Teoría de Galois para anillos graduados

Abstract

En este trabajo se deducen resultados para la teoría de Galois de anillos graduados con parte de grado cero conmutativa ygrupo de automorfismos homogéneos de grado cero. Está dividido en tres capítulos: I.- Resultados previos. II.- Sobre teoría de Galois de anillos no conmutativos. III.- Teoría de Galois para anillos graduados. En el primer párrafo del capitulo I se deducen algunaspropiedades, generalizaciones triviales, de las extensiones separables de anillos no conmutativos. En el segundo párrafo, se estudian los monoides sobre loscuales se supone dada la graduación, que se denominan monoides admisibles. Un monoide admisible es un submonoide del monoide de los elementos positivos de un grupo totalmente ordenado. Suponemos ahora, para el resto de esta introducción, quetodos los monoides son admisibles. No obstante, algunas propiedadesno necesitan de esta hipótesis. Si A = + iεI Ai es un anillo graduado sobre el monoide I, M = + iεI Mi es un A-módulo a derecha graduado, en el párrafo 3 sedemuestra que: a) Si M es finitamente generado (proyectivo, playo) sobre A, Mo es finitamente generado (respectivamente proyectivo,playo) sobre A ̥. b) Si M es un A-anillo homogéneo (es decir, M es un anilloy existe un homomorfismo homogéneo de grado cero A --> M)separable (fielmente proyectivo) sobre A, entonces M̥es separable (respectivamente fielmente proyectivo) sobre A ̥. En el párrafo 4 se estudian algunas propiedades de anillosgraduados. Se obtiene así el resultado fundamental de este capítulo: "Sean B --> A un B-anillo graduado homogéneo con A ̥ Ϛ Z(A) (Z(A) esel centro de A), C un B-subanillo homogéneo de A el cual es separablesobre B y f: C --> A un homomorfismo homogéneo de grado cerode B-anillos. Entonces f/C̥ = 1C̥ si y solo si f = 1C". En particular,si A es B-separable y σ es un automorfismo homogéneo de grado cerode A que deja fijo B, entonces σ/A ̥ = 1A ̥ si y solo si σ = id. Porlo tanto, si G(A/B) es el grupo de todos los B-automorfismos homogéneos de grado cero de A y G(A ̥/B̥) el grupo de todos los Bo-automorfismos de A ̥, entonces G(A/B) Ϛ G(A ̥/B̥) por la aplicación σ --> σ/A ̥. En el quinto párrafo se extienden los resultados de Villamayory Zelinski (Galois theory with infinitely many idempotents).referentes al espectro booleano de un anillo. El capítulo termina con un teorema sobre separabilidad deálgebras universales: "Si A es un anillo conmutativo, F el funtor álgebra tensorial, simétrica o exterior (más generalmente, un funtorde la categoría de A-módulos en la categoría de A-álgebras graduadasque cumple ciertas condiciones), M un A-módulo y G ҂ {id} un grupode automorfismos de M entonces F(M) no es F(M)^G-separable". En el capítulo II se desarrolla una teoría de Galois deanillos no conmutativos, que generaliza la teoría de Chase, Harrisony Rosenberg (Galois theory and Galois cohomology of commutative rings)para el caso de anillos sin idempotentes. Si S es un anillo, G un grupo finito de automorfismos de S y R = S^G, se considera el caso en que S es Galois sobre R en elsentido de Chase, Harrison y Rosenberg (Galois fuerte). Suponemosque S verifica la condición (H) siguiente: Para cada familia finita Xi, yi, en S, Σ(i,j) xi.xj.yj.yi = Σ(i) xi.yi => Σ(i) xi.yi = 0 ó Σ(i) xi.yi = 1. Esta condición es mas restrictiva que la no existencia de idempotentes no triviales. En el párrafo 2 se prueba que, bajo estas suposiciones, Ses Galois fuerte sobre R si y solo si S es R-separable. Para este caso, en el párrafo 3 se deduce el siguiente teorema de Galois: "Si S es Galois fuerte sobre R con grupo G, S verifica (H) y la aplicación traza de S en R es suryectiva, entonces existeuna correspondencia biunívoca entre subgrupos de G y subanillos de S que contienen a R y son R-separables". En el párrafo 4 se estudia cierta conexión de nuestra teoríacon la de Miyashita (Finite outer Galois theory of non commutative rings). Finalmente, en el último párrafo se obtienen propiedadesrelativas a los homomorfismos, endomorfismos y automorfismos de extensionesde Galois (fuerte). El teorema fundamental establece unarepresentación de los homomorfismos, que generaliza la obtenida paraanillos conmutativos por Chase, Harrison y Rosenberg. En el capítulo tercero se estudia la teoría de Galois deanillos graduados. El primer párrafo contiene resultados introductorios. En el segundo se obtienen propiedades del grupo de automorfismosque mas adelante son mejoradas. Para lo que sigue se supone siempre que A es un anillo graduado con A ̥ Ϛ Z(A) y B es un subanillo de A. La teoría para anillos sin idempotentes se desarrolla enel párrafo 3. En el cuarto la teoría para anillos con un número finito de idempotentes y el quinto se dedica a los anillos que contieneninfinitos idempotentes. BEl párrafo 6 contiene algunos complementos. En nuestro caso, A es Galois sobre B, se entiende en elsentido debil: "A es separabla sobre B, finitamente generado y proyectivocomo B-módulo a derecha y existe un grupo finito F de B-automorfismos homogéneos de grado cero de A tal que A^F = B". Si A no tiene idempotentes no triviales, A es Balois debilsobre B si y solo si A es Galois fuerte sobre B. Los resultados que se obtienen muestran que la teoría de Asobre B se reduce a la de A ̥ sobre B̥. En efecto, se prueba que: 1°) A ̥ es Galois sobre B̥ y A ~ B XB̥A ̥. 2°) G(A/B) = G(A ̥/B̥). 3°) Para cada subgrupo finito H del grupo total G, A^H ~ B XB̥A ̥^H. 4°) Valen los teoremas de Galois que caracterizan todoslos anillos C tales que B Ϛ C Ϛ A y C es B-separable,conocidos para el caso conmutativo (Chase, Harrison y Rosenberg-Villamayor y Zelinski). 5°) Todo subanillo de A que contiene a B y es B-separable,es homogéneo y de la forma B XB̥C̥, con B̥ Ϛ C̥ Ϛ A ̥ y C̥ es separable sobre B̥. 6°) Todo automorfismo de A que deja fijo B es homogéneo degrado cero. Si B no tiene idempotentes, se tiene también el siguienteteorema: "A es débilmente Galois sobre B con grupo G si y solo siexiste un subgrupo H de G tal que A es Galois fuerte sobre B con grupo H". Como es usual, se supone aquí que todos los anillos tienenunidad, todos los módulos son unitarios y los homomorfismos de anillostransforman la unidad en la unidad.Fil: Ferrero, Miguel Angel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina