It is well known that every operator from $E = L_p$, $1 \leq p &lt; \infty$ to $c_0$ is narrow. We show that this result can be extended to a more general class of Köthe function spaces $E$.Метою замітки є узагальнення відомого результату про вузькість будь-якого оператора з простору $E = L_p$ в $c_0$ при $1 \leq p &lt; \infty$ на випадок загальнішого класу просторів Кете $E$

Krasikova, I.V.

Popov, M.M.

Vasyl Stefanyk Precarpathian National University: Scientific journals / Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Карпатськi математичнi Carpathian Mathematicalпублiкацiї. Т.4, №1 Publications. V.4, №1УДК 517.982Красiкова I.В.1, Попов М.М.2ЗАМIТКА ПРО ОПЕРАТОРИ З ФУНКЦIОНАЛЬНИХ ПРОСТОРIВКЕТЕ У ПРОСТIР C0(Γ)Красiкова I.В., Попов М.М. Замiтка про оператори з функцiональних просторiв Кете упростiр c0(Γ) // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2012. — Т.4, №1. — C. 67–71.Метою замiтки є узагальнення вiдомого результату про вузькiсть будь-якого оператораз простору E = Lp в c0 при 1 ≤ p < ∞ на випадок загальнiшого класу просторiв Кете E.ВступПоняття вузького оператора, як узагальнення компактного оператора, введено в ро-ботi [7] у 1990 р. В цiй же роботi проведено перше систематичне дослiдження вузькихоператорiв. Проте, окремi результати про вузькi оператори були вiдомi ранiше. Напри-клад, як допомiжний результат, у статтi Дж. Бургейна i Х. Розенталя [1] отримано,що кожний оператор з L1 в c0 вузький. В статтi В. Кадецем i М. Поповим [2] дове-дено, що кожний оператор з простору Lp в c0 є вузьким при довiльному p ∈ [1,+∞).У роботi [4] автори встановили, що кожний порядково-нормовано неперервний опера-тор T : L∞(µ) → c0(Γ) вузький. Iз сучасним станом теорiї вузьких операторiв можнаознайомитися у недавньому оглядi [8].1 Вузькiсть операторiв з просторiв Кете у простiр c0(Γ)Наведемо необхiдну iнформацiю. F -простором називається повний метричний лiнiй-ний простiр з iнварiантною вiдносно зсуву метрикою (детальнiше про F -простори див.у [9]). Множину всiх лiнiйних неперервних операторiв T : X → Y мiж F -просторамиX,Y позначатимемо через L(X,Y ). Термiнологiя та загальновiдомi факти про банаховiпростори запозиченi з двотомника [5, 6]. Так, якщо X — банахiв простiр, то через BXми позначаємо одиничну кулю простору X.2010 Mathematics Subject Classification: 46B20, 46E30.Ключовi слова i фрази: простiр Кете, вузький оператор, корозмiрнiсть пiдпростору, слабко компактнамножина, крайова точка множини.c©Красiкова I.В., Попов М.М., 201268 Красiкова I.В., Попов М.М.Означення 1.1. Нехай (Ω,Σ, µ) — простiр зi скiнченною безатомною додатною мiрою.Позначимо через L0(µ) лiнiйний простiр всiх класiв еквiвалентностi вимiрних функцiйx : Ω → K (де K ∈ {R,C}). F -простiр (банахiв простiр) E ⊆ L0(µ) називається F -простором Кете (банаховим простором Кете), якщо виконуються такi умови:(i) для довiльних x ∈ L0(µ) та y ∈ E з умови |x(ω)| ≤ |y(ω)| для майже всiх ω ∈ Ωвипливає, що x ∈ E i ‖x‖ ≤ ‖y‖;(ii) 1Ω ∈ E.Тут i надалi 1A — характеристична функцiя множини A ∈ Σ.Означення 1.2. Нехай E — F -простiр Кете на (Ω,Σ, µ) i X — довiльний F -простiр.Оператор T ∈ L(X, Y ) називається вузьким, якщо для довiльних A ∈ Σ та ε > 0 iснуєтака функцiя x ∈ L0(µ), щоx2 = 1A,∫Ωx dµ = 0 та ‖Tx‖ < ε.Основний результат цiєї замiтки — наступна теорема.Теорема 1. Нехай (Ω,Σ, µ) — простiр зi скiнченною безатомною додатною мiрою, E —дiйсний F -простiр Кете на (Ω,Σ, µ), для якого iснує рефлексивний банахiв простiр КетеE1 на (Ω,Σ, µ) з неперервним вкладенням E1 ⊆ E, Γ — довiльна множина. Тодi кожнийоператор T ∈ L(E, c0(Γ)) є вузьким.Для доведення теореми потрiбнi допомiжнi елементарнi факти (цi факти використо-вувалися в [4]). Оскiльки доведення займають мало мiсця, ми наведемо їх для повноти.Нагадаємо, що корозмiрнiстю пiдпростору Y лiнiйного простору X називається роз-мiрнiсть (тобто потужнiсть базису Гамеля) фактор-простору X/Y . Записують це так:codimY = dimX/Y .Лема 1.1. Нехай S : X → Y — лiнiйний оператор, що дiє мiж лiнiйними просторами.Якщо лiнiйний пiдпростiр Y0 ⊆ Y має скiнченну корозмiрнiсть у Y , тодi X0 = T−1Y0має скiнченну корозмiрнiсть у просторi X.Доведення. Нехай m = dim Y/Y0 та x1, x2, ..., xm+1 — довiльнi елементи простору X.Згiдно з означенням числа m, iснують такi скаляри α1, α2, ..., αm+1, якi не всi одночаснодорiвнюють нулю, що α1Tx1 + α2Tx2 + ...+ αm+1Txm+1 ∈ Y0. Але оскiлькиα1x1 + α2x2 + ...+ αm+1xm+1 ∈ X0,за рахунок довiльностi вибору x1, x2, ..., xm+1 ∈ X0, ми отримаємо, що dim X/X0 ≤ m,тобто пiдпростiр X0 має скiнченну корозмiрнiсть у просторi X.Лема 1.2. Нехай X — лiнiйний простiр, а Y, Z — його пiдпростори. Якщоdim Y > codimZ, то Y⋂Z 6= {0}.Про оператори з просторiв Кете у простiр c0(Γ) 69Доведення. Нехай τ : X → X/Z — фактор-вiдображення, а τ |Y : Y → X/Z — йогозвуження на пiдпростiр Y . Оскiльки dim Y > dim X/Z, то iснує такий y ∈ Y \{0}, дляякого τy = 0. Це в свою чергу означає, що y ∈ Y⋂Z\{0}.Доведення теореми 1. Очевидно, достатньо довести, що для будь-якого ε > 0 iснуєтакий елемент x ∈ E, що|x| = 1Ω,∫Ωx dµ = 0 та ‖Tx‖ < ε.Зафiксуємо довiльне ε > 0 та розглянемо множинуK ={x ∈ BL∞(µ) :∫Ωx dλ = 0, ‖Tx‖ ≤ ε}.Зазначимо, що K — непорожня опукла обмежена замкнена пiдмножина простору E.З означення простору Кете випливає, що множина K обмежена також в E1, а за рахунокнеперервностi вкладення E1 ⊆ E отримуємо, що K замкнена в E1. Отже, за теоремоюБанаха-Алаоглу, множина K є опуклою слабко компактною пiдмножиною простору E1.За теоремою Крейна-Мiльмана, iснує принаймнi одна крайня точка x0 ∈ K. Доведемо,що саме ця функцiя x0 є такою, iснування якої стверджується в теоремi. Для цьогодостатньо показати, що |x0(t)| = 1 майже скрiзь на Ω.Припустимо, що це не так, тобто iснує таке число δ > 0 i така множина A ∈ Σ,µ(A) > 0, що |x0(t)| ≤ 1− δ для всiх t ∈ A. Нехай Tx0 =∑γ∈Γaγeγ, де (aγ)γ∈Γ — числованапрямленiсть, для якої limγ∈Γaγ = 0, а (eγ)γ∈Γ — стандартний базис у просторi c0(Γ)з бiортогональними функцiоналами (e∗γ)γ∈Γ. Виберемо скiнченну пiдмножину Γ0 ⊂ Γ,таку, що |aγ| < ε/2 для кожного γ ∈ Γ\Γ0. За лемою 1.1, пiдпростiр T−1([eγ]γ∈Γ\Γ0) маєскiнченну корозмiрнiсть у просторi E. Оскiльки перетин двох пiдпросторiв скiнченноїкорозмiрностi є пiдпростором скiнченної корозмiрностi, отримаємо, що пiдпростiрX = T−1([eγ]γ∈Γ\Γ0)⋂{x ∈ E :∫Ωx dµ = 0}має скiнченну корозмiрнiсть у просторi E. З леми 2.1 випливає, що L∞(A)⋂X 6= {0}.Виберемо довiльний елемент x ∈ L∞(A)⋂X, x 6= 0, для якого ‖x‖∞ ≤ δ та ‖Tx‖ ≤ ε/2.З того, що x ∈ X та x0 ∈ K випливає, що∫Ω(x0 ± x) dλ = 0. Iз припущення |x0(t)| < 1−δдля всiх t ∈ A, x ∈ L∞(A) та ‖x‖∞ ≤ δ, випливає, що (x0 ± x) ∈ BL∞(µ). Зауважимо, щоякщо γ ∈ Γ0, то ∣∣e∗γ(Tx0 ± x)∣∣ = |aγ| ≤ ε,70 Красiкова I.В., Попов М.М.а якщо γ ∈ Γ \ Γ0, то ∣∣e∗γ(Tx0 ± x)∣∣ ≤ |aγ|+ |e∗γ(Tx)| ≤ ε2 + ε2 = ε.Таким чином, справджується нерiвнiсть ‖T (x0 ± x)‖ ≤ ε, а, отже, (x0 ± x) ∈ K.Це суперечить тому, що точка x0 є крайньою для множини K. Отримана суперечнiстьзавершує доведення теореми.Далi ми наведемо наслiдок теореми 1 для класу нелокально опуклих просторiв Кете.Кажуть, що F -простiр Кете E на безатомному скiнченному просторi з мiрою (Ω,Σ, µ)має властивiсть (q), якщоlimµ(A)→0∥∥∥ 1Aµ(A)∥∥∥ = 0.Наприклад, класичнi F -простори Lp(µ) при 0 < p < 1 мають цю властивiсть (в цьомулегко переконатися безпосередньо). Вiдомо, що якщо простiр Кете E має властивiсть(q), то E∗ = {0} [9, p. 194], а також, що єдиний вузький оператор з E у довiльнийF -простiр X — це 0 [7]. Таким чином, отримуємо наступний наслiдок.Наслiдок. Нехай (Ω,Σ, µ) — простiр зi скiнченною безатомною додатною мiрою, E —дiйсний F -простiр Кете на (Ω,Σ, µ) з властивiстю (q), для якого iснує рефлексивнийбанахiв простiр Кете E1 на (Ω,Σ, µ) з неперервним вкладенням E1 ⊆ E, Γ - довiльнамножина. Тодi L(E, c0(Γ)) = {0}.Зазначимо, що наслiдок 1 не цiкавий саме для просторiв Lp(µ) при 0 < p < 1,оскiльки, згiдно з результатом Калтона [3], має мiсце сильнiший результат: кожнийненульовий оператор з Lp(µ) при 0 < p < 1 у довiльний топологiчний векторний простiрє iзоморфним вкладенням при звуженнi на деякий пiдпростiр, iзоморфний `2.Лiтература1. Bourgain J., Rosenthal H. P. Applications of the theory of semi-embeddings to Banach space theory, J.Funct. Anal., 52, 2 (1983), 149–188.2. Kadets V. M., Popov M. M. On the Liapunov convexity theorem with applications to sign-embeddings,Ukr. Math. J., 44, 9 (1992), 1192–1200.3. Kalton N. J. Compact and strictly singular operators in Orlicz spaces, Isr. J. Math., 26, (1977), 126–136.4. Krasikova I., Mart́ın M., Meŕı J., Mykhaylyuk V., Popov M. On order structure and operators in L∞(µ).,Cent. Eur. J. Math., 7, 4 (2009), 683–693.5. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. I, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,1977.6. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. II, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,1979.Про оператори з просторiв Кете у простiр c0(Γ) 717. Plichko A. M., Popov M. M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces, Diss. Math. (Rozpr.mat.) (1990), 306 p. — P. 1–85.8. Popov M. M. Narrow operators (a survey), Function Spaces IX, Banach Center Publ. Inst. Math PolishAcad. Sci., Warszawa, 92, (2011), 299–326.9. Rolewicz S. Metric linear spaces, Warszawa, PWN, 1985.1 Запорiзький нацiональний унiверситет,Запорiжжя, Українаe-mail: yudp@mail.ru2 Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича,Чернiвцi, Українаe-mail: misham.popov@gmail.comНадiйшло 21.03.2012Krasikova I.V., Popov M.M. A note on operators from Köthe function spaces to c0(Γ), Carpa-thian Mathematical Publications, 4, 1 (2012), 67–71.It is well known that every operator from E = Lp, 1 ≤ p < ∞ to c0 is narrow. We showthat this result can be extended to a more general class of Köthe function spaces E.Красикова И.В., Попов М.М. Заметка об операторах из функциональных пространствКёте в пространство c0(Γ) // Карпатские математические публикации. — 2012. — Т.4,№1. — C. 67–71.Целью данной статьи является обобщение известного результата о том, что каждыйоператор из пространства E = Lp в c0 при 1 ≤ p < ∞ является узким, на случай болееобщего класса пространств Кёте.

Ukrainian

Замiтка про оператори з функцiональних просторiв Кете у простiр $c_0(\Gamma)$

https://journals.pnu.edu.ua/index.php/cmp/article/download/2407/2869

Замiтка про оператори з функцiональних просторiв Кете у простiр $c_0(\Gamma)$

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Vasyl Stefanyk Precarpathian National University: Scientific journals / Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Замiтка про оператори з функцiональних просторiв Кете у простiр c0(Γ)c_0(\Gamma)c0​(Γ)

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Vasyl Stefanyk Precarpathian National University: Scientific journals / Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника

Замiтка про оператори з функцiональних просторiв Кете у простiр $c_0(\Gamma)$