Adamek, Catharina

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

In Institut für Mathematik und Informatik Heidelberg (Hrsg.), Beiträge zum Mathema-tikunterricht 2016 (S. x–y). Münster: WTM-Verlag  Catharina ADAMEK, Universität Münster Der Lösungsplan als Strategiehilfe beim mathematischen Modellieren – Ergebnisse einer Fallstudie Das Bearbeiten von mathematischen Modellierungsaufgaben ist für Schüle-rinnen und Schüler anspruchsvoll (s. Blum, 2007), da jeder Schritt im Mo-dellierungsprozess eine mögliche kognitive Hürde darstellen kann (Galbraith & Stillman, 2006). Daher wird jeweils die Fähigkeit, einen solchen Schritt auszuführen, als Teilkompetenz des Modellierens bezeichnet (Kaiser et al., 2015). Blum und Leiß (2005) beschreiben folgende Teilkompetenzen: Ver-stehen, Vereinfachen/Strukturieren, Mathematisieren, Mathematisch arbei-ten, Interpretieren, Validieren und Darlegen/Erklären. Es wurde gezeigt, dass Schülerinnen und Schüler beim Bearbeiten von Modellierungsaufgaben keine bewussten Lösungsstrategien nutzen und insbesondere durch fehlende metakognitive Kompetenzen Probleme beim Modellieren auftreten können (Blum, 2006; Kaiser et al., 2015). Um Lernende beim Modellieren zu unter-stützen, können ihnen daher Strategien zum Lösen von Modellierungsaufga-ben an die Hand gegeben und Wissen über Modellierungsaktivitäten als Pro-zess vermittelt werden (Blum, 1996; Blum, 2006).  Mathematisches Modellieren mit Lösungsplan Ein möglicher Ansatz ist ein „Lösungsplan“, also ein metakognitives Strate-gieinstrument, dessen Aufbau an den Teilkompetenzen des Modellierens ori-entiert ist. Es sind bereits verschiedene Varianten von Lösungsplänen be-kannt (Greefrath, 2014), die sich unter anderem in der Anzahl und der Art der Schritte unterscheiden. So wurde etwa im Rahmen des DISUM-Projekts ein vierschrittiger Lösungsplan entwickelt, der anhand der Teilschritte Auf-gabe verstehen, Modell erstellen, Mathematik benutzen und Ergebnis erklä-ren aufgebaut ist (vgl. u.a. Blum, 2006). Zöttl und Reiss (2008) haben eine Version entwickelt, die auf drei Schritte reduziert ist: Aufgabe verstehen, rechnen und Ergebnis erklären. Diese Lösungspläne enthalten alle Teil-schritte des Modellierens in für Lernende vereinfachter Form.  Empirische Studien haben gezeigt, dass das Wissen über den Modellierungs-prozess in Form eines strategischen Instruments als Orientierungshilfe für Lernende dient (Maaß, 2004), sodass ein Lösungsplan als metakognitives Hilfsmittel beim Modellieren im Mathematikunterricht verwendet werden kann und somit eine Kontrolle der einzelnen Schritte ermöglicht (Stillman, 2011; Kaiser et al., 2015). Jedoch hat sich herausgestellt, dass Lernende zu-mindest am Anfang dazu tendieren, den Lösungsplan zu ignorieren, obwohl  sie im Lösungsprozess auf Probleme stoßen (Schukajlow et al., 2011). Ins-gesamt wurde hingegen der erfolgreiche Einsatz eines Lösungsplans bei Schülerschwierigkeiten beobachtet (Blum, 2006).  Entwicklung eines strategischen Instruments Im Rahmen des Projekts LIMo („Lösungs-Instrumente beim Modellieren“) der Universität Münster, in dem untersucht werden soll, wie sich der Einsatz eines Lösungsplans auf die Modellierungskompetenzen von Schülerinnen und Schülern auswirkt, wurde anhand von theoretischen Überlegungen und bereits bestehenden Lösungsplänen ein fünfschrittiger Lösungsplan entwi-ckelt. Dabei standen die effektive Nutzung und die Beachtung durch die Ler-nenden im Vordergrund. Dieser Lösungsplan umfasst die Schritte 1) Verste-hen und vereinfachen, 2) Mathematisieren, 3) Mathematisch arbeiten, 4) In-terpretieren und 5) Kontrollieren. Es wurden fünf Schritte gewählt, um auch den Schritt des Validierens von Ergebnis und Lösungsweg zu betonen.  Für den Einsatz im Unterricht wurde zusätzlich zum Lösungsplan ein Bear-beitungsbogen entwickelt, dessen Aufbau an die Schritte des Lösungsplans angelehnt ist und den Lernenden die Möglichkeit bietet, den Modellierungs-prozess schrittweise zu dokumentieren. Eine Vorstudie hat gezeigt, dass der Einsatz des Bearbeitungsbogens die Aufmerksamkeit verstärkt auf den Lö-sungsplan lenkt, sodass sich für die hier vorgestellte Fallstudie die folgenden Forschungsfragen ergaben:  ─ Wie lösen Schülerinnen und Schüler Modellierungsaufgaben mit Hilfe von Lösungsplan und Bearbeitungsbogen?  ─ Welche Auswirkung hat der Einsatz des Bearbeitungsbogens auf die Verwendung des Lösungsplans?  ─ Welche Chancen und Risiken sind zu beobachten?  Eine Fallstudie zum Lösungsplan-Einsatz Um diese Fragestellungen zu untersuchen, wurde eine Fallstudie mit 30 Schülerinnen und Schülern in einer 9. Klasse eines Gymnasiums in Lever-kusen durchgeführt. In einer vierstündigen Unterrichtssequenz zum Model-lieren bekamen die Lernenden in der ersten Stunde im Anschluss an eine Beispielaufgabe eine Einführung in die Nutzung des Lösungsplans, der zu-sammen mit dem Bearbeitungsbogen in den darauffolgenden Stunden bei der selbstständigen Bearbeitung von drei weiteren Modellierungsaufgaben in Partnerarbeit eingesetzt wurde. Die Unterrichtsstunden wurden von Mitar-beiterinnen des LIMo-Projekts beobachtet und die Schülerlösungen analy-siert. Die Analyse erfolgte auf Grundlage von Kategorienbildung der As-pekte Lösungsplannutzung und Schritte im Lösungsplan.   Ergebnisse Die im Folgenden vorgestellte Schülerlösung zeigt beispielhaft einen Schritt der Lösung einer Aufgabe aus der zweiten Stunde, in der die Schülerinnen und Schüler den Arbeitsauftrag hatten, die Fläche eines Grundrisses mithilfe des Lösungsplans zu modellieren und dies auf dem beiliegenden Bearbei-tungsbogen zu dokumentieren.  Abb. 1: Beispiel einer Schülerlösung zum Schritt „Verstehen und vereinfachen“ Die Schüler (s. Abb. 1) treffen zwei Annahmen, welche die Basis für den weiteren Lösungsweg dieses Schülerpaars, die Modellierung des Grundris-ses als Kreis, bilden. Vermutlich haben die Lernenden den Lösungsplan in dieser Phase des Modellierungsprozesses genutzt, da im ersten Schritt „Ver-stehen und vereinfachen“ u.a. dazu aufgefordert wird, Vereinfachungen und Annahmen aufzuschreiben, die zur weiteren Bearbeitung der Aufgabe wich-tig sind.  Abb.2: Beispiel einer Schülerlösung zum Schritt „Kontrollieren“ Auch diese Schülerlösung aus Abbildung 2 lässt vermuten, dass der Lö-sungsplan in diesem Schritt verwendet wurde. Der fünfte Schritt „Kontrol-lieren“ gibt den Lernenden den Hinweis, die Plausibilität des Ergebnisses anhand eines Vergleichsobjekts zu überprüfen. Das Schülerpaar vergleicht das zuvor berechnete Ergebnis in diesem Beispiel mit der Größe von Klas-senräumen, sodass dieser Schritt des Lösungsplans offensichtlich beachtet wurde.  Zusammenfassung und Diskussion Die Fallstudie zeigt, dass in allen Schritten des Lösungsprozesses verstärkt der Lösungsplan in Betracht gezogen wurde, da die Lernenden durch die Do-kumentation der Lösung auf dem Bearbeitungsbogen auf die Schritte des Lö-sungsplans aufmerksam wurden. Eine Chance des Einsatzes von Lösungs-plan und Bearbeitungsbogen beim Modellieren im Unterricht ist demnach,  dass der Lösungsplan tatsächlich beachtet wird und der Lösungsweg durch die schrittweise Bearbeitung überwacht und reflektiert werden kann. Auf der anderen Seite steht das Risiko, dass Lernende den Lösungsprozess nicht selbst steuern und der Modellierungsprozess ggf. nur einmal – und nicht wie durch den Modellierungskreislauf idealerweise angedeutet mehrfach - durchlaufen wird. Um zu untersuchen, inwieweit das strategiegestützte Mo-dellieren mit Lösungsplan und Bearbeitungsbogen Auswirkungen auf die Modellierungskompetenzen von Schülerinnen und Schülern hat, sind wei-tere quantitative Studien erforderlich. Dazu wird im Frühjahr 2016 im Rah-men des LIMo-Projekts eine quantitative Studie in 30 neunten Klassen in NRW durchgeführt. Literatur Blum, W. (1996). Anwendungsbezüge im Mathematikunterricht – Trends und Perspekti-ven. In: G. Kadunz et al. (Hrsg.), Trends und Perspektiven: Beiträge zum 7. Internati-onalen Symposium zur Didaktik der Mathematik (S. 15-38). Wien: Tempsky. Blum, W. & Leiß, D. (2005). Modellieren im Unterricht mit der “Tanken”-Aufgabe. Ma-thematik lehren, 128, 18-21. Blum, W. (2006). Modellierungsaufgaben im Mathematikunterricht – Herausforderung für Schüler und Lehrer. In Büchter, A. et al. (Hrsg.), Realitätsnaher Mathematikunter-richt – vom Fach aus und für die Praxis (S. 8-23). Hildesheim: Franzbecker. Blum, W. (2007). Mathematisches Modellieren – zu schwer für Schüler und Lehrer? In Beiträge zum Mathematikunterricht 2007 (S. 3-12). Hildesheim: Franzbecker.  Galbraith, P. & Stillman, G. (2006). A framework for identifying student blockages dur-ing transitions in the modelling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 143-162. Greefrath, G. (2014). Lösungshilfen für Modellierungsaufgaben. In I. Bausch et al. (Hrsg.), Unterrichtsentwicklung und Kompetenzorientierung. Festschrift für Regina Bruder (S. 131-140). Münster: WTM. Kaiser, G., Blum, W., Borromeo Ferri, R. & Greefrath, G. (2015). Anwendungen und Modellieren. In: R. Bruder et al. (Hrsg.): Handbuch der Mathematikdidaktik (S. 357-383). Heidelberg: Springer. Maaß (2004). Mathematisches Modellieren im Unterricht – Ergebnisse einer empirischen Studie. Hildesheim: Franzbecker.  Schukajlow, S., Blum, W. & Krämer, J. (2011). Förderung der Modellierungskompetenz durch selbständiges Arbeiten im Unterricht mit und ohne Lösungsplan. Praxis der Mathematik in der Schule, 53(38), 40-45. Stillman, G. (2011). Applying metacognitive knowledge and strategies in applications and modelling tasks at secondary school. In G. Kaiser et al. (Hrsg.), Trends in teaching and learning of mathematical modelling. ICTMA 14 (S. 165-180). Dordrecht: Sprin-ger.   Zöttl, L. & Reiss, K. (2008). Modellierungskompetenz fördern mit heuristischen Lö-sungsbeispielen. In Beiträge zum Mathematikunterricht 2008 (S. 189-192). Münster: WTM.  

Der Lösungsplan als Strategiehilfe beim mathematischen Modellieren – Ergebnisse einer Fallstudie

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Der Lösungsplan als Strategiehilfe beim mathematischen Modellieren – Ergebnisse einer Fallstudie

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