In this article there are investigated close to the method of Newton algorithms for equations with monotone operators.Дослiдженi близькi до методу Ньютона алгоритми для рiвнянь з монотонними операторами

Kopach, M.I.

Obshta, A.F.

Shuvar, B.A.

Ukrainian

Vasyl Stefanyk Precarpathian National University: Scientific journals / Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Карпатськi математичнi Carpathian Mathematicalпублiкацiї. Т.3, №2 Publications. V.3, №2УДК 517.948, 517.946Копач М.I.1, Обшта А.Ф.2, Шувар Б.А.2АНАЛОГИ МОНОТОННОГО МЕТОДУ НЬЮТОНАКопач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Аналоги монотонного методу Ньютона // Карпат-ськi математичнi публiкацiї. — 2011. — Т.3, №2. — C. 83–87.Дослiдженi близькi до методу Ньютона алгоритми для рiвнянь з монотонними опера-торами.ВступДiапазон практичної застосовностi методу Ньютона, основний варiант якого длярiвнянняx = Fx (1)описується за допомогою формулиxn+1 = Fxn + F′(xn)(xn+1 − xn), (n = 0, 1, 2, . . . ), (2)обмежений можливiстю вдалого вибору початкового наближення x0, вимогою про зна-ходження похiдної F ′(x) i оператора Γw = Γ(I−F ′(x))−1w оберненого до лiнiйного щодоw оператора (I − F ′(x))w при кожному x = xn, де I — тотожний оператор. Зважаючина те, що реалiзацiя перерахованого вище на практицi можлива тiльки у винятковихситуацiях, розроблена низка спорiднених з (2) методiв (див. напр., [4, c. 180-236] табiблiографiю в [4]). Їх структура охоплюється формулоюxn+1 = Fxn + A(xn)(xn+1 − xn) (3)з неперервним щодо z, w та лiнiйним щодо w оператором A(z)w. З-помiж них най-бiльш важливими є метод хорд, метод хибного положення, метод Стеффенсена, методНьютона-Якобi та iн. Їх дослiдження переважно ґрунтується на припущеннi про iсну-вання похiдної Фреше F ′(x). Це означає, що у (3) маємоA(x)w = (F ′(x) + α(x))wРобота пiдтримана грантом ДФФД України № Ф35/531-20112000 Mathematics Subject Classification: 34A45.Ключовi слова i фрази: аналоги методу Ньютона, квадратична збiжнiсть, похiдна Фреше.c©Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А., 201184 Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А.з деяким конкретизованим для кожного окремого методу лiнiйним щодо w операторомα(x)w (див. напр., [5]). Достатнi локальнi умови збiжностi алгоритму (2) отримуютьсяз рiвностixn+1 − x∗ = F ′(xn)(xn+1 − x∗) +∫ 10(F ′(x∗ + t(xn − x∗))− F ′(xn))(xn − x∗)dt, (4)де x∗ — розв’язок рiвняння (1). Формула (4) є очевидним наслiдком рiвностiFy − Fx =∫ 10(F ′(x+ t(y − x))− F ′(x))(y − x)dt(див. [2, c.82]). Припускаючи, що‖F ′(x+ t(y − x))− F ′(x)‖ ≤ β(y, x)| y − x‖, (5)для алгоритму (2) можна забезпечити квадратичну збiжнiсть.Для алгоритму (3) квадратичну збiжнiсть отримаємо, якщо‖Fx− Fy − A(x)(x− y)‖ ≤ q‖x− y‖2.При iснуваннi похiдної Фреше F ′(x), рiвнiсть (4) i нерiвнiсть (5) можна потрактувативiдповiдно, як спiввiдношенняxn+1 − x∗ = A(xn)(xn+1 − x∗) =∫ 10(F ′(x∗ + t(xn − x∗))− A(xn))(xn − x∗)dt‖F ′(x∗ + t(xn − x∗))− A(xn)‖ ≤ β(xn, x∗)‖xn − x∗‖1 Побудова основного алгоритмуНехай E — напiввпорядкований банахiв простiр, тобто, напiввпорядкованiсть в Eузгоджена з нормою в E у такий спосiб, що спiввiдношення θ ≤ y ≤ z призводятьдо нерiвностi ‖y‖ ≤ ‖z‖, де θ — нульовий елемент в E. Вважатимемо задля спрощен-ня формального викладу, що оператори, якi тут фiгурують, означенi при вiдповiднихзначеннях аргументiв з E i отримують значення з E.Постулюємо такi припущення:(А) Заданий лiнiйний, неперервний щодо w, неперервний неспадний щодо y, z опе-ратор α(y, z)w, для яких з того що y ≤ z матимемоG(y, z)(z − y) ≤ Fz − Fy ≤ (G(y, z) + α(y, z))(z − y),причому, якщо w ≥ G(y, z)w, то w ≥ θ.(В) Заданий елемент u, для якого u ≤ Fu. Приймемоy0 = u (6)i означимо y1 як розв’язок рiвнянняy1 = G(y0, y0)(y1 − y0) + Fy0. (7)Будемо вважати, що y1 iснує, i при кожному n = 1, 2, . . . має розв’язок рiвнянняyn+1 = G(yn−1, yn)(yn+1 − yn) + Fyn. (8)Аналоги монотонного методу Ньютона 852 Монотоннiсть iтерацiїОбгрунтуємо спiввiдношенняyn ≤ yn+1(n = 0, 1, ...). (9)З (6), (7) та умови (В) випливає, що y0 ≤ y1 як наслiдок спiввiдношеньy1 − y0 ≥ G(y0, y0)(y1 − y0) + Fy0 − Fy0 = G(y0, y0)(y1 − y0)та умови (А). З цього та рiвностей (7), (8), а також з лiвої частини нерiвностi отримуємоFy1− y1 = Fy1−G(y0, y0)−Fy0 ≥ G(y1, y0)(y1− y0)−G(Y0, y0)(y1− y0). Беручи до увагимонотоннiсть G(y, z) i нерiвнiсть y1 ≥ y0, знаходимо, що Fy1 ≥ y1. На пiдставi отри-маних спiввiдношень y0 ≤ y1 та Fy1 ≥ y1. Застосуємо принцип математичної iндукцiї.Припустимо, що yn−1 ≤ yn, yn ≤ Fyn. Спираючись на спiввiдношенняyn+1 − yn = G(yn−1, yn)(yn+1 − yn) + Fyn −G(yn−2, yn−1)(yn − yn−1)− Fyn≥ G(yn+1, yn)(yn+1 − yn) +G(yn−1, yn)(yn − yn−1)−G(yn−2, yn−1)(yn − yn−1)= G(yn−1, yn)(yn+1 − yn) +G(yn−1, yn)−G(yn−2, yn−1)(yn − yn−1) ≥ G(yn+1, yn)(yn+1 − yn)та умову (А) можна вважати доведеним, що yn ≤ yn+1. Це дозволяє обгрунтуватинерiвнiсть yn+1 ≤ Fyn+1, оскiлькиFyn+1 − yn+1 = −G(yn+1, yn)(yn+1 − yn) + Fyn+1 − Fyn ≥ −G(yn−1, yn)(yn+1 − yn)+G(yn, yn+1)(yn+1 − yn) ≥ (G(yn, yn+1)−G(yn−1, yn))(yn+1 − yn) ≥ θ.Таким чином, доведеним є наступний результат.Теорема 1. Якщо виконуються умови (А) i (В), то для послiдовностi {yn}, побудованоїза допомогою формул (6)–(8) мають мiсце спiввiдношення (9).3 Збiжнiсть iтерацiйного процесуТеорема 2. Якщо виконанi умови теореми 1, iснує Γ(y, z) = (I −G(y, z))−1, то з‖H‖ ≤ q < 1, (10)де H = H(x, y, z) = (I−G(y, z))−1(α(y, z)+G(z, x)−G(y, x)), випливає збiжнiсть iтерацiй(6)–(8) до розв’язку x∗ рiвняння 1, i мають мiсце оцiнки‖yn+1 − x∗‖ ≤ q‖yn − x∗‖. (11)Доведення. З умов теореми одержуємо, щоyn+1 − yn = G(yn−1, yn)(yn+1 − yn)−G(yn−2, yn−1)(yn − yn−1) + Fyn − Fyn−1≤ G(yn−1, yn)(yn+1 − yn) + (G(yn−1, yn)−G(yn−2, yn−1) + α(yn−1, yn))(yn − yn−1).Це є пiдставою для оцiнки‖yn+1 − yn‖ ≤ q‖yn − yn−1‖.86 Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А.Тому можна вважати, що послiдовнiсть {yn}, побудована за допомогою формул(6)–(8) збiгається до x∗, де x∗ є розв’язоком (1). Справедливим є спiввiдношення:x∗ − yn+1 = Fx∗ −G(yn−1, yn)(yn+1 − yn)− F (yn) ≤ G(yn, x∗)(x∗ − yn)+α(yn, x∗)(x∗ − yn) +G(yn+1, yn)(x∗ − yn+1)−G(yn−1, x∗)(x∗ − yn)= G(yn−1, yn)(x∗ − yn+1) + (G(yn, x∗)−G(yn−1, x∗) + α(yn, x∗))(x∗ − yn).Враховуючи iснування оператора Γ(y, z) та умову (10), приходимо до оцiнки (11).4 Умови квадратичної збiжностiНехай G(y, z) не залежить вiд z. Тодi в умовах попереднiх теорем замiсть G(y, z)маємо G(y), i оцiнку (11) можна покращити. У цьому випадку для оператора H мати-мемоH = H(y, z) = (I −G(y))−1(G(z)−G(y) + α(y, z)).Якщо, крiм того, при цьому постулюємо виконання умов теореми (1) i вважаємозаданим оператор L(y, z)w лiнiйний, додатний щодо w, для якого маємоG(z)−G(y) + α(y, z) ≤ L(y, z)(z − y),то для iтерацiйного алгоритму (6)–(8), описаного за цих обставин формулоюyn+1 = G(yn)(yn+1 − yn) + Fyn (n = 0, 1, ...), (12)матимемо квадратичний характер збiжностi. Очевидно, що у випадку, коли‖L(y, z)‖ ≤ a, ‖(I −G(y))−1‖ ≤ b, ab‖y1 − y0‖ ≤ q < 1,отримуються оцiнки‖yn+1 − yn‖ ≤ h‖yn − yn−1‖2, ‖yn+1 − x∗‖ ≤ h‖yn − x∗‖2, де h ≤ ab.Зауваження 4.1. Якщо G(x) в (12) є похiдною Фреше F ′(x)u , яка є невiд’ємним не-перервним щодо u оператором, то за тих припущень, за яких отриманi нерiвностi (9),монотонний метод Ньютона i квазiлiнеаризацiя Р. Беллмана (див. [1]) можна ототожню-вати (див. також [4]).Зауваження 4.2. Хибнiсть твердження, яке iнодi зустрiчається, про те, що при зна-косталостi першої i другої похiдної Фреше метод Ньютона 2 тотожнiй з двостороннiмметодом Чаплигiна, випливає з наступного.Для цього, як приклад, використаємо випадок, коли рiвняння (1) є скалярним рiвня-нням x = f(x) з дiйсною функцiєю f(x). Нехай заданi функцiї u, v, що задовольняютьнерiвностi u ≤ f(u), v ≥ f(v), u ≤ v, i при x ∈ [u, v] iснують додатнi похiднi f ′(x), f ′′(x).Один з варiантiв методу Чаплигiна для цього випадку описують формулиyn+1 = f′(yn)(yn+1 − yn) + f(yn), y0 = u,zn+1 = f′(yn)(zn+1 − zn) + f(zn), z0 = v, n = 0, 1, ...,Аналоги монотонного методу Ньютона 87причому мають мiсце нерiвностiu = y0 ≤ y1 ≤ ... ≤ yn ≤ zn ≤ ... ≤ z1 ≤ z0 = v. (13)Тодi для цього випадку метод Ньютона описуватиметься за допомогою формулyn+1 = f′(yn)(yn+1 − yn) + f(yn), y0 = u, zn+1 = f ′(zn)(zn+1 − z) + f(zn), z0 = v. (14)Можна переконатись, (див. напр., [3]), [6], що для алгоритму (14) спiввiдношення(13) за наведених умов не виконуються.Лiтература1. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968. – 183 с.2. Далецкий Ю.Л. Крейн М.С. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховыхпространствах. — М.: Наука, 1970. — 534 с.3. Копач М.I., Обшта А.Ф. Шувар Б.А. Застосування аналогiв двостороннiх методiв Курпеля дозвичайних диференцiальних рiвнянь // Карпат. матем. публ. — 2010. — Т.2.,№2. — С. 85–89.4. Ортега Дж. Рейнболдт В. Итерационные методы решений нелинейых систем уравнений со многиминеизвестными. — М.: Мир, 1975. — 558 с.5. Шахно С. Метод хорд при узагальнених умовах Лiпшиця для роздiлених рiзниць першого порядку// Матем. вiсник НТШ. — 2007. — Т.4. — С. 296–303.6. Шувар Б.А., Копач М.I., Ментинський С.М., Обшта А.Ф. Двостороннi наближенi методи. — Iвано-Франкiвськ: ВДВ ЦIТ, 2007. — 515 с.1 Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефаника,Iвано-Франкiвськ, Україна,2 Нацiональний унiверситет “Львiвська Полiтехнiка”,Львiв, УкраїнаНадiйшло 15.09.2011Kopach M.I., Obshta A.F., Shuvar B.A. The analogs of monotonous methods of Newton, Car-pathian Mathematical Publications, 3, 2 (2011), 83–87.In this article there are investigated close to the method of Newton algorithms for equationswith monotone operators.Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Аналоги мотонного метода Ньютона // Карпатскиематематические публикации. — 2011. — Т.3, №2. — C. 83–87.Исследованы близкие к методу Ньютона алгоритмы для уравнений с монотоными опе-раторами.

Аналоги монотонного методу Ньютона

https://journals.pnu.edu.ua/index.php/cmp/article/download/3069/3492

Аналоги монотонного методу Ньютона

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Vasyl Stefanyk Precarpathian National University: Scientific journals / Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника