal dan akhir) disebut 
siklus (cycle). Panjang siklus dapat dilihat dari 
banyaknya sisi dalam siklus tersebut. Graf yang 
tidak mengandung siklus disebut asiklik.  
Graf   dikatakan terhubung (connected) 
jika untuk setiap dua titik   dan   pada graf tersebut 
terdapat suatu lintasan yang memuat   dan  . Jika   
adalah suatu sisi dalam graf  , maka   –    adalah 
subgraf dari   yang mempunyai banyak titik sama 
dengan   dan mempunyai banyak sisi seperti   
terkecuali sebuah sisi   . 
Misalkan   merupakan suatu graf 
terhubung, dimana         . Jarak dari   ke   di 
 , ditulis       , adalah panjang lintasan terpendek 
dari   ke   di    Eksentrisitas      pada suatu titik 
  adalah nilai                 , atau      
merupakan jarak antara   dengan sebuah titik 
terjauh dari    Radius, atau ditulis        pada   
merupakan eksentrisitas minimum dari titik pada  , 
sementara diameter, atau ditulis        , 
merupakan eksentrisitas maksimum. Dengan kata 
lain,         merupakan jarak terbesar dari setiap 
dua titik pada  . Sebuah titik   dikatakan titik pusat 
(central vertex) jika            .  
Selain beberapa istilah tersebut, pada graf 
terhubung juga dikenal istilah berat dan pusat berat 
(centroid). Berat pada suatu titik atau yang 
disimbolkan dengan      adalah jumlah maksimum 
sisi dalam setiap cabang di  . (Graph Theory, p : 
35). Maka, berat minimum atau yang disimbolkan 
dengan    dapat ditulis                   
     . 
 
2.3 Beberapa Graf Khusus 
Graf siklus adalah graf terhubung yang 
setiap titiknya berderajat dua. Graf siklus berorde n 
dilambangkan dengan C
n
. Graf khusus lainnya 
adalah graf lengkap. Graf   disebut graf lengkap 
apabila setiap 2 titik pada   bertetangga. Graf 
lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan 
K
n
. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n 
buah titik adalah n(n – 1)/2.  
Graf   yang himpunan titiknya dapat 
dipisah menjadi dua himpunan bagian    dan 
    sedemikian sehingga setiap sisi pada   
menghubungkan sebuah titik di    ke sebuah titik di 
   disebut graf bipartit. Salah satu contoh graf 
bipartit adalah graf siklus   . Graf    dapat dilabeli 
sebagai berikut,                     dan 
                         . Himpunan titik 
      dapat dipisah menjadi            dan 
          . Graf bipartit lengkap adalah graf 
bipartit dimana setiap titik pada    terhubung ke 
setiap titik pada   . Jika banyaknya titik pada    
adalah   dan pada    adalah  , maka graf bipartit 
dilambangkan dengan    .  
Teorema 2.3.1  Jika   merupakan graf bipartit, 
maka setiap siklus pada   memiliki panjang genap. 
Teorema 2.3.2   Jika   adalah graf berorde   dan 
berukuran 
  
 
 maka   memuat sebuah siklus ganjil 
atau     
 
 
 
 
. 
Selain graf tersebut, juga terdapat graf 
khusus lainnya, yaitu graf Euler dan graf Hamilton. 
Jalur pada graf   disebut jalur Euler apabila 
melewati setiap sisi di   tepat satu kali. Jika suatu 
jalur Euler berawal dan berakhir pada titik yang 
sama (tertutup), maka jalur itu disebut sirkuit Euler. 
Suatu graf yang memiliki sirkuit Euler disebut graf 
Euler. Sedangkan graf yang hanya memiliki jalur 
Euler disebut graf semi Euler. 
Selain graf Euler, graf yang memiliki sifat 
yang berbeda dengan graf-graf lainnya yaitu graf 
Hamilton. Lintasan Hamilton adalah lintasan yang 
melalui setiap titik di dalam graf tepat satu kali. Bila 
lintasan tersebut kembali ke titik awal membentuk 
siklus, maka siklus tersebut dinamakan siklus 
Hamilton. Graf   disebut graf Hamilton jika   
memuat siklus Hamilton. 
 
2.4 Graf Pansiklik 
Dalam pengertian graf pansiklik terdapat 
istilah girth dan cirmcumference. Karena itu, 
sebelum membahas pengertian graf pansiklik 
terlebih dahulu akan diberikan pengertian girth dan 
circumference. Panjang siklus terbesar pada suatu 
graf   disebut circumference, dinotasikan dengan 
    , sedangkan panjang siklus terkecil disebut 
girth, dinotasikan dengan     .  
Sebuah graf   yang berorde     disebut 
graf pansiklik (pancyclic) jika   memuat semua 
siklus dengan panjang dari   sampai    Dan disebut 
graf pansiklik lemah (weakly pancyclic) jika   
memuat semua siklus     untuk            . 
Gambar 1. Graf Pansiklik 
 
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 
 
3.1 Sifat – sifat Graf Siklus 
Sebelumnya telah dijelaskan tentang 
pengertian jarak, eksentrisitas, radius, diameter, titik 
pusat, dan titik pusat berat. Hal itu berkaitan dengan 
sifat graf siklus berikut. 
Teorema 3.1.1 Setiap titik pada graf siklus 
merupakan titik pusat dan pusat berat. 
Bukti 
Pertama-tama, akan ditunjukkan bahwa 
setiap titik pada graf siklus    merupakan titik 
pusat. Misalkan untuk setiap          dimana 
               maka dapat ditulis       
               . 
Untuk   bernilai genap, misalkan      
dimana           dan     maka akibatnya 
    :     …          …     . Sehingga 
didapatkan : 
          
                              
                       
  
   
  
 
 
 
 
 
          
                             
                      
  
   
  
 
 
 
 
 
: 
          
                        
                      
                 
  
   
  
 
 
 
 
 
 : 
           
                      
                     
              
  
    
  
 
 
 
 
 
Jadi, untuk setiap          
didapatkan      
  
 
  dimana   merupakan 
bilangan asli. Dengan demikian, didapatkan 
                               
  
 
   
Karena              , maka untuk setiap titik   
pada        merupakan titik pusat di      
Kemudian untuk   bernilai ganjil, misalkan 
       dimana            maka akibatnya 
     :     …          …          . Sehingga 
didapatkan 
          
                             
                       
           
  
   
  
 
 
        
 
 
   
 
 
           
                             
                       
           
  
   
  
 
 
        
 
 
   
 
 
: 
           
                         
                      
                      
  
   
  
 
 
        
 
 
   
 
 
 
: 
           
                       
                       
                           
  
   
  
 
 
        
 
 
   
 
      
            
                          
                          
                
  
   
  
 
 
        
 
 
   
 
 
Jadi, untuk setiap 
            didapatkan      
  
 
  dimana   
merupakan bilangan asli. Dengan demikian, 
didapatkan 
                                   
  
 
. 
Karena            , maka untuk setiap titik   
pada          merupakan titik pusat di        
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap 
titik pada graf siklus merupakan pusat berat. Karena 
berawal dan berakhir pada titik yang sama, maka 
jumlah sisi maksimum adalah    Sehingga berat 
minimum setiap titik pada suatu graf siklus    
adalah  . Hal tersebut berlaku untuk setiap titik. 
Maka dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada 
graf siklus juga merupakan pusat berat. 
Dari penjelasan tersebut, maka dapat 
disimpulkan bahwa setiap titik pada graf siklus 
merupakan titik pusat dan pusat berat.    
 
3.2 Sifat – Sifat Graf Hamilton 
Sebuah graf disebut graf Hamilton jika 
memuat siklus Hamilton. Orde terkecil pada graf 
Hamilton yaitu 3 dan setiap graf Hamilton pasti 
memuat lintasan Hamilton, namun hal tersebut tidak 
berlaku sebaliknya. Graf yang hanya memuat 
lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. 
Suatu graf dikatakan non-Hamilton maksimal 
apabila graf tersebut bukan graf Hamilton, namun 
dengan menambahkan sisi yang menghubungkan 
dua titik tak bertetangga, maka akan membentuk 
graf Hamilton. 
Tidak semua jenis graf sederhana juga 
merupakan graf Hamilton. Suatu graf sederhana 
dapat dikatakan sebagai graf Hamilton apabila 
memenuhi sifat pada teorema berikut. 
Teorema 3.2.1  Misalkan   graf sederhana dengan 
orde     . Jika 
                 
untuk setiap pasangan titik tak bertetangga     
pada  , maka   adalah graf Hamilton.  
Bukti 
Asumsikan bahwa teorema tersebut tidak 
benar. Andaikan   bukan graf Hamilton, dan untuk 
setiap 2 titik tak bertetangga   dan   pada  , maka 
     adalah graf Hamilton. Diketahui bahwa 
terdapat graf non Hamilton maksimal   berorde 
     Karena   bukan graf Hamilton, maka   
bukan merupakan graf lengkap.  
Misalkan   dan   merupakan 2 titik tak 
bertetangga pada  . Maka      adalah graf 
Hamilton, dan dengan kata lain, setiap siklus 
Hamilton pada      memuat sisi     Maka 
terdapat sebuah lintasan      yaitu   
             pada   yang memuat semua titik 
pada  . 
Jika                  maka 
           . Sebaliknya,                      
               merupakan siklus Hamilton pada 
 . Karena untuk setiap titik pada               
yang bertetangga dengan    terdapat sebuah titik 
pada                yang tidak bertetangga 
dengan   , maka                       , 
sehingga 
                   
Hal ini kontradiksi, maka   merupakan graf 
Hamilton.       
 
Teorema 3.2.2  (Dirac, 1952) Jika   merupakan 
graf sederhana dengan   titik, dimana     dan 
       
 
 
 untuk setiap titik   pada  , maka   
merupakan graf Hamilton. 
Bukti 
 Ambil sembarang 2 titik di  , misalkan   
dan  . Karena              
 
 
, maka 
              
 
 
 
 
 
 
  
 
    
Menurut Teorema 3.2.1, maka   adalah graf 
Hamilton.       
 
3.3 Sifat – Sifat Graf Pansiklik  
Sebuah graf    yang berorde   
  disebut graf pansiklik (           jika   
memuat semua siklus dengan panjang dari   
sampai    Dan disebut graf pansiklik lemah 
(weakly pancyclic) jika G memuat semua siklus 
    untuk           ). 
Gambar 2. (A) Graf Pansiklik (B) Graf Non-Pansiklik 
 (C) Graf Pansiklik Lemah 
 
 Berikut adalah salah satu sifat graf 
pansiklik. 
Teorema 3.3.1 Misalkan   merupakan graf berorde 
  dan non bipartit. Jika      
 
 
, maka   
merupakan graf pansiklik. 
 
Bukti 
Diketahui   berorde   dan non bipartit. 
Akan ditunjukkan   pansiklik. Karena      
 
 
             maka berlaku 
              
 
 
 
 
 
 
                
Berdasarkan Teorema 3.2.1, maka   merupakan 
graf Hamilton. 
 Selanjutnya, menurut Teorema 2.1.1, 
ukuran dari   yang dinotasikan dengan   adalah 
  
 
. 
        
 
   
    
                                          
Karena              , maka berdasarkan 
persamaan (*) di atas didapatkan : 
                                 
             
     
 
   
    
  
 
 
     
  
 
    
   
  
 
   
Menurut uraian di atas   adalah graf 
Hamilton dengan   
  
 
 dan   bukan graf bipartit. 
Akan ditunjukkan bahwa   pansiklik. Berdasarkan 
Teorema 2.3.1, maka   memuat siklus ganjil. 
Karena   adalah graf Hamilton, maka   memuat 
siklus   .  
Andaikan   tidak memuat siklus       
dimana     dan misalkan    dan      adalah 2 
titik yang berurutan pada   (semua subscript 
dinyatakan sebagai modulo  ). Jika       dan 
      dan    , maka paling banyak satu dari 
     dan          adalah sebuah sisi dari  . 
Oleh karena itu, untuk setiap titik-titik 
dengan            pada                yang 
bertetangga dengan     terdapat sebuah titik pada 
          ,       yang tidak bertetangga dengan 
    . Dan juga                          
    , maka 
                                                           
 Hal tersebut kontradiksi, maka   memuat siklus 
     . 
Misalkan                    
merupakan siklus       pada   dan   adalah titik 
yang tunggal dari   yang tidak terdapat di   . 
Andaikan terdapat    dimana         yang 
tidak memuat  . Maka ketika          
mengakibatkan           untuk         
dan                  . Karenanya 
       
 
 
. Kontradiksi dengan        
 
 
   . 
Jadi, mestilah   terletak pada        dimana 
       .    
 
 
4. KESIMPULAN 
 
Berdasarkan hasil yang telah dibahas pada 
bab sebelumnya, maka dapat ditarik kesimpulan, 
yaitu : 
1. Graf siklus merupakan graf yang setiap 
titiknya merupakan titik pusat dan pusat 
berat. 
2. Graf non-bipartit dengan derajat terkecilnya 
lebih besar atau sama dengan setengah 
ordenya adalah graf pansiklik. 
3. Setiap graf pansiklik  juga merupakan graf 
Hamilton, namun hal tersebut belum tentu 
berlaku sebaliknya. Dan setiap graf 
pansiklik, juga merupakan graf pansiklik 
lemah. 
Catatan : Artikel ini disusun berdasarkan skripsi 
penulis dengan Pembimbing I Dr. Hasmawati, M.Si 
dan Pembimbing II Jusmawati Massalesse, S.Si, 
M.Si. 
 
 
REFERENSI 
 
1. Balakrishnan, R. dan Ranganathan, K. 2012. A 
Textbook of Graph Theory Second Edition. New 
York : Springer. 
2. Bondy, J.A. and Murty, U.S.R. 1976. Graph 
Theory With Application. Britain : The 
Macmillan Press. 
3. Chartrand, Gary, dan Lesniak, Linda. 1996. 
Graph and Digraph. New York : CRC Press. 
4. Chartrand, Gary, dan Zhang, Ping. 2005. 
Chromatic Graph Theory. New York : CRC 
Press. 
5. Graham, R.L., Grotschel, M. dan Lovasz, L. 
1995. Handbooks of Combinatorics Vol 1. 
Amsterdam : Elsevier Science B.V. 
6. Gross, Jonathan L dan Yellen Jay. 2004. 
Handbook of Graph Theory. U.S.A. : CRC 
Press. 
7. Harary, Frank. 1994. Graph Theory. Canada : 
Addison-Wesley Publishing Company. 
8. Hasmawati. 2009. Alternatif Pembuktian dan 
Penerapan Teorema Bondy, Jurnal Ilmiah 
“Elektrikal Enjiniring” Unhas, Indonesia. 
9. Wilson, Robin J. 1999. Introduction to Graph 
Theory. New York : Longman.
 


Sifat - Sifat Graf Yang Memuat Semua SIklus

http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/10732/Jurnal%20Nur%20Rohmah%20%28H11110005%29.pdf?sequence=1

Sifat - Sifat Graf Yang Memuat Semua SIklus

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hasanuddin University Repository