Model SIR untuk penyebaran penyakit flu burung merupakan model matematika yang menjelaskan interaksi antara kelompok populasi burung susceptible (S_b) dan infected (I_b) dengan kelompok populasi manusia susceptible (S_h), infected (I_h), dan recovered (R_h). Titik keseimbangan model meliputi titik keseimbangan bebas penyakit (E) dan titik keseimbangan endemik  (E^+). Dari analisis kestabilan diperoleh bahwa kestabilan titik keseimbangan bergantung pada bilangan reproduksi dasar (R_0). Titik keseimbangan E stabil jika R_0<1 sedangkan titik keseimbangan E^+ stabil jika R_0>1. Simulasi numerik diberikan untuk melihat trayektori populasi di sekitar titik keseimbangan

Mansyur, Abdul Rahman

Hasanuddin University Repository

Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
1
MODEL SIR UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
MANSYUR, A. R.1 , TOAHA, S.2, KHAERUDDIN3
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Hasanuddin, Jln. Perintis Kemerdekaan Km. 10 Makassar 90245, Indonesia
ABSTRAK
Model SIR untuk penyebaran penyakit flu burung merupakan model matematika yang
menjelaskan interaksi antara kelompok populasi burung susceptible ( ) dan infected ( ) dengan
kelompok populasi manusia susceptible ( ), infected ( ), dan recovered ( ). Titik
keseimbangan model meliputi titik keseimbangan bebas penyakit ( ) dan titik keseimbangan
endemik  ( ). Dari analisis kestabilan diperoleh bahwa kestabilan titik keseimbangan bergantung
pada bilangan reproduksi dasar ( ). Titik keseimbangan stabil jika < 1 sedangkan titik
keseimbangan stabil jika > 1. Simulasi numerik diberikan untuk melihat trayektori populasi
di sekitar titik keseimbangan.
Kata Kunci : Titik keseimbangan, kestabilan, bilangan reproduksi dasar.
1. Pendahuluan
Di Indonesia terdapat banyak peternak yang memelihara unggas. Ada yang
membuat kandang unggas dalam pekarangan rumah ada juga yang di luar, di tempat
yang disediakan khusus. Kandang unggas dalam pekarangan rumah menyebabkan
interaksi antara unggas dan pemiliknya menjadi sangat tinggi sedangkan unggas yang
dikandangkan di luar rumah interaksinya lebih rendah dengan manusia.
Flu burung yang menyerang unggas menyebabkan penyakit ini menjadi
sangat rawan di Indonesia, terlebih diketahui virus ini juga menyerang manusia.
Penularannya dapat melalui udara ataupun kontak melalui makanan, minuman, dan
sentuhan yang disebabkan oleh virus influenza tipe A dengan subtipe H5N1, [4].
Virus tipe A memiliki banyak subjenis selain H5N1 ada juga H1N1, H3N2, H7N7,
dan beberapa jenis lainnya. Jenis yang terkenal dan sempat menimbulkan kepanikan
di seluruh dunia adalah H1N1 yang dikenal dengan flu babi serta H5N1 atau flu
burung, [3].
Tulisan ini bertujuan untuk menentukan titik keseimbangan dan bilangan
reproduksi dasar (basic reproduction number) serta melakukan simulasi numerik
untuk melihat dinamika penyebaran penyakit flu burung pada manusia dan pada
burung.
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Flu Burung
Flu burung yang dikenal dengan istilah avian flu atau avian influenza
(AI) adalah penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza tipe A dengan
diameter 90-120 nanometer. Secara normal virus tersebut hanya menginfeksi
ternak unggas seperti ayam, kalkun, dan itik. Namun data terakhir menunjukkan
bahwa virus AI bisa menginfeksi ternak ruminansia terutama babi. Walaupun
hampir semua jenis unggas dapat terinfeksi virus yang terkenal sangat ganas ini
tetapi yang diketahui jauh lebih rentan adalah jenis unggas yang diternakkan
secara massal seperti ayam, puyuh, dan itik, [2].
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
2
2.2 Model Epidemiologi
Model epidemiologi pada umumnya berfokus pada dinamika dari transisi
atau perpindahan karakter antara individu dengan individu, populasi dengan
populasi, komunitas dengan komunitas, daerah dengan daerah, bahkan negara
dengan negara. Karakter tersebut dapat berbentuk penyakit (malaria, tubercolosis,
HIV, dan flu burung), karakteristik genetik (gender, ras, dan penyakit genetik)
dan bentuk lain seperti kultur (bahasa dan kepercayaan), [4].
Salah satu istilah dalam model epidemiologi adalah epidemik. Epidemik
merupakan sebuah fenomena dimana sebuah penyakit tiba-tiba muncul dalam
suatu populasi dan menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut
menghilang dan kemudian muncul kembali dalam interval waktu tertentu. Selain
epidemik juga dikenal istilah lain yaitu endemik. Endemik merupakan sebuah
fenomena dimana suatu penyakit yang muncul akan selalu ada dalam suatu
populasi, [10].
2.3 Titik Keseimbangan Sistem
Titik keseimbangan adalah sebuah keadaan dari suatu sistem yang tidak
berubah terhadap waktu. Jika sistem dinamika diuraikan dalam persamaan
diferensial, maka titik keseimbangan dapat diperoleh dengan mengambil turunan
pertama yang sama dengan nol, [6].
Definisi 2.1 [6]
Titik ̅ ∈ disebut titik keseimbangan (equilibrium point) dari ̇ = ( ) jika
memenuhi ( ̅) = 0, dimana ( ) = ( , ,… , )( , , … , )⋮( , , … , ) .
Dalam sistem epidemiologi dikenal titik keseimbangan bebas penyakit
(Disease-Free Equilibrium atau DFE) dan titik keseimbangan endemik (Endemic
Equilibrium atau EE). Titik keseimbangan bebas penyakit adalah suatu kondisi
dimana sudah tidak ada lagi penyakit yang menyerang. Titik keseimbangan
endemik adalah suatu kondisi dimana penyakit selalu ada dalam populasi, [8].
2.5 Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan
Tinjau sistem PD non-linear orde n, sebagai berikuṫ = + ( , , … , ) ,
dimana = 1, 2,… , .
Langkah awal penyelesaian persamaan (2.1) yakni dengan mencari titik
keseimbangan. Misalkan titik keseimbangan yang diperoleh adalah( ̅ , ̅ , … , ̅ ), maka langkah selanjutnya mencari matriks Jacobinya.
Misalkan ( , , … , ) = + ( , ,… , ), maka matriks
Jacobinya adalah = ⎝⎛
⋯⋮ ⋱ ⋮⋯ ⎠⎞.
(2.1)
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
3
Selanjutnya substitusi titik keseimbangan pada matriks Jacobi, maka diperoleh
sistem yang linear sebagai berikut, [1]̇ = ( ̅ , ̅ ,⋯, ̅ ) .
Penentuan kestabilan titik keseimbangan didapat dengan memperhatikan
nilai-nilai eigennya, yaitu yang diperoleh dari( − ) = 0
Secara umum kestabilan suatu titik keseimbangan mempunyai 2 prilaku,
yaitu
1. Stabil, jika
a) ( ) < 0 untuk setiap , atau
b) Terdapat = 0 untuk sebarang dan ( ) < 0 untuk
setiap ≠ .
2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga ( ) > 0,
[9].
2.5 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah jumlah rata-rata individu infektif
sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam
populasi susceptible.
Secara umum bilangan mempunyai tiga kemungkinan yaitu
1. Jika < 1 maka penyakit akan menghilang.
2. Jika = 1 maka penyakit akan menetap (endemis).
3. Jika > 1 maka penyakit akan meningkat menjadi wabah, [5].
2.6 Model Dasar Penyebaran Penyakit Flu Burung
Model yang dimaksud adalah= − −= − ( + )= − − ( + )= − ( + + )= + − ( + + )= −
dengan
: Jumlah burung susceptible pada saat .
: Jumlah burung infected pada saat .
: Jumlah manusia susceptible pada saat .
: Jumlah manusia infected pada saat .
: Jumlah manusia mutant pada saat .
: Jumlah manusia recovered pada saat .
: Pertambahan burung susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian alami burung susceptible atau burung infected.
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
4
: Laju interaksi burung susceptible dengan burung infected yang dapat
mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju kematian burung infected karena penyakit flu burung.
: Pertambahan manusia susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian alami manusia susceptible, manusia infected, manusia
exposed, atau manusia recovered.
: Laju interaksi manusia susceptible dengan burung infected yang dapat
mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju interaksi manusia susceptible dengan manusia exposed yang dapat
mengakibatkan manusia susceptible menjadi manusia exposed.
: Laju kematian manusia infected karena penyakit flu burung.
: Laju mutasi manusia infected.
: Laju kematian manusia mutant karena penyakit flu burung.
: Laju kekebalan manusia mutant, [7].
3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Model Epidemiologi Penyakit Flu Burung
Penyebaran flu burung pada populasi burung dibagi menjadi dua
kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit
yang disebut susceptible. Kedua adalah populasi yang terinfeksi dan dapat
menularkan penyakit ke populasi lainnya yang disebut infected. Jumlah burung
yang susceptible dinyatakan dengan sedangkan jumlah burung yang infected
dinyatakan dengan sehingga jumlah burung dalam suatu populasi adalah+ = .
Penyebaran flu burung pada populasi manusia dibagi menjadi tiga
kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit
yang disebut susceptible. Kedua adalah populasi yang terinfeksi tetapi tidak dapat
menginfeksi yang disebut infected, terlihat perbedaan antara burung yang infected
dengan manusia yang infected, bahwa burung yang infected dapat mengeinfeksi
populasi lainnya sedangkan manusia infected tidak. Kelompok populasi ketiga
adalah populasi yang telah sembuh dari penyakit flu burung dan menjadi kebal
sehingga tidak akan terinfeksi kembali oleh flu burung yang disebut recovered.
Jumlah manusia yang susceptible dinyatakan dengan , yang infected
dinyatakan dengan , sedangkan yang recovered dinyatakan dengan ,
sehingga jumlah manusia dalam populasi adalah + + = .
Skema penyebaran penyakit flu burung dapat digambarkan dalam model
kompartemen sebagai berikut:
Gambar 3.1 Diagram kompartemen model penyebaran penyakit flu burung.
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
5
Secara umum, model epidemiologi penyebaran penyakit flu burung dapat
dituliskan sebagai berikut:= − −= − ( + )= − − (3.1)= − ( + + )= −
dengan
: Jumlah burung susceptible pada saat .
: Jumlah burung infected pada saat .
: Jumlah manusia susceptible pada saat .
: Jumlah manusia infected pada saat .
: Jumlah manusia recovered pada saat .
: Pertambahan burung susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian dan emigrasi burung susceptible dan infected.
: Laju interaksi burung susceptible dengan burung infected yang dapat
mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju kematian burung infected yang disebabkan karena penyakit flu
burung.
: Pertambahan manusia susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian dan emigrasi manusia susceptible, infected, dan
recovered.
: Laju interaksi manusia susceptible dengan burung infected yang dapat
mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju manusia infected yang kemudian sembuh dari penyakit flu
burung dan menjadi manusia recovered.
3.2 Analisis Kestabilan Model
3.2.1 Titik Keseimbangan
Sesuai definisi 2.1, maka sistem persamaan (3.1) menjadi= − − = 0 (3.2)= − ( + ) = 0 (3.3)= − − = 0 (3.4)= − ( + + ) = 0 (3.5)= − = 0 (3.6)
Diperoleh titik keseimbangan = ( , 0, , 0, 0) yang disebut titik
keseimbangan bebas penyakit karena = 0 dan = 0 atau tidak
mengandung individu yang infected baik burung maupun manusia.
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
6
Selanjutnya akan dicari titik keseimbangan yang lain, diperoleh
= ( ) , − ( ) , ( )( ) ( ),( )( ( ) ( ))( ),( )( ( ) ( ))( )
Jika titik keseimbangan adalah titik keseimbangan endemik
maka harus dibuktikan bahwa > 0, > 0, > 0, > 0, dan > 0,
dalam hal ini terdapat populasi burung susceptible, burung infected,
manusia susceptible, manusia infected, dan manusia recovered.
Karena > 0, > 0, > 0, > 0, dan > 0 dengan syarat+ − < 0, maka terbukti titik keseimbangan adalah titik
keseimbangan endemik.
3.2.2 Kestabilan Titik Keseimbangan
Akan dicari nilai eigen dari tiap-tiap titik keseimbangan untuk
mengetahui kestabilan titik keseimbangan tersebut. Nilai eigen yaitu
merupakan akar dari persamaan karakteristik yang dibentuk dari( − ) = 0
dengan adalah matriks Jacobi yang bersesuain.
Misalkan= − − ,= − ( + ) ,ℎ = − − ,= − ( + + ) , dan= − .
Selanjutnya akan dibentuk matriks Jacobi dengan melakukan
linearisasi menggunkan turunan parsial. Berikut adalah bentuk matriks
Jacobi yang dimaksud
= ⎣⎢⎢⎢
⎢⎡ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ⎦⎥⎥⎥
⎥⎤
.
Selanjutnya evaluasi matriks Jacobi pada titik keseimbangan= , 0, , 0, 0 , diperoleh persamaan karakteristik( ) = | − | = ( + ) − − ( + ) ( + )+ ( + + ) ( + ) = 0
diperoleh= − , = − ( + ) = , = − ,= −( + + ), dan = −
Selanjutnya akan dicek nilai dari masing-masing nilai eigen yang
telah diperoleh.
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
7
Karena terdapat > 0 yaitu = maka titik
keseimbangan = , 0, , 0, 0 tidak stabil.
Selanjutnya akan dicek kestabilan titik keseimbangan . Evaluasi
matriks Jacobi pada titik keseimbangan, kemudian dibentuk persamaan
karakteristik terkait( ) = | − | = − (− − ) − − ( + )+ ( + + ) ( + )(− ) − ( )( ) ( )(− )(− ) − (− )
dengan = ( ) .
Diperoleh= ( ) , = − − − , = −= ( ) ( + ), dan = ( ) ( − )
dengan= − 8 + 4 + 12 − 4 + 12 − 4 + 4
Selanjutnya akan dicek nilai dari masing-masing nilai eigen yang
diperoleh. Karena < 0, < 0, < 0, < 0, dan < 0 sehingga
dapat disimpulkan bahwa titik keseimbangan stabil.
3. 3Bilangan Reproduksi Dasar
Dari bentuk titik keseimbangan endemik defenisikan= ( + )
Sehingga jika
1. > 1 maka titik keseimbangan endemik stabil atau penyakit flu
burung akan mewabah.
2. < 1 maka titik keseimbangan bebas penyakit stabil atau penyakit
flu burung akan menghilang.
3.4 Simulasi Numerik Model
Simulasi dilakukan dengan meninjau keadaan endemik dan keadaan
bebas penyakit, [7].
Tabel 3.1 Nilai Parameter dalam Penyebaran Penyakit Flu Burung.
No. Parameter Penjelasan Parameter (Satuan) NilaiParameter
1. Pertambahan burung susceptible setiapsatuan waktu. (jumlah burung/hari) 26,5
2. Laju kematian dan emigrasi burungsusceptible dan infected. (per hari) 5
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
8
3.
Laju interaksi burung susceptible dengan
burung infected yang dapat mengakibatkan
penularan penyakit flu burung. (per (hari x
jumlah burung))
2
4.
Laju kematian burung infected yang
disebabkan karena penyakit flu burung. (per
hari)
5
5. Pertambahan manusia susceptible setiapsatuan waktu. (jumlah manusia/hari) 3
6.
Laju kematian dan emigrasi manusia
susceptible, infected, dan recovered. (per
hari)
0,015
7.
Laju interaksi manusia susceptible dengan
burung infected yang dapat mengakibatkan
penularan penyakit flu burung. (per (hari x
jumlah manusia))
0,2
8.
Laju manusia infected yang kemudian
sembuh dari penyakit flu burung dan
menjadi manusia recovered. (per hari)
0,001
3.4.1 Keadaan Endemik Sistem
Nilai parameter pada Tabel 3.1 menghasilkan = 1,06 > 1,
berarti endemik penyakit flu burung telah terjadi dalam populasi. Akan
ditinjau titik keseimbangan yang diperoleh yaitu dan .
1. = (5.3, 0, 200, 0, 0) dengan nilai eigen masing-masing adalah -5,
-0.015, -0.015, -1.016, 0.6. Karena terdapat satu nilai eigen dari
yang bernilai positif maka titik keseimbangan merupakan titik
keseimbangan yang tidak stabil.
2. = (5, 0.15, 66.67, 1.97, 0.13) dengan nilai eigen masing-masing
adalah -0.015, -1.016, -0.045, -0.644, -4.656. Karena semua nilai
eigennya bernilai negatif maka titik keseimbangan merupakan
titik keseimbangan yang stabil.
Dinamika model disimulasikan dengan menggunakan titik awal( (0), (0), (0), (0), (0)) = (6, 2, 80, 3, 2).
3.4.2 Keadaan Bebas Penyakit
Pilih = 20 dan nilai parameter yang lainnya sama pada Tabel
3.1, sehingga menghasilkan = 0,8 < 1, berarti endemik penyakit flu
burung tidak akan terjadi dan lama kelamaan penyakit akan menghilang
dari populasi. Akan ditinjau titik keseimbangan yang diperoleh yaitu
dan . Karena pada titik keseimbangan bernilai negatif maka yang
ditinjau hanya pada .= (4, 0, 200, 0, 0) dengan nilai eigen masing-masing adalah -5, -0.015,
-0.015, -1.016, -2. Karena semua nilai eigen dari bernilai negatif maka
titik keseimbangan stabil.
Dinamika model disimulasikan dengan menggunkan titik awal( (0), (0), (0), (0), (0)) = (5, 3, 225, 3, 2).
Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi.
Januari 2014
9
4. Kesimpulan
1. Model SIR untuk penyebaran penyakit flu burung memiliki dua titik
keseimbangan yaitu titik keseimbangan bebas penyakit dan titik
keseimbangan endemik .
2. Titik keseimbangan stabil jika < 1 sedangkan titik keseimbangan
endemik stabil jika > 1.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton H., 1995, Aljabar Linear Elementer (Edisi ke-5) Terjemahan Pantur
Silaban dan I Nyoman Susila, Erlangga, Jakarta.
[2] Balai Karantina Kelas 1 Semarang, 2013, Sekilas Tentang Flu Burung,
http://karantinasemarang.org/inkehati-karantina-hewan, diakses pada tanggal 16-
06-2013.
[3] Cigna, 2012, Waspadai Berbagai Jenis Flu, http://www.cigna.co.id/ id/html/
customer_care/tips_and_advices/health_related_beware_influenza.html , diakses
pada tanggal 16-06-2013.
[4] Fred B., Carlos-Chavez C., 2000, Mathematical Models in Population Biology
and Epidemiology, Spinger, Vancouver, B. C., Canada.
[5] Giesecke J., 1994, Modern Infectious Disease Epidemiology, Oxford University
Press, New York.
[6] Haberman R., 1997, Mathematical Models : An Introduction to Applied
Mathematics. Prentice-Hall, Inc., 1987.
[7] Iwami S., Takeuchi Y., Liu X., 2006, Avian-Human Influenza Epidemic Model,
Elsevier.
[8] Tamrin H., 2007, Model SIR Penyakit Tidak Fatal, http://wahid.web.ugm.ac.id/
download/paper/Model_SIR_Penyakit_Tidak_Fatal.pdf, diakses pada tanggal 15-
03-2013.
[9] Tu PNV, 1994, Dynamical System : An Introduction With Applications in
Economics and Biology, New York: Springer-Verlag.
[10] UCSB, 2010, Lecture 10 Disease Models, http://www.lifesci.ucsb.edu/
~latto/bubonic2.pdf, diakses pada tanggal 25-03-2013.


Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Flu Burung

http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/9015/Jurnal%20Model%20SIR%20Untuk%20Penyebaran%20Penyakit%20Flu%20Burung.pdf?sequence=1

Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Flu Burung

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hasanuddin University Repository