Corsi, Giovanna

Almae Matris Studiorum Campus

Sintassi e semantica della logica predicativa1 SintassiCon L1 indichiamo un linguaggio del primo ordine (o predicativo) con identita`,con o senza costanti funtoriali. Le clausole in blu riguardano le costanti funtorialie possono essere tralasciate se consideriamo linguaggi senza tali costanti.Alfabeto di L1:• Simboli logici: ⊥,¬,∨,∧,→,∀,∃• Simboli descrittivi:1. Un insieme al massimo infinito numerabile di costanti individuali:e1, e2, e3, ...;2. Per ogni n ≥ 0 un insieme al massimo infinito numerabile di costantipredicative: Pn1 , Pn2 , ...;13. Fra i predicati binari assumiamo di avere il predicato di identita` cheindichiamo con = .• Un insieme (non vuoto) infinito numerabile di variabili individuali: x1, x2, x3, ...;• Simboli ausiliari: le parentesi (,).Definizione 1.1 (Termini).• Una costante individuale o una variabile e` un termine.• Nient’altro e` un termine.Termini chiusi Un termine e` chiuso se e` una costante, e` aperto se e` unavariabile.Nel seguito useremo:a, b, c, d, ... come metavariabili per costanti individualix, y, z, w, ... ” variabili individualip, q, r, ... ” costanti predicative 0-arie(lettere enunciative )s1, s2, ..., t1, t2, ... ” terminiDefinizione 1.2 (Formule (ben formate), fbf, di L1).1. ⊥ e` una formula;1P 01 , P02 , P03 , . . . corrispondono alle lettere enunciative di L012. Se Pn e` una costante predicativa n-aria e t1, ..., tn sono n termini, alloraPnt1, ..., tn e` una fbf ( atomica);3. Se A e` una fbf allora ¬A e` una fbf ;4. Se A e B sono fbf allora (A ∨B), (A ∧B), (A→ B) sono fbf ;5. Se A e` una fbf e x e` una variabile, allora ∀xA, ∃xA sono fbf ;6. nient’altro e` una formula di L1.A,B, ... sono metavariabili per fbf .Con il predicato = utilizziamo, in accordo con la letteratura matematica, lanotazione infissa, scriviamo cioe` “t1 = t2” al posto di “= (t1, t2)”.Quando possibile ometteremo l’apice indicante l’arieta` dei predicati e scriveremoPt1, . . . , tn invece di Pnt1, . . . , tn.Variabili vincolate/libere La variabile x e` detta vincolata in ∀xA, ∃xA edA e` detto dominio del quantificatore ∀x, ∃x rispettivamente.Una variabile x e` detta libera in una fbf A, se almeno una occorrenza di x none` nel dominio di un quantificatore ∃x o ∀x.Formula chiusa/aperta Una fbf e` chiusa se non contiene variabili libere.Una fbf chiusa e` anche detta enunciato. Una formula contente variabili libere e`detta aperta.Importante ! In letteratura spesso si usa la scrittura A(x1, . . . , xn), ove A e`una variabile metalinguistica per una fbf. Con cio` si vuole indicare che nella fbfA occorrono al massimo le variabili libere x1, . . . , xn. Esempio: se A denota lafbf ∀x(x = y) ∨ ∃x(x = z), la scrittura A(y, z, w) indica che le variabili libereoccorrenti in A sono fra y, z, w.Convenzione sulle parentesi Per quanto riguarda l’uso delle parentesi usia-mo le convenzioni usuali, ovvero che• Si omettono le parentesi piu` esterne,• si stabilisce un ordine di precedenza fra i simboli logici, in base al quale1. ¬ , ∀ e ∃ legano piu` di tutti gli altri connettivi2. ∧, ∨ legano piu` di →.• si omettono le parentesi che sono superflue sulla base dell’ordine di prece-denza• si scrive associando a sinistra:A ∨B ∨ C ∨ · · · ∨D invece di ( . . . ((A ∨B) ∨ C) ∨ · · · ∨D)A ∧B ∧ C ∧ · · · ∧D invece di ( . . . ((A ∧B) ∧ C) ∧ · · · ∧D)Definizione 1.3 (Lunghezza di una formula). La lunghezza di una formula A,lg(A), e` definita per induzione sulla costruzione di A:21. ⊥= 02. lg(Pt1, ..., tn) = 0, ove Pt1, ..., tn e` una fbf atomica;3. lg(¬A) = lg(∀xA) = lg(∃xA) = lg(A) + 1;4. lg(A ∨B) = lg(A ∧B) = lg(A→ B) = lg(A) + lg(B) + 1.Definizione 1.4 (Sottoformula di una formula). Sia data una fbf A. Per in-duzione sulla costruzione di A definiamo quando una fbf B e` sottoformula diA.A ≡⊥B e` sf di A sse B ≡⊥A ≡ Pt1, ..., tnB e` sf di A sse B ≡ Pt1, ..., tnA ≡ ¬C,∀xC,∃xCB e` sf di A sse B ≡ A oppure B e` sf di CA ≡ C ∨D,C ∧D,C → DB e` sf di A sse B ≡ A oppure B e` sf di C o B e` sf di D.Albero delle sottoformule Le sottoformule di una formula data A costitui-scono il cosiddetto albero delle sottoformule di A.Esempio: ∀z(Sz → (∃xPx ∧ ¬∀y(Qy ∨Rz))).∀z(Sz → (∃xPx ∧ ¬∀y(Qy ∨Rz)))Sz → (∃xPx ∧ ¬∀y(Qy ∨Rz))Sz ∃xPx ∧ ¬∀y(Qy ∨Rz)∃xPxPx¬∀y(Qy ∨Rz)∀y(Qy ∨Rz)(Qy ∨Rz)Qy Rz2 Semantica per linguaggi del primo ordine2.1 L1-strutturaI linguaggi del primo ordine sono intesi parlare di domini/insiemi di enti nonvuoti. Fissato un insieme non vuoto, al massimo numerabile, D ed un linguaggioL1 dobbiamo riuscire a f´ar parlare L1 degli elementi di D.Ci sono vari modi per fare questo, noi qui presentiamo (ancorche´ in formasemplificata) l’approccio cosiddetto sostituzionale.3Per prima cosa dobbiamo assicurarci che L1 contenga nomi per ogni elementodi D. Se non li contiene, aggiungiamo ad L1 nomi per ogni oggetto di D,ottenendo cos`ı il linguaggio LD1 . Facciamo la convenzione di indicare con dk ilnome dell’elemento dk ∈ D.Definiamo ora la struttura SD che deve assolvere, in estrema sintesi, a duecompiti:per ogni nome di LD1 deve dire di quale oggetto di D e` nomeper ogni enunciati atomici di LD1 deve dire se e` vero o falso.Tutto questo va fatto sotto condizioni precise espresse dalla seguente defini-zione.Definizione 2.1 (LD1 -struttura). Una LD1 -struttura, SD, attribuisce• a ogni costante individuale di LD1 un individuo di D, con la condizione chequesta attribuzione sia una FUNZIONE SURIETTIVA. Cio` significa chead ogni costante individuale di LD1 viene associato uno ed un solo elementodi D (l’attribuzione e` una funzinae) ed inoltre che per ogni elemento di Desiste una costante individuale di LD1 che viene associata a tale elemento.• uno e un solo valore di verita` ( 1 o 0) a ogni ENUNCIATO atomico diLD1 .• valore di verita` 1 agli enunciati atomici della forma c = c, per ognicostante individuale c.• valore di verita` 0 agli enunciati atomici della forma dk = dk, ove k 6= j.• se il valore di verita` 1 e` attribuito ad un enunciato della forma b = callora il valore di verita` attribuito a P . . . b . . . e` uguale al valore di verita`attribuito a P . . . c . . ., per ogni simbolo predicativo P .Una struttura e` detta normale se e solo se soddisfa la seguente condizione:• Se c = b ha valore di verita` 1 nella struttura, allora c ed b vengonointerpretate sullo stesso individuo del dominio.Si puo` dunque pensare a una LD1 -struttura come a una duplice lista infinitache attribuisca individui a costanti individuali di LD1 e i valori 1 o 0 ad ognienunciato atomico di LD1 .a b c d1 d2 d3 . . .d1 d1 d4 d1 d2 d3 . . .P (c1 . . . cn) Q(b1 . . . bm) R(a1 . . . ah) . . . . . . ...1 0 0 ...ove P (c1 . . . cn), Q(b1 . . . bm), R(a1 . . . ah), sono enunciati atomici.4NOTA: Nella lista che attribuisce individui a costanti individuali abbiamofatto la convenzione che dk sia nome dell’elemento dk di D, ma, attenzione, dkpuo` avere anche altri nomi !La struttura assegna valori di verta` solo gli enunciati atomici e non le formuleatomiche contenenti variabili libere. Dunque una formula del tipo P (x, c) nonha un valore di verita`.Definizione 2.2 (Verita` in una LD1 -struttura).Sia SD una LD1 -struttura. |. . .|SD assegna 1 o 0 a ogni enunciato di LD1 nelmodo seguente:1. Se A e` un enunciato atomico, |A|SD e` il valore di verita` assegnato ad Adalla LD1 -struttura SD.2. | ⊥ |SD = 03. |¬A|SD = 1 se e solo se |A|SD = 0.4. |A ∧B|SD = 1 se e solo se |A|SD = 1 e |B|SD = 1.5. |A ∨B|SD = 1 se e solo se |A|SD = 1 oppure |B|SD = 1.6. |A→ B|SD = 1 se e solo se |A|SD = 0 oppure |B|SD = 1.7. |∀xA|SD = 1 se e solo se |A[d/x]|SD = 1 per ogni nome d di elementid di D8. |∃xA|SD = 1 se e solo se |A[d/x]|SD = 1 per qualche nome d dielementi d di DCon la notazione A[d/x] intendiamo l’enunciato che si ottiene dalla formulaA contenente (eventualmente) la variabile x, sostituendo ogni occorrenza liberadella variabile x col nome d.Invece dell’espressione |A|SD = 1 scriveremo a volte che “A e` vero in SD”o che “1 e` il valore di verita` di A in SD”.Definizione 2.3.1. Un enunciato A di L1 e` logicamente vero se e solo se A e` vero in ogniLD1 -struttura, per ogni D. Scriveremo |= A.2. Un enunciato A di L1 e` una contraddizione se e solo se A e` falso intutte le LD1 -struttura, per ogni D.3. Un enunciato A di L1 e` conseguenza logica di un insieme Γ di enunciatise e solo se A e` vero in ogni LD1 -struttura che renda veri tutti gli enunciatidi Γ. Scriveremo Γ |= A.4. Un enunciato A e un enunciato B sono logicamente equivalenti se esolo se A e B sono veri esattamente nelle stesse LD1 -strutture, per ogniD. Scriveremo A ≈ B.5Il concetto di verita` logica e` il corrispettivo per la logica predicativa delconcetto di tautologia per la logica proposizionale.Ogni istanza nel linguaggio LD1 di una tautologia e` una verita` logica (ovvero e`vera in ogni struttura per il linguaggio LD1 ). Ad esempio, se consideriamo latautologia p → p, abbiamo che le sue istanze Pc → Pc e (Pc ∧ ∀xRa, x) →(Pc ∧ ∀xRa, x) sono verita` logiche.Definizione 2.4. L’argomento avente come premesse gli enunciati A1, . . . , Ane come conclusione B e` valido sse A1, . . . , An  B. Rappresenteremo unargomento valido A1, . . . , An |= B comeA1 . . . AnBUn argomento in LD1 e` quindi non valido sse esiste un insieme D 6= ∅ euna struttura SD con dominio D che rende tutte le sue premesse vere e la suaconclusione falsa.Definizione 2.5. Una LD1 -struttura SD e` un controesempio/contromodelloa un argomento composto da Γ come insieme di premesse e A come conclusionese e solo se |B|SD = 1 per ogni B ∈ Γ e |A|SD = 0.Un argomento di LD1 e` quindi valido se e solo se non ammette controesempi.Convenzione notazionale. Scriveremo |Γ|SD = 1 per esprimere che per ogniC ∈ Γ, |C|SD = 1.Ancora sul concetto di conseguenza logica. E’ bene aver presente fin d’ora (esara` utile in seguito) il carattere universale del concetto di conseguenza logica.Γ |= Asseper ogni dominio non vuoto D, per ogni struttura SD con dominio D[il che significa :comunque si interpretino le costanti individuali del linguaggioLD1 su questo dominio (con le dovute restrizioni)e qualunque valore di verta` si attribuisca alle formule atomiche(con le dovute restrizioni)]se |Γ|SD = 1 allora |A|SD = 163 Sillogismi di prima figuraFacciamo ora vedere che i sillogismi di prima figura sono argomenti validi. In-tanto scriviamoli col simbolismo di un linguaggio del primo ordine. Supponiamoche tale linguaggio contenga le lettere predicative unarie M , S e P .BARBARA∀x(Mx→ Px)∀x(Sx→Mx)−−−−−−−∀x(Sx→ Px)CELARENT∀x(Mx→ ¬Px)∀x(Sx→Mx)−−−−−−−∀x(Sx→ ¬Px)DARII∀x(Mx→ Px)∃x(Sx ∧Mx)−−−−−−−∃x(Sx ∧ Px)FERIO∀x(Mx→ ¬Px)∃x(Sx ∧Mx)−−−−−−−∃x(Sx ∧ ¬Px)Facciamo vedere che il sillogismo in BARBARA e` valido, ovvero che presoun qualsivoglia dominio D 6= ∅ ed una LD1 -struttura SD, se∀x(Mx→ Px)|SD = 1 e |∀x(Sx→Mx)|SD = 1allora |∀x(Sx→ Px)|SD = 1.Sia d il nome di un individuo generico di D, mostriamo che|(Sd→ Pd)|SD = 1.Dalla verita` delle due premesse segue che|(Md→ Pd)|SD = 1 e |(Sd→Md)|SD = 1, da cui segue|(Md→ Pd) ∧ (Sd→Md)|SD = 1.(Md→ Pd) ∧ (Sd→Md)→ (Sd→ Pd) e` una tautologia e dunque|(Md→ Pd) ∧ (Sd→Md)→ (Sd→ Pd)|SD = 1, da cui, per MP|(Sd → Pd)|SD = 1. Poiche´ d e` un individuo generico, quanto dimostratovale per ogni individuo del domino D e dunque via Def. 2.1.7.|∀x(Sx→ Px)|SD = 1.Facciamo vedere che il sillogismo in DARII e` valido, ovvero che preso un qual-sivoglia dominio D 6= ∅ ed una LD1 -struttura SD, se|∀x(Mx→ Px)|SD = 1 e |∃x(Sx ∧Mx)|SD = 1allora |∃x(Sx ∧ Px)|SD = 1.7Se |∃x(Sx ∧Mx)|SD = 1, allora esiste un nome d di un individuo di D taleche|(Sd ∧Md)|SD = 1.Dalla verita` della prima premessa segue che|(Md→ Pd)|SD = 1.Dalla verita` delle due premesse segue che|(Sd ∧Md) ∧ (Md→ Pd)|SD = 1.(Sd ∧Md) ∧ (Md→ Pd)→ (Sd ∧ Pd) e` una tautologia, dunque|(Sd ∧Md) ∧ (Md→ Pd)→ (Sd ∧ Pd)|SD = 1, e quindi, per MP|(Sd ∧ Pd)|SD = 1. Ne segue che|∃x(Sx ∧ Px)|SD = 1, per Def. 2.1.88

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