Gama, Henrique Varelo

Giustina, Edgar Della

Oliveira, Davy Alixandre de

Publicações do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense (IFC)

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE MÉTODOS DE CÁLCULONUMÉRICO EM PROBLEMAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA E DEENGENHARIA ECONÔMICAHenrique Varelo Gama - IFC- (henrique.14.gama@gmail.com)Davy Alixandre de Oliveira - IFC - (davy.oliveira.2002@hotmail.com)Edgar Della Giustina - IFC - (edgar.giustina@ifc.edu.br)RESUMOO foco deste trabalho é a implementação computacional de tópicos de Cálculo Numérico naresolução de problemas de Matemática Financeira e Engenharia Econômica. Nas áreas deMatemática Financeira e de Engenharia Econômica são desenvolvidas ferramentas paraanálise de riscos, custos e investimentos. A disciplina de Cálculo Numérico auxilia na soluçãode problemas de engenharia e áreas correlatas ao utilizar-se do método de aproximação,principalmente quando não se tem uma resposta analítica do problema ou em problemas nãolineares. Somado a isso, a utilização de Cálculo Numérico pode auxiliar em decisõesfinanceiras e soluções rápidas para problemas que apresentam várias incógnitas ou muitasequações. A implementação computacional, depois de feita e validada, facilita na resolução deproblemas e pode-se simular diferentes situações. Dentre as aplicações, as principais foram oMétodo de Newton-Raphson, que é um método de cálculo numérico, em problemas de taxainterna de retorno e para calcular a taxa de juros do fluxo de caixa convencional, que são doisassuntos relacionados à Matemática Financeira e que podem ser usados em projetos paraanalisar um projeto, que tem relação com Engenharia Econômica. Observou-se que essasaplicações têm resultados confiáveis.Palavras-chave: computacional, financeira, econômica, numérico.1 INTRODUÇÃONesse projeto foram desenvolvidas aplicações de tópicos de Cálculo Numérico emconteúdos de Matemática Financeira e Engenharia Econômica. Entre os tópicos, estão:Equações Não Lineares, utilizadas para encontrar taxas de juros; Método dos MínimosAgência de fomento: CNPQQuadrados, utilizado para a análise da substituição de equipamentos, por exemplo; e IntegralNumérica, utilizada para demonstrar como pode ser realizado um somatório de fluxos decaixas através da integração. A junção do Cálculo Numérico com a Matemática Financeira e aEngenharia Econômica é a programação que será desenvolvida e adaptada para cada métododo Cálculo Numérico e para cada equação da Matemática Financeira e da EngenhariaEconômica.Foram feitos alguns levantamentos e os principais tópicos foram o cálculo da TaxaInterna de Retorno (TIR) e a taxa de juros do Fluxo de Caixa Convencional, para calcularessas taxas foi usado o Método de Newton-Raphson. Implementou-se o Método deNewton-Raphson em um programa computacional utilizando a linguagem C para resolver osproblemas envolvendo TIR, e com os resultados obtidos foi possível validar a teoria abordadano presente trabalho..2 DESENVOLVIMENTO2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA2.1.1 Método de Newton-RaphsonO método de Newton-Raphson utiliza o que é conhecido como “fórmula derecorrência” para o cálculo de funções f(x) = 0, que possui soluções complexas ouimpossíveis, a equação do método de Newton na Equação (1). O valor da taxa efetivarepresenta os pontos onde os gráficos da função interceptam o eixo x, considerando taxa deerro entre as raízes aproximadas resulta em um valor de menor que 0,01 como visto naequação 4 (SANTOS et al., 2018).(1)2.1.2 Taxa Interna de RetornoAinda segundo Assaf Neto (2012), o conceito de que a taxa TIR iguala o fluxo decaixa inicial com os demais fluxos de caixa se adequa ao conceito do método deNewton-Raphson. Visto que no método de cálculo numérico se encontra a raiz de uma funçãopode-se observar a Equação (2) que caracteriza a Taxa Interna de Retorno, onde FCcaracteriza os fluxos de caixa e é uma equação não-linear, podendo usar o Método deNewton-Raphson.(2)A implementação da aplicação do método está com livre acesso por meio daplataforma de códigos GitHub, acessando:“https://github.com/FabiooBatista/Aplicacao-do-metodo-de-Newton-Raphson-para-Taxa-Interna-de-Retorno”.2.1.3 Fluxo de Caixa ConvencionalO fluxo caixa é uma das práticas mais utilizadas no ramo da matemática financeira.Este método consiste nos registros e controles existentes da movimentação do caixa,compreendendo assim as entradas e saídas dos recursos financeiros que tenham ocorrido emum determinado intervalo de tempo. Com o fluxo de caixa, é possível obter uma boa gestãodos recursos financeiros de uma empresa, evitando futuros problemas de contabilidade(FRIEDRICH, 2005). Na Equação (3) mostra-se a equação do fluxo de caixa convencional,que trabalha com parcelas iguais, consecutivas e sem carência.(3)Sendo que: VP é o valor presente, FC o fluxo de caixa, n o número de meses e i a taxaque é principal problema por aparecer em dois lugares da equação, tendo que usar algummétodo para calcular o i.A lógica do programa confeccionado poderá ser acessada através do seguinte link:https://github.com/davyoliv1/engenhariaeconomica/blob/6c61b4230b27af1d68b202ce31df19841a780125/Principal.java.2.2 VALIDAÇÃO DA PRIMEIRA IMPLEMENTAÇÃOO seguinte problema demonstrado por Assaf Neto (2012, p.30): “Para umempréstimo de $11.500,00, um banco exige o pagamento de duas prestações mensais econsecutivas de $6.000,00 cada. Determinar o custo mensal de operação. Com o auxílio deuma calculadora financeira, chega-se ao custo de: i = 2,885% ao mês, que representa a taxainterna de retorno da operação”, foi implementado no código desenvolvido. Na Figura 1mostra-se o resultado no programa que é 2,884871%, um resultado idêntico ao mostrado pelolivro.FIGURA 1 - RESULTADOFonte: Próprio Autor (2023)2.3 VALIDAÇÃO DA SEGUNDA IMPLEMENTAÇÃONo seguinte exemplo: “Um empréstimo de $20.000,00 é concedido para pagamentode 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $4.300,00. Calcular o custo mensal desseempréstimo.”Nesse exemplo têm-se o Valor Presente (VP) como: $20.000,00; a quantidade depagamentos mensais (n) como: 5 e por último têm-se o valor de Fluxo de Caixa (FC) como:$4.300,00. O livro mostra um resultado de 2,46%. Inserindo essas informações no programase obtém o seguinte resultado de uma taxa equivalente a 2,4601%, conforme a Figura 2.FIGURA 2 - RESULTADOFonte: Próprio Autor (2023)3 CONCLUSÃOAtravés das referências bibliográficas dos artigos e livros acadêmicos citados e dosexercícios utilizados, foi possível comprovar a relação do cálculo numérico com a EngenhariaEconômica, ou mais especificamente, do Método de Newton-Raphson para calcular a taxa doFluxo de Caixa Convencional e para Taxa Interna de Retorno.O motivo pelo qual foi desenvolvido um programa em linguagem Java e umprograma em C para a resolução dos exercícios utilizados nos exemplos é devido ao fato dosresultados obtidos através de simulações computacionais serem mais confiáveis. Com isso, foipossível comprovar a eficiência do Método Newton-Raphson e também a eficiência doprograma quando comparados com os resultados obtidos.Visando a importância que este assunto seja alcançado pela população brasileira eque a linguagem seja de fácil compreensão para diferentes setores que compõem a sociedade,cogitada a possibilidade da implementação da tecnologia em interface gráfica, no mesmoprograma desenvolvido. Com isso, o software poderá ser utilizado por todos,independentemente do nível de conhecimento técnico na área.São importantes novas aplicações do Método de Newton em problemas deMatemática Financeira e Engenharia Econômica. Uma nova aplicação que já foi observada eserá trabalhada, é em problemas de fluxos de caixas não convencionais e taxa definanciamento, além disso pretende-se criar uma interface gráfica dessas aplicações parafacilitar o uso da população geral.REFERÊNCIASASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 12. ed. São Paulo:Atlas p. 304, 2012.FRIEDRICH, João; BRONDANI, Gilberto. Fluxo de caixa–sua importância e aplicação nasempresas. Revista eletrônica de contabilidade, v. 2, n. 2, p. 135-135, 2005.SANTOS, Janio Cesar Alencar dos et al. O método de Newton-Raphson na solução daequação 2 x= x 2: uma motivação para o estudo da existência de logaritmo de númerosnegativos, 2018.

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