Универзитет у Новом Саду, Факултет техничких наука
Abstract
This thesis investigates two different approaches for probabilistic reasoning in models of computation. The most usual approach is to extend the language of untyped lambda calculus with probabilistic choice operator which results in probabilistic computation. This approach has shown to be very useful and applicable in various fields, e.g. robotics, natural language processing, and machine learning. Another approach is to extend the language of a typed lambda calculus with probability operators and to obtain a framework for probabilistic reasoning about the typed calculus in the style of probability logic. First, we study the lazy call-by-name probabilistic lambda calculus extended with let-in operator, and program equivalence in the calculus. Since the proof of context equivalence is quite challenging, we investigate some effective methods for proving the program equivalence. Probabilistic applicative bisimilarity has proved to be a suitable tool for proving the context equivalence in probabilistic setting. We prove that the probabilistic applicative bisimilarity is fully abstract with respect to the context equivalence in the probabilistic lambda calculus with let-in operator. Next, we introduce Kripke-style semantics for the full simply typed combinatory logic, that is, the simply typed combinatory logic extended with product types, sum types, empty type and unit type. The Kripke-style semantics is defined as a Kripke applicative structure, which is extensional and has special elements corresponding to basic combinators, provided with the valuation of term variables. We prove that the full simply typed combinatory logic is sound and complete with respect to the proposed semantics. We introduce the logic of combinatory logic, that is, a propositional extension of the simply typed combinatory logic. We prove that the axiomatization of the logic of combinatory logic is sound and strongly complete with respect to the proposed semantics. In addition, we prove that the proposed semantics is the new semantics for the simply typed combinatory logic containing the typing rule that ensures that equal terms inhabit the same type. Finally, we introduce the probabilistic extension of the logic of combinatory logic. We extend the logic of combinatory logic with probability operators and obtain a framework for probabilistic reasoning about typed combinatory terms. We prove that the given axiomatization of the logic is sound and strongly complete with respect to the proposed semantics.Теза истражује два различита приступа за вероватносно закључивање у моделима израчунавања. Најчешћи приступ се састоји у проширењу ламбда рачуна вероватносним оператором избора што резултира вероватносним израчунавањем. То се показало веома корисним и примењивим у разним областима, на пример у роботици, обради природног језика и машинском учењу. Други приступ јесте да проширимо језик рачуна вероватносним операторима и добијемо модел за вероватносно закључивање о типизираном рачуну у стилу вероватносне логике. Најпре проучавамо вероватносни ламбда рачун проширен лет-ин оператором где је примењена лења позив-по-имену стратегија евалуације, и изучавамо проблем еквиваленције програма у овом окружењу. Како је проблем доказивања контекстне еквиваленције доста изазован, истраживали смо ефикасне методе за доказивање еквиваленције програма. Вероватносна апликативна бисимулација се показала као одговарајући алат за доказивање еквиваленције програма у вероватносном окружењу. Доказујемо да је вероватносна апликативна бисимулација потпуно апстрактна у односу на контекстну еквиваленцију у вероватносном ламбда рачуну са лет-ин оператором. Затим уводимо Крипкеову семантику за целу комбинаторну логику са функционалним типовима, односно комбинаторну логику са функционалним типовима проширену типовима производа, типовима суме, празним типом и јединичним типом. Крипкеову семантику дефинишемо као Крипкеову апликативну структуру, која је екстензионална и има елементе који одговарају основним комбинаторима, и којој је придружена валуација променљивих. Доказујемо да је цела комбинаторна логика са функционалним типовима сагласна и потпуна у односу на уведене семантике. Уводимо логику комбинаторне логике, то јест исказно проширење комбинаторне логике са функционалним типовима. Доказујемо да је аксиоматизација логике комбинаторне логике сагласна и потпуна у односу на предложену семантику. Даље, показујемо да је уведена семантика нова семантика за комбинаторну логику са функционалним типовима проширену правилом типизирања које осигурава да једнаки терми имају исти тип. На крају, уводимо вероватносно проширење логике комбинаторне логике. Логику комбинаторне логике смо проширили са вероватносним операторима и добили модел за вероватносно закључивање о типизираним комбинаторним термима. Показујемо да је аксиоматизација логике сагласна и јако потпуна у односу на предложену семантику.Teza istražuje dva različita pristupa za verovatnosno zaključivanje u modelima izračunavanja. Najčešći pristup se sastoji u proširenju lambda računa verovatnosnim operatorom izbora što rezultira verovatnosnim izračunavanjem. To se pokazalo veoma korisnim i primenjivim u raznim oblastima, na primer u robotici, obradi prirodnog jezika i mašinskom učenju. Drugi pristup jeste da proširimo jezik računa verovatnosnim operatorima i dobijemo model za verovatnosno zaključivanje o tipiziranom računu u stilu verovatnosne logike. Najpre proučavamo verovatnosni lambda račun proširen let-in operatorom gde je primenjena lenja poziv-po-imenu strategija evaluacije, i izučavamo problem ekvivalencije programa u ovom okruženju. Kako je problem dokazivanja kontekstne ekvivalencije dosta izazovan, istraživali smo efikasne metode za dokazivanje ekvivalencije programa. Verovatnosna aplikativna bisimulacija se pokazala kao odgovarajući alat za dokazivanje ekvivalencije programa u verovatnosnom okruženju. Dokazujemo da je verovatnosna aplikativna bisimulacija potpuno apstraktna u odnosu na kontekstnu ekvivalenciju u verovatnosnom lambda računu sa let-in operatorom. Zatim uvodimo Kripkeovu semantiku za celu kombinatornu logiku sa funkcionalnim tipovima, odnosno kombinatornu logiku sa funkcionalnim tipovima proširenu tipovima proizvoda, tipovima sume, praznim tipom i jediničnim tipom. Kripkeovu semantiku definišemo kao Kripkeovu aplikativnu strukturu, koja je ekstenzionalna i ima elemente koji odgovaraju osnovnim kombinatorima, i kojoj je pridružena valuacija promenljivih. Dokazujemo da je cela kombinatorna logika sa funkcionalnim tipovima saglasna i potpuna u odnosu na uvedene semantike. Uvodimo logiku kombinatorne logike, to jest iskazno proširenje kombinatorne logike sa funkcionalnim tipovima. Dokazujemo da je aksiomatizacija logike kombinatorne logike saglasna i potpuna u odnosu na predloženu semantiku. Dalje, pokazujemo da je uvedena semantika nova semantika za kombinatornu logiku sa funkcionalnim tipovima proširenu pravilom tipiziranja koje osigurava da jednaki termi imaju isti tip. Na kraju, uvodimo verovatnosno proširenje logike kombinatorne logike. Logiku kombinatorne logike smo proširili sa verovatnosnim operatorima i dobili model za verovatnosno zaključivanje o tipiziranim kombinatornim termima. Pokazujemo da je aksiomatizacija logike saglasna i jako potpuna u odnosu na predloženu semantiku
