Ярошук, А. А.

Belarusian State Technological University

Секция информационных технологий  265  ( )5 16W G = , а индекс Рандича −  ( )3 2 414,Gc = , ( )4 2 270,Gc = , ( )5 2 000,Gc =  соответственно. Таким образом, сравнивая топологические индексы бутана, пентана и их изомеров, мы видим, что с увеличением степени разветвленности углеродного скелета индексы уменьшаются: наибольшие значения соответствуют наименее разветвленным углеводородам. С увеличением длины углеродного скелета топологические индексы увеличиваются, так как в матрице расстояний становится больше элементов. Рассчитав какой-либо топологический индекс, можно описать  физико-химические свойства вещества, так как энергия межмолекулярных взаимодействий зависит от корректных оценок размеров молекулы и степени их разветвлённости.   ЛИТЕРАТУРА 1. Ерёмин В.В. Математика в химии. М.: МЦНМО, 2011.  64 с. 2. Химические приложения топологии и теории графов. Пер. с англ. Под ред. Р. Кинга. М.: Мир, 1987. 560 с. 3. Станкевич М. И., Станкевич И. В., Зефиров Н. С.  Топологические индексы в органической химии // Успехи химии. 1988. Т. 57, вып. 3. С. 337–366.   УДК 51-7:635                                                      Магистрант А.А.Ярошук Науч. рук. доц. В.В.Игнатенко (кафедра высшей математики, БГТУ)  ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ РАСТЕНИЙ ПРИ ПОСАДКЕ  В последнее время всё больше земельных площадей отводится для выращивания различных культурных растений. С учётом того, что для этого необходимы очень плодородные почвы, найти эти площади не всегда представляется лёгкой задачей. В связи с этим, следует стремиться к рациональному использованию плодородных площадей. Необходимо использовать их максимально эффективно. Один из приёмов, позволяющих осуществить такое пользование – оптимальное расположение растений.   Под оптимальным расположением растений (при посадке) мы будем понимать такое расположение растений, при котором площадь, занимаемая некоторым количеством растений, будет минимальной и при этом достаточной для их нормального роста и развития. Здесь и далее мы будем рассматривать сплошную посадку без междурядий.  Секция информационных технологий  266  Для нахождения площади, которую занимают растения при посадке, необходимо составить математическую модель расположения растений. Важным является следующий факт: при однородном распределении питательных веществ в почве, растение развивается с одинаковой скоростью во всех направлениях, параллельных плоскости земли. Это даёт нам основание считать, что минимальная площадь, необходимая для нормального роста и развития отдельного растения может быть представлена в виде круга, где в центре находится само растение. Можно сказать, что для нормального роста и развития растений, эти круги не должны пересекаться друг с другом.    Таким образом, мы приходим к математической модели расположения растений. При обычной посадке, растения располагаются в рядах, которые можно считать перпендикулярными (рисунок 1).    Рисунок 1 – Модель расположения растений при обычной посадке Т. е. каждое растение находится в узле прямоугольной сетки. Для максимально эффективного использования площади следует стремиться к наиболее плотному заполнению плоскости кругами. Для этого число кругов, соприкасающихся с одним конкретным кругом (контактное число) должно быть максимальным. Возникает вопрос: «Как много одинаковых кругов  можно разместить вокруг одного, того же диаметра?»  Ответ – 6. Потому что 1 круг «занимает» 60 градусов дуги, а окружность имеет 360 градусов. Т. е. 360:60 = 6, что показано на рисунке 2. Таким образом, данное расположение растений будет являться оптимальным.  Рисунок 2 – Оптимальное расположение растений Секция информационных технологий 267  Возникают следующие вопросы:  1) Какова величина экономии площади при посадке с оптимальным расположением растений по сравнению с обычной посадкой? 2) Какова степень использования площади при различных схемах посадки? Располагать растения можно по-разному. Рассмотрим несколько форм посадки: квадрат, ромб, треугольник, шестиугольник (рисунок 3).                   Рисунок 3 – Формы посадки Площадь данных фигур представляет собой сумму площадей кругов и площадей лунок, т. е. фигур, которые располагается между кругами, площадь которых растениями не используется. Далее будем называть эти фигуры лунками: четырёхугольными лунками, в случае квадрата и треугольными лунками, в случае треугольника, ромба, шестиугольника. Как известно, площадь круга вычисляется по формуле 1.                                      ܵˍ˓˖ˆ˃ ൌ ߨݎଶ                                     (1) Где ݎ – радиус круга. Можем записать формулы для вычисления площади лунок через радиусы образующих их окружностей. Для лунки в квадратной форме участка, площадь можно найти вычитанием площади четырёх секторов с центральным углом в 90° и радиусом ݎ, из площади квадрата со стороной ʹݎ. В результате всех необходимых преобразований получим формулу 2.                     ܵˍ˅Ǥˎ˖ːˍˋ ൌݎଶሺͶ െ ߨሻ                                             (2) Для треугольной лунки площадь находим вычитанием площади трёх секторов с центральным углом в 60° и радиусом ݎ, из площади равностороннего треугольника со стороной ʹݎ. В результате всех необходимых преобразований получим формулу 3. ܵ˕˓Ǥˎ˖ːˍˋ ൌݎଶ ቀξ͵ െ ʹߨቁ (3) Зная число рядов ݊ в каждой из фигур, можем записать выражения для нахождения числа кругов и числа лунок в каждой конкретной фигуре. Зная число кругов и число лунок, можем найти площадь всей фигуры. Для квадрата эти формулы будут иметь следующий вид: ݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺˍǤሻ ൌ݊ଶǡ                                       (4) ݊ˎ˖ːˑˍሺˍǤሻ ൌ ሺ݊ െ ͳሻଶǡ                                                            (5)ܵˍ˅˃ˇ˓˃˕˃ ൌ ߨݎଶ݊ଶ ൅ ݎଶሺ݊ െ ͳሻଶሺͶ െ ߨሻǤ (6) Где ݊ – число рядов в фигуре.   Секция информационных технологий 268  Для ромба имеем следующие формулы: ݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˓Ǥሻ ൌ݊ଶǡ                                                                   (7) ݊ˎ˖ːˑˍሺ˓Ǥሻ ൌʹሺ݊ െ ͳሻଶǡ                                                            (8) ܵ˓ˑˏ˄˃ ൌ ߨݎଶ݊ଶ ൅ ʹݎଶሺ݊ െ ͳሻଶ ቀξ͵ െ ʹߨቁǤ        (9)  Для треугольника получаем: ݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˕Ǥሻ ൌ ଵଶ ሺ݊ଶ ൅ ݊ሻǡ                                                            (10)݊ˎ˖ːˑˍሺ˕Ǥሻ ൌ ሺ݊ െ ͳሻଶǡ                                                            (11) ܵ˕˓ˈ˖ˆˑˎ˟ːˋˍ˃ ൌ ͳʹ ߨݎଶሺ݊ଶ ൅ ݊ሻ ൅ ݎଶሺ݊ െ ͳሻଶ ቀξ͵ െ ʹߨቁǤ        (12)  И для шестиугольника:  ݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˛Ǥሻ ൌ ଵଶ ሺ݊ଶ ൅ ݊ሻ ൅ ʹሺ݊ଶ െ ݊ሻ ൅ଵଶ ሺ݊ െ ͳሻሺ݊ െʹሻǡ                                                                  (13) ݊ˎ˖ːˑˍሺ˛Ǥሻ ൌ͸ሺ݊ െ ͳሻଶǡ                                                                  (14)ܵ˛ˈ˔˕ˋ˖ˆˑˎ˟ːˋˍ˃ ൌ ߨݎଶ݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˛Ǥሻ ൅ ͸ݎଶሺ݊ െ ͳሻଶ ቀξ͵ െ ʹߨቁǤ       (15) Далее найдём площадь, которая приходится на одно растение в каждой фигуре:  ଵܵˍǤ ൌ ܵˍ˅˃ˇ˓˃˕˃݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺˍǤሻǡ       (16)  ଵܵ˓Ǥ ൌ ܵ˓ˑˏ˄˃݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˓Ǥሻǡ       (17)  ଵܵ˕Ǥ ൌܵ˕˓ˈ˖ˆˑˎ˟ːˋˍ˃݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˕Ǥሻ ǡ       (18)  ଵܵ˛Ǥ ൌܵ˛ˈ˔˕ˋ˖ˆˑˎ˟ːˋˍ˃݊ˍ˓˖ˆˑ˅ሺ˛Ǥሻ Ǥ        (19) Тогда можем найти величину экономии площади ܧ для каждой из фигур, по сравнению с обычной квадратной посадкой: ܧ˓Ǥ ൌ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˓ǤଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǡ     (20) ܧ˕Ǥ ൌ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˕ǤଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǡ (21) ܧ˛Ǥ ൌ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˛ǤଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǤ (22) Секция информационных технологий 269  Становится интересным вопрос: «Какова максимальная величина экономии площади при неограниченном возрастании числа рядов (растений)?» Для ответа на него, найдём предельные значения величин экономии площади ܧ௠௔௫: ܧሺ௠௔௫ሻ˓Ǥ ൌ ௡՜ஶ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˓ǤଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǡ (23) ܧሺ௠௔௫ሻ˕Ǥ ൌ ௡՜ஶ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˕ǤଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǡ (24) ܧሺ௠௔௫ሻ˛Ǥ ൌ ௡՜ஶ ଵܵˍǤ െ  ଵܵ˛Ǥ ଵܵˍǤ ή ͳͲͲΨǤ (25) Получаем следующий результат: ܧሺ௠௔௫ሻ˓Ǥ ൌ ܧሺ௠௔௫ሻ˕Ǥ ൌܧሺ௠௔௫ሻ˛Ǥ ൌ ൫ʹ െ ξ͵൯ʹ ή ͳͲͲΨǤൎ ͳ͵ǡͶΨǤ Оценим степень использования площади при различных схемах посадки. Под степенью использования площади мы будем понимать отношение площади, используемой растениями, ко всей площади участка, выраженное в процентном отношении. Найдём формулы, которые выражают площадь используемых  участков, через количество рядов растений. А затем найдём отношение площади, необходимой растениям, к общей площади участков. Схемы участков для различных форм представлены на рисунке 4. Находим выражения для площади этих участковܵ˖Ǥ, площади, используемой растениями (полезной площади) ܵ˒ˑˎǤ и  степени  использования  пло-    Рисунок 4 – Схемы участков для посадки щади ܦ. Для квадрата эти выражения будут иметь следующий вид: ܵˍǤ˖Ǥ ൌ Ͷݎଶ݊ଶǡ (26) ܵ˒ˑˎǤˍǤ ൌߨݎଶ݊ଶǡ (27) ܦˍǤ ൌܵ˒ˑˎǤˍǤܵˍǤ˖Ǥ ή ͳͲͲΨǤ (28) Секция информационных технологий 270  Следует отметить, что для квадратного участка эта величина постоянна и равна  గସ ή ͳͲͲΨ ൎ79 %. Выражения для участка в форме ромба принимают вид: ܵ˓Ǥ˖Ǥ ൌʹξ͵ቀʹݎ ൅ ݎξ͵ሺ݊ െ ͳሻቁଶ͵ ǡ (29)        5˛L ŁN6J6Æ (30)        &L 5 ˛5fisrr ¤ (31) Для участка треугольной формы:        5L u@tuNEtN:JFs;A6vÆ (32)        5 ˛L stŁN6:J6EJ;Æ (33)        &L 5 ˛5fisrr ¤ (34) И для участка шестиугольной формы имеем:        5 L uumtuNuEtN:JFs;q6tÆ (35)        5 ˛ L ŁN6lst:J6EJ;E t:J6FJ;E st:JFs;:JFt;pÆ (36)        & L 5 ˛ 5 fisrr ¤ (37) Найдём предельные значения степени использования площади & º:       &: º;L    Æ\¶5 ˛5fisrr ¤Æ (38)       &: º;L    Æ\¶5 ˛5fisrr ¤Æ (39)       &: º; L    Æ\¶5 ˛ 5 fisrr ¤ (40) Получаем следующий результат: Секция информационных технологий 271  ܦሺ௠௔௫ሻ˓Ǥ ൌ ܦሺ௠௔௫ሻ˕Ǥ ൌܦሺ௠௔௫ሻ˛Ǥ ൌ ߨξ͵͸ ή ͳͲͲΨǤൎ ͻͲǡ͹ΨǤ Вывод:  При  оптимальном  расположении  растений  можно  сэкономить  до 13,4 % площади. Степень использования участка может достигать до 90,7 %. При достаточно большом числе растений, степень использования и экономия площади не зависят от геометрии используемого участка.  С точки зрения экологии благоприятно такое размещение, при котором конкуренция между растениями возникает как можно позже. Это возможно при равном расстоянии между растениями и квадратном или ромбовидном размещении. Однородное распределение семян с помощью сеялок точного высева обеспечивает равную силу роста отдельных растений [1]. Помимо применения для выращивания различных овощей, таких как свёкла,  репа, морковь, лук, капуста, тыква и многие другие, данная модель может быть  применена и при лесопосадке: такая модель считается самой лучшей для выращивания деревьев [2]. Эта модель может эффективно применяться при выращивании зерновых с помощью сеялок точного высева. Модель также может использоваться и в ряде других случаев: в логистике, при размещении грузов цилиндрической формы, в экологии, при проектировании очистных сооружений, когда аппараты для очистки имеют круглое поперечное сечение (циклоны, отстойники). ЛИТЕРАТУРА 1. Круг, Г. Овощеводство / Г. Круг ; пер. с нем. В. И. Леунова. - Москва : Колос, 2000. - 574 с. 2. Мирон, К. Ф. Посев и посадка леса / К. Ф. Мирон ; Общественный университет лесного хозяйства ВНИТОЛЕС. – Ленинград : Государственное лесотехническое издательство, 1947. - 80 с.  

Оптимальное расположение растений при посадке

http://elib.belstu.by/bitstream/123456789/23520/1/YAroshuk_265-271.pdf

Оптимальное расположение растений при посадке

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Belarusian State Technological University