In applications, often not all parameters of optimization problems are known precisely, for example, due to measurement inaccuracies or imprecise statistical predictions.
Optimization under uncertainty, therefore, plays an increasingly important role in current research.
Robust optimization is one approach to dealing with such uncertainties.
Here, we require that a robust solution is feasible for all parameters from a previously chosen so-called uncertainty set.
In the classical concept of robustness, one then searches for the robust solution that has the best worst-case objective function value.
We consider three relevant problems under this and other robustness concepts in the following. In each case, we focus on a different aspect of robust optimization.
In addition, for all problems, we investigate whether and how problem-specific properties extend to the robust case as well.
After a short introduction to robust optimization, we summarize the considered problems and present the respective results in the first part of this cumulative dissertation.
The second part contains reprints of the publications and manuscripts on which the first part is based.
First, we consider flow problems under uncertainty:
The well-known maximum flow problem is extended by the assumption that up to Γ many edges may fail.
Several robust models already exist for this problem. We introduce a unifying model and analyze its complexity. Further, we compare the models with each other and extend our analysis to a dynamic setting.
Next, we address robust market equilibria under the assumption of uncertain production costs: We model robust producers and compare the resulting equilibria with the so-called robust central planner.
In the case that the uncertainty set contains correlations, there is a gap between the welfare of the equilibrium and the optimal value of the robust central planner, which is in contrast to the nominal problem.
We quantify this gap and provide bounds.
Since the market model we chose involves investments, the established concept of adjustable robustness is also suitable for the problem. This means that the investments are fixed in the beginning, while the production decisions may be made after the production costs are known. Among other things, we show how to use subsidies to induce an equilibrium that corresponds to the optimal solution of the robust central planner.
Third, we consider the Linear Complementarity Problem (LCP): Again, we discuss adjustable robustness but restrict the solution set to affine functions. This restriction allows us to derive compact characterizations of affinely adjustable robust solutions. With these, a mixed-integer linear problem can be set up to compute solutions.
Under further assumptions, particularly on the LCP matrix M, we show solvability in polynomial time and the uniqueness of the solution.
In the last content chapter, we study the concept of Pareto optimality for robust optimization.
In many problems, the robust optimal solution is not necessarily unique.
For this case, the concept of Pareto optimality has already been applied to linear problems in the literature.
We extend this to problems with a nonlinear objective function and demonstrate how Pareto robust optimal solutions can be computed.
Finally, we discuss two approaches to extend the concept of Pareto optimality to robust combinatorial problems.In der Praxis sind oft nicht alle Parameter von Optimierungsproblemen exakt bekannt, zum Beispiel aufgrund von Messungenauigkeiten oder unpräzisen statistischen Vorhersagen.
Optimierung unter Unsicherheit spielt daher eine immer größere Rolle in der aktuellen Forschung.
Robuste Optimierung ist ein Ansatz um mit solchen Unsicherheiten umzugehen.
Dabei fordern wir, dass eine robuste Lösung für alle Parameter aus einer vorher gewählten sogenannten Unsicherheitsmenge zulässig ist.
Im klassischen Robustheitskonzept sucht man dann die robuste Lösung, die den besten worst-case Zielfunktionswert hat.
Im Folgenden betrachten wir drei relevante Probleme unter diesem und anderen Robustheitskonzepten. Dabei steht jeweils ein anderer Aspekt robuster Optimierung im Fokus.
Zudem werden alle Probleme daraufhin untersucht, ob und wie sich problemspezifische Eigenschaften auch auf den robusten Fall übertragen lassen.
Nach einer kurzen Einführung zur robusten Optimierung fassen wir im ersten Teil dieser kumulativen Dissertation die betrachteten Probleme zusammen und präsentieren die jeweiligen Ergebnisse.
Im zweiten Teil finden sich dann Abdrucke der Publikationen und Manuskripte, die dem ersten Teil zugrunde liegen.
Als Erstes betrachten wir Flussprobleme unter Unsicherheit:
Das bekannte Maximum Flow Problem wird erweitert um die Annahme, dass bis zu Γ viele Kanten ausfallen können.
Für dieses Problem existieren bereits verschiedene robuste Modellierungen. Wir führen ein vereinheitlichendes Modell ein und analysieren dessen Komplexität. Weiterhin vergleichen wir die Modelle untereinander und erweitern unsere Analyse auf ein dynamisches Umfeld.
Anschließend behandeln wir robuste Marktgleichgewichte unter der Annahme unsicherer Produktionskosten: Wir modellieren robuste Produzenten und vergleichen die daraus resultierenden robusten Gleichgewichte mit dem sogenannten robusten Zentralplaner.
Sofern die Unsicherheitsmenge Korrelationen enthält, ergibt sich im Gegensatz zum nominalen Fall eine Lücke zwischen der sogenannten Wohlfahrt des robusten Gleichgewichtes und dem Optimalwert des robusten Zentralplaners.
Wir quantifizieren diese Lücke und geben Schranken an.
Da das von uns gewählte Marktmodell Investitionen beinhaltet, bietet sich für das Problem auch das etablierte Konzept der justierbaren Robustheit an. Das heißt, dass die Investitionen zu Beginn festgelegt werden, wohingegen die Produktionsentscheidungen getroffen werden dürfen, nachdem die Produktionskosten bekannt sind. Wir zeigen unter anderem einen Weg über Subventionen auf, um den Markt zu einem Gleichgewicht zu lenken, welches der optimalen Lösung des robusten Zentralplaners entspricht.
Das dritte Problem ist das Lineare Komplementaritätsproblem (LCP): Erneut behandeln wir justierbare Robustheit, schränken jedoch die Lösungsmenge auf affine Funktionen ein. Diese Einschränkung ermöglicht es uns, kompakte Charakterisierungen von affin justierbar robusten Lösungen herzuleiten. Mit diesen lässt sich ein gemischt-ganzzahliges lineares Problem zur Berechnung von Lösungen aufstellen.
Unter weiteren Annahmen, insbesondere an die LCP Matrix M, zeigen wir Lösbarkeit in polynomieller Zeit und Eindeutigkeit der Lösung.
Im letzten inhaltlichen Kapitel untersuchen wir das Konzept der Pareto-Optimalität für robuste Optimierung.
In vielen Problemen ist die robust optimale Lösung nicht notwendigerweise eindeutig.
Das Konzept der Pareto-Optimalität wurde für diesen Fall in der Literatur schon auf lineare Probleme angewandt.
Wir erweitern dies auf Probleme mit nichtlinearer Zielfunktion und stellen dar, wie sich Pareto robust optimale Lösungen berechnen lassen.
Als Abschluss besprechen wir zwei Ansätze, um das Konzept der Pareto-Optimalität auf robuste kombinatorische Probleme zu erweitern
