Collignon, Peter

Möller, Regina D.

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

Regina D. MÖLLER, Peter COLLIGNON, Erfurt Analysis unter einer postmodernen Perspektive 1. Zum Begriff der Postmoderne Der Begriff „Postmoderne“ wird vorwiegend verwendet, um auf Verände-rungen in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hinzuweisen. Ziel ist es, bei gewissen Entwicklungen zu klären, ob es sich bei ihnen um fortgeführte moderne Phänomene handelt oder um kritische Reaktionen auf sie. Der Begriff der Postmodernen ist weder exakt definiert noch ist er auf bestimm-te Phänomene begrenzt. Insbesondere bezieht er sich auf keine festen chro-nologischen Einordnungen. Er kann sich auf wissenschaftliche wie auf nichtwissenschaftliche Manifestationen beziehen.  Nach dem französischen Philosophen Lyotard (1979) fasst der Begriff ver-schiedene Formen einer skeptischen Haltung gegenüber den Metanarrati-ven zusammen. Letztere stehen für „große Geschichten“ (big stories), die eine Erklärung für gesellschaftliche Phänomene bereitstellen. In der Sozio-logie wird unter Metanarrativen eine high-level-Theorie verstanden (z.B. eine Ideologie oder ein wissenschaftliches Paradigma). Unter einer sozio-logischen Perspektive sind beispielsweise der Funktionalismus, der Mar-xismus, der Interaktionismus und der Feminismus Metanarrative, weil sie für die verschiedensten Aspekte von Gesellschaft Theorien formulieren. Auch die so genannten exakten Wissenschaften sind nicht frei von tradier-ten Paradigmen, die innerhalb der Fachdisziplinen als Theorien bezeichnet werden, und die in einem weiteren Rahmen als Metanarrative verstanden werden können. Beispielsweise zeigen sich bei der Entwicklung der Be-schreibung der Naturgesetze Paradigmenwechsel, etwa durch die Weiter-entwicklung vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltbild, von der Newtonschen Mechanik zur Relativitätstheorie. In der Mathematik machte die Grundlagenkrise im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts deutlich, dass die naiven Grundlagen von Logik und Mengenlehre keine vollständige Ba-sis sein können. Mathematiker wie Hilbert haben mit den Erkenntnissen von Gödel gerungen; letztendlich musste sich ein Paradigmenwechsel voll-ziehen. Da verschiedene Bereiche, fachdisziplinär oder kulturell, sehr unterschied-lichen Aspekte des menschlichen Interesses im Fokus haben, die sich auch unterschiedlich historisch entwickelt haben, unterscheiden sich die Me-tanarrativen enorm voneinander. Um die beteiligten Metanarrativen zu ana-lysieren, d.h. zu dekonstruieren, muss man auch die Abfolge historischer Entwicklungen betrachten. 2. Historische Perspektiven Aus der Graphik ist ersichtlich, dass sich die Entwicklung der Analysis nicht in den aktuellen Unterrichtswerken widerspiegelt. Ganz im Gegenteil entspricht die Abfolge der Themen weitgehend der didaktischen Inversion (Freudenthal, 1983). Beispielsweise wird die Behandlung der reellen Zah-len häufig an den Anfang einführender Lehreinheiten zur Analysis gestellt, während sie erst sehr spät, im 19. Jahrhundert, axiomatisch grundgelegt wurden (Cauchy, Cantor, Dedekind u.a.).    Die Zeitstrahlen bilden natürlich nicht die historische Entwicklung mit all ihren Verzweigungen ab. Sie ordnen jedoch die Ideen, die sich schließlich durchgesetzt haben, zeitlich ein. Bereits in der Antike wurden infinitesimale Berechnungen durchgeführt, die sich auf Flächen und Volumina bezogen. Beispielsweise hat Archime-des zu diesem Zweck Exhaustionen (Ausschöpfungen von Kreisen bzw. von Parabeln begrenzten Flächen) unternommen. Vor Newton und Leipniz wurden immer wieder infinitesimalen Berechnungen vorgenommen, die sich auf geometrische Objekte bezogen. Das Interesse an dynamischen Fragestellungen förderte erste Konzepte der Differentialrechnung. Dabei stand neben der Untersuchung statischer Kurven immer häufiger die Inter-pretation als Bahnkurve eines Objektes im Mittelpunkt der Betrachtung. Diese Verlagerung der Perspektive auf kinematische Aspekte war ein wich-tiger Schritt hin zu einem Differentialkalkül. Leibniz und Newton haben unabhängig voneinander infinitesimale Überlegungen ohne den heute übli-chen Funktionsbegriff angestellt. Dabei hat Leibniz mit sogenannten infini-tesimalen Größen gearbeitet, die nicht von allen seiner Zeitgenossen akzep-tiert wurden, deren Idee im 20. Jahrhundert im Rahmen in der Non-Standard-Analysis aber wieder aufgegriffen und präzisiert wurde.  Die Bindung des infinitesimalen Kalküls an den heutigen Funktionsbegriff nahm ihren Anfang mit Euler, auch wenn eine mengentheoretische Defini-tion erst im 19. Jahrhundert erfolgte. Euler war zunächst der Sinn einer funktionalen Zuordnung wichtig, auch weil er in der Tradition derer stand, die sich mit naturgegebenen Abhängigkeiten befassten; hier insbesondere mit den Abhängigkeiten von Ort und Zeit, allgemeiner mit der Formulie-rung physikalischer Naturgesetze. Für lange Zeit wurden infinitesimale Berechnungen eher unter einem pragmatischen Gesichtspunkt ausgeführt, wobei auch Reihen eine größere Rolle spielten. Die „exakte“ Grundlegung der reellen Zahlen ist Mathema-tik des 19. Jahrhunderts und hat für die Infinitesimalrechnung die Bedeu-tung einer theoretischen Fundierung zusammen mit der heute üblichen „Epsilontik“, die vorwiegend auf Weierstraß zurückgeht.   Mit einem postmodernen Blick stellen sich jetzt verschiedene Fragen: Wel-che Bedingungen haben zum heutigen Erscheinungsbild der Analysis bei-getragen? Hätte es andere Entwicklungen geben können? Wann? Welche Einflüsse waren bestimmend? Welche Metanarrativen werden mit der heu-tigen Darstellung der Analysis transportiert? Sie zielen ab auf ein Ver-ständnis dafür, dass das heutige Erscheinungsbild der Analysis von vielen Entscheidungen im historischen Verlauf bestimmt wird.  3. Folgerungen für die Lehrerausbildung In der didaktischen Diskussion spielen „fundamentalen Ideen“ die Rolle   von Leitlinien (Dankwertz 2005, Vollrath, 1978). Die Inhalte der Analysis sind bestimmt durch Messen, funktionale Zusammenhänge, Änderungsra-ten, Approximation, Optimieren und den Grenzwertbegriff. In der Schul-mathematik steht kalkülhaftes Arbeiten immer noch im Vordergrund. Mit diesem Verständnis kommen Studierende an die Hochschule und richten ihre Erwartungen entsprechend aus.  Hier gilt insbesondere für die Lehrerausbildung, dass das Kalkülhafte den Ideen und den Bedeutungen nachfolgt. Dazu sind einerseits Kenntnisse zur Genese der Analysis und der historischen Bedingungen notwendig. Zum anderen soll eine Sensibilisierung hinsichtlich des Wissenschaftsverständ-nisses erreicht werden, zumal auch heute noch bei vielen Lehrenden ein naiv-szientistisches Verständnis vorherrscht. Die nachfolgende Graphik basiert auf dem bekannten didaktischen Dreieck, das den Stoff, die Lernenden und die Lehrenden zueinander in Beziehung setzt. Hier wird es um einen vierten Aspekt, die Historie, ergänzt zu einem Tetraeder. Wenn man diesen vierten Punkt weiter aufgliedert, nämlich in Chronologie, Genese und Narrative (tradierte Geschichte), dann erhält man die entscheidenden Teilaspekte für eine postmoderne Betrachtung.                  Eine solche Sichtweise macht weiter deutlich, dass die Analysis seit lan-gem mit den Naturwissenschaften, besonders der Physik, verwoben ist. Ihre Entwicklungen bedingen sich in großen Teilen gegenseitig. Ganz anders verhält es sich mit denjenigen Wissenschaften, die die Analysis wissen-schaftshistorisch spät adaptiert haben (Ökonomie, Sozialwissenschaften). Eine postmoderne Sichtweise ermöglicht ein Erkennen eines solchen „Me-thodentransfers“ von den Naturwissenschaften zu anderen Disziplinen, welche alleine keinen hinreichenden Anlass geboten hätten, die Entwick-lung der Analysis zu befördern. Hier liegen also nicht in demselben Maße genetische Prozesse vor. Zwar stellt die Analysis einen Kalkül dar, der dank neuerer Technologien auch weiter im Vordergrund steht. In der Lehrerausbildung muss dieser Sichtweise jedoch ein Korrektiv im Sinne von Vollrath gegenübergestellt werden: Rettet die Ideen!  Literatur Danckwerts, R., Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. München: Else-vier / Spektrum Akademischer Verlag. Freudenthal, H. (1983): Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dord-recht [et al.]: D. Reidel Publishing Company. Jost, J. (2005): Postmodern Analysis. Berlin, Heidelberg: Springer. Lyotard, J. (1979). La condition postmoderne: rapport sur le savoir. Paris: Les Éditions de Minuit. Vollrath, H.-J. (1978): Rettet die Ideen! In: Der mathematische naturwissenschaftliche Unterricht, 31, 449 – 455. 

Analysis unter einer postmodernen Perspektive

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/32707/1/156.pdf

Analysis unter einer postmodernen Perspektive

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung