Kogan, S K

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C E R N LIBRARIES, G E N E V A CM-P00100524 DOKL. AKAD. NAUK SSSR Vol. 66, p. 867-70, Moscou 1949 PROPAGATION DES ONDES LE LONG D'UNE HELICE INFINIE par S.Kh. Kogan (Présenté par l'académicien M.A. Leontovich le 7.4.1949) Traduit au CERN par A. Golovanoff (Original : Russe) (CERN Trans. 68-1) Genève Janvier 1968 - 2 -Nous examinerons la propagation des ondes électromagnétiques le long d'une hélice de longueur infinie, sans nous borner au cas déjà étudié où le pas est sensiblement inférieur au rayon de l'hélice. Nous prendrons la dépendance du temps sous la forme e-jωt. L'axe z1 du système de coordonnées cylindriques sera disposé le long de l'axe de l'hélice. Les angles φ1 seront comptés à partir du rayon vecteur mené depuis l'axe de l'hélice en passant par le point d'inter­­ection de l'axe du conducteur avec le plan z1 = 0. Nous introduirons ensuite une coordonnée curviligne L , comptée le long de l'axe du conducteur. Les grandeurs L et z1 sont liées par la relation L = z1/sin δ (1) est pente de l'hélice. Désignons par r0 le rayon moyen de l'hélice, par a0 le rayon de la section du conducteur, par s le pas de l'hélice. L'équa­tion de l'axe du conducteur dans le système de coordonnées cylindriques s'crira (2) Si le conducteur est assez fin, c'est-à-dire si a0/r0 << 1 , a0/λ << 1, a0/s << 1, on peut remplacer dans le calcul du vecteur-potentiel la distribution superficielle du courant par une - 3 -distribution linéaire, coïncidant avec l'axe du conducteur. Alors le vecteur-potentiel au point de cooordonnées z, φ, r s'écrira A = 1 + ∞ I(L) ejkR dL. ∫ c R - ∞ (3) où I(L) - courant total dans la section L; k = 2π/λ nombre d'onde; R = √(z1 - z)2 + p2; p = √r20 + r2 - 2rr0 cos(φ1 - φ). Pour obtenir l'équation intégrale fondamentale qui détermine la loi de distribution du courant le long de l'hélice, utilisons la condition de frontière à la surface du conducteur, dont nous considérerons la conductivité comme idéale. Dans notre cas, cette condition est de la forme: ΕL = Εz sin δ + Eφcos δ = 0 (à la surface du conducteur) (4) Dans la suite, nous considérerons comme suffisant le respect de cette condition non sur l'ensemble de la surface du conducteur mais seulement sur la génératrice de l'hélice, qui constitue le lieu géométrique des points de tangence de l'hélice avec le cylindre de rayon r = r0 + a 0. On montre aisément que la condition de frontière (4) peut s'écrire, après remplacement des composantes électriques par leurs valeurs en fonction du potentiel (3), sous la forme: - 4 -+ ∞ I(z1) f (|z - z1|) dz1 = 0 (z1 = L/sin δ). ∫ - ∞ (5) Nous n'écrivons pas l'expression pour le noyau, qui ne nous est pas utile. Il faut seulement savoir que le noyau de l'équation (5) dépend seulement du module de la différence des variables z et z1. Cela est presque évident en général. Les solutions possibles d'une équation du type de (5) sont de la forme: I(z1) = Iejhz1 (z1 = L/sin δ). (6) Pour déterminer la constante h , le plus simple est d'utiliser l'équation initiale (4), parfaitement équivalente à (5). Alors, le calcul des champs selon la formule E = ( j grad div + jk) A . (7) k est sensiblement simplifié, puisque la nature de la fonction de distribution du courant est déjà définie (6). En utilisant la formule (3) et la décomposition = +∞ +∞ Fm(w)ejm(φ - φ1) e-jw(z1 -z) dw, (8) ∫ Σ R -∞ où Fm(w) = { j Jm (r0 √k2 - w2)Hm(r √k2 - w2) πp r > r0, 2 j Jm (r √k2 - w2)Hm(r0 √k2 - w2) πp r < r0, 2 - 5 -nous aurons (si nous remplaçons les intégrales doubles selon le théorème de l'intégrale de Fourier) les composantes du vecteur de champ: Ez = 2jk I0 +∞ (1 -hpm )Bmejpmz+jmφ, (9) Σ c k2 m=-∞ Eφ = +∞ [kctg δ (Bm,1 + Bm,-1) + 2Bm mh ]ejpmz + jmφ. (10) Σ c kr m = -∞ Bm,n = { lm+n(r0υm)Km+n(rυm) πp r > r0, lm+n(rυm)Κm+n(r0υm) πρ r < r0, où υm = √(h - 2π m)2 — k2, = h — 2π m. s Nous ne calculons pas les autres composantes des vecteurs du champ. En substituant les expressions (9), (10) dans (4) et compte tenu de ce que sur la génératrice du conducteur de l'hélice où nous exigeons le respect de la condition (4), r = r0 + a0 et φ = (2π/s) z,  nous obtenons l'équation transcendantale: - +∞ (Bm,1 + Bm,-1)k2 ctg2 δ + +∞ 2Bm(h2 - k2) + Σ Σ m = -∞ m = -∞ (11) + +∞ 2B(1 - β) mh etg δ = 0, Σ r0 m = -∞ où Βm,n = Im+n (r0 v m) Κm+n(β rv m); β = 1 + a0/r0. La dernière série de l'équation (11) peut être négligée (β - 1 << 1), si bien que pour définir la constante de propagation h il reste l'équation - 6 -( +∞ Bm,1 + Bm,-1)/2 ∞ Bm = tg2 δ( h2 - 1 ) . (12) Σ Σ k2 m = -∞ m = -∞ Les résultats obtenus peuvent être interprétés de la façon suivante. L'onde de courant, qui progresse le long du conducteur de l'hélice avec une constante de propagation kn = sin hn (hn étant la n-ième racine de l'équation (12)), induit dans l'espace environnant une multitude innombrable d'ondes électriques et magnétiques insépara-bles à dépendance azimutale, qui se propagent le long de l'axe de l'hélice avec une constante de propagation Ρm,n = kn - m 2n (13) sin δ s L'onde d'indice m= 0 est symétrique. Toutes les autres ondes sont asymétriques, ce qui résulte de la structure périodique de l'hélice. Introduisons les notations F1(hr0) = tg2 δ[( hr0 )2 - 1], kr0 F2(hr0) = ( +∞ Bm,1 + Bm,-1)/2 +∞ Bm; (14) Σ Σm = -∞ m = -∞ alors l'équation (12) s'écrit F 1(hr 0) = F 2(hr 0). (12') La principale difficulté pour la détermination des racines de l'équation (12') réside dans la sommation des séries de F 2(hr 0). Il importe de remarquer que F2 (hr0) est finie partout, à l'exception - 7 -des deux valeurs de hr0 : h'r0 = etg δ + kr0 et h"r0 = etg δ - kr0. F2 (hr0) est réelle seulement dans certains intervalles, définis par la condition: | hr0 + m etg δ| > kr0 (15) qui doit être remplie pour tout m . On donne sur la Pig. 1 (a et b) deux exemples de construction de la résolution graphique de l'équation (12') pour les racines réelles. Comme il apparaît sur la Fig. 1a, 1a résolution aboutit à 3 racines : h1 formée par l'intersection de la courbe de F1(hr0) avec la partie en pente douce de la courbe F2(hr0), h2 et h3 sont formées par l'intersection de la courbe F1(hr0) avec les deux branches de la courbe F2(hr0) partant vers l'infini. A partir d'une certaine fréquence que nous appellerons première fréquence critique de l'hélice, seule une racine h3 peut exister (Pig. 2 ) . La valeur kKp1 = wKp/C peut être calculée par une formule exacte à la limite a0 → 0, qui donne une bonne approximation pour les conducteurs fins: kKp1  cos δ (16) (1 + sin δ)r0 Les zones discrètes de fréquences où il n'existe pas de racines réelles sont déterminées aussi par la condition (15). Pour k > etg δ / 2 r 0 , il n'y a pas de racines réelles. La - 8 -fréquence qui correspond à cette valeur k = w/C sera appelée seconde fréquence critique de l'hélice. Par suite de l'existence possible de 3 solutions, le courant total dans le conducteur peut s'écrire sous la forme: I = 3 Ine jknL (17) Σ n=1 Le rapport des amplitudes du courant peut être déterminé par les conditions d'excitation. Pour vérifier la justesse des résultats obtenus, on a calculé une hélice concrète de paramètres suivants : 2 r0 = 22,5 cm, s = 15 cm, δ = 1 2 , 2 a0 = 1,125 cm. Les résultats du calcul sont donnes sur la Fig. 2 par la courbe τ = f(kr 0), caractéristique du coefficient de ralentissement τ = k/kn de l'onde le long du conducteur en fonction de la fréquence. On a aussi porté les données expérimentales(1). La coïncidence des deux sortes de valeurs est tout à fait satisfaisante. La valeur kKP1 r0, d'après les mesures, se trouve entre kr0 = 0,705 et kr0 = 0,76. Le calcul donne kKp1 r0 = 0,74 et la formule approchée (16) : kKp1 r0 = 0,805. L'expérience montre que le passage de la fréquence critique provoque un saut du coeffi­cient de ralentissement de τ1 = 1 à τ3kp = 0,66, qui confirme l'existence de racines réelles seulement dans les zones discrètes de valeurs de h. D'après le calcul τ3kp = 0,68. L'auteur exprime sa reconnaissance pour les conseils prodigués et l'intérêt témoigné à l'occasion du présent travail par les Professeurs Ya.N. Feld et L.A. Vajnshtejn. Référence 1. Kraus J. and Williamson J., J. Appl. Phys. 19, 1 (1948) - 9 -Fig. 1 : Courbes de la fonction F1(hr0) et F 2 ( h r 0 ) : a - pour kr0 = 0,6; b - pour kr0 = 1 Fig. 2: Coefficient de ralentissement τ en fonction de kr0; 1 - courbe calculée; 2 - points expérimentaux. 

Propagation des ondes le long d'une hélice infinie

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