Бирман, С. Е.

Electronic Library Pavel Sukhoi State Technical University of Gomel (GSTU)

Доклады Академии Наук СССР 1948. Том LX1I, № 3ТЕОРИЯ УПРУГОСТИС. Е. БИРМАНК ЗАДАЧАМ О ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЯХ(Представлено академиком Л. С. Лейбензоном 13 VII 1943)Рис. 1.Настоящая статья касается исследования напряженного и дефор­мированного состояний призматических стержней, составленных из полос, толщина которых мала по сравнению с их шириной. В качестве примера рассмотрим задачу о кручении трубчатого стержня квадрат­ного сечения, скручиваемого усилиями, действующими вдоль ребер стержня так, что каждая грань загружена обратно-симметрично нормальными напря­жениями /(х) (рис. 1).Вследствие тонкостенности стержня можно считать *,  что каждая грань в отдель­ности находится в условиях плоского напряженного состояния и что взаимодей­ствие между ними осуществляется только касательными напряжениями. Разрезав стержень вдоль ребер на четыре отдель­ных полосы, загружаем каждую полосу обратно-симметрично нор­мальными напряжениями / (х) и касательными у(х). Деформации „ ди ,кромок граней ——-, в силу неразрывности, должны совпадать по обе стороны разреза **.  Применяя решение, данное в нашей предыдущей статье (9 (обозначения те же), это условие можно выразить следую­щим интегральным уравнением:2 г г s.n _ dt +J sh2a5-2a? J —co — co4-00 4-00+ f f (/) cos $ ц - x) dt = 0,1 J sh2«5 —2«5 J V—GO —ooоткуда4*co 4-°°Y (*)  = [(*  — 1) cth di 4- -jM d^ £ f (Z) sin £ (t - x) dt.J L J* Исключив из рассмотрения местные напряжения в углах профиля.** В данном случае вдоль ребер д=». дх305Затем в соответствии с загружением, находим для каждой грани:—ОО —ООТ' (г) = —— £ —nsh^g + ^gchag]rfg е у dt2 ctkiz Л s u а иРассмотрим пример. Пусть/(х) представляет нагрузку, изображен­ную на рис. 2. Тогда:Ф(г) = ip " । ch т(с — z) kn L ch m(b — z) 4- inch m(c -p г) ch m(b 4 z)T’ (г) = ip(k—\) ■ jn ch m(c — z) I Jfl ch m(c+'z) ak~ |_ ch m (b— z) ch «?(& + «)+ —— [(c — г) thm (c — z) — (b — г) thm(6 — z) 4- (c 4- z) th m (c -}-z)— akr.— (b + z) th tn (b 4- г)];Yv = —[arc tg (th tn (c — x) tg my) — arc tg (th’m (b — x) tg my) —У T?— arc tg (th m (c 4 4 tg my) 4“ arc tg (th m(b— x) tg my)] -4. p sin 2m у ' c — x  b — x2ak ch 2/n (c — x) -p cos 2my ch 2m (b — x) -p cos 2m у_ c -p x , b^xch 2m (c + x) ~p cos 2my ch 2m (b -P x) -P cos 2my ’Xx — [arc tg (th m (c — x) tg my) — arc tg (th m (b — x) tg my) —— arc tg(th m(c 4 x) tg my) 4- arc tg(th m (b 4- *) tg my —p sin 2my Г c — x b — x2ak ch 2m (c — x) -p cos 2my ch2m(b — x) ~p cos2myc 4* % b -p xch 2m (c -p x) -p cos 2my ch 2m (b 4 *) + cos 2my2#nch 2m (c — x) -p cos 2my , । ch 2m (c 4- x) -p cos 2my ch 2m (b — x) 4- cos 2my ch 2m (b J- x) 4 cos 2«у(c — x) sh 2m (c — x)2ak L ch 2m (c — x) 4 cos 2my(b — x) sh 2m (b — x} ch 2m (b — x) -P cos 2my(c + x) sh 2m (c -p x) (b ~p x) sh 2m (b 4- x)ch 2m (c -p x) -p cos 2my ch 2m (& 4 x) + cos ^тУ{tn = —\ 2a..... />(&-і)Г306Так же просто определяются и перемещения. Например, в частном случае, когда кручение осуществляется сосредоточенными силами на осях граней (у — 0) имеем:2^=-£ (2* — 1) In ch т (Ь — х) ch т (Ь 4- х)т(Ь — х) th т (Ь — х) — т (b -f- л) th т (Ь Ц- х)Отсюда, при л->оо получим ^(ет) = --- •Если же удалить крутящие моменты в бесконечность (Ь->оо), то найдем: Yv = Хл = О, Ху = — , v = - - .J - а ^-а .Подобные задачи решаются таким же путем и в алгебраических полиномах.Опуская выкладки, приводим решение для стержня двухтаврового сечения, закрепленного одним концом и загруженного поверху вдоль кромки стенки нормальными напряжениями — рх *.  Ширина полки 2Ь, толщина высота стенки 2а, толщина 28а.Напряжения в полках ** =' 4а2Хх = ± -^(1 - aj [%2 — бу2 + Ыу (2 + а) - Ь2 (4 + За) + 4а23] + 4а2+ у U ~ а2) ах>ху = ± Р(Ь~х~ С1 - °h) 13%2 - 2у2 + ЬУ + 4а2 М +Напряжения в стенке (—у ^Г2 + (1-а1)<1-^14а L \ а2 / Jрх2 ,* Здесь требуется, чтобы — = 0 на внутренних кромках полуполок в силу сим- дхдиметрии и чтобы -— совпадало на линиях контакта стенок с полками.** Прямая у — 0 ось полки.*** Знаки соответственно для верхней и нижней полок.307Последовательным дифференцированием этого решения по х полу­чим новые решения: изгиб стержня равномерно распределенной на­грузкой, изгиб сосредоточенной силой на конце и чистый изгиб стержня.Поступило 10 VII 1948ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА1 С. Е. Бирман, ДАН, 62, № 2 (1948).308

К задачам о тонкостенных стержнях

https://elib.gstu.by/bitstream/220612/37445/1/305-308.pdf

К задачам о тонкостенных стержнях

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic Library Pavel Sukhoi State Technical University of Gomel (GSTU)