Se aplica la teoría de rayos en un medio con estratos homogéneos (velocidades y espesores constantes) para obtener una formulación matemática con la que se puedan determinar los puntos xi donde los rayos interactúan con las interfases de las capas. La formulación utiliza el método de Newton en su forma matricial para obtener de manera iterativa las posicione

Izaguirre Prado, Omar Efraín

Méndez Delgado, Sóstenes

Soto Villalobos, Roberto

Repositorio Academico Digital UANL

  189 Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos20MÉTODO DE NEWTON Y EL TRAZADO DE RAYOS Roberto Soto-Villalobos1,*, Sóstenes Méndez-Delgado1 & Omar Efraín Izaguirre-Prado1 1 Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ciencias de la Tierra * roberto.sotovll@uanl.edu.mx Resumen Se aplica la teoría de rayos en un medio con estratos homogéneos (velocidades y espesores constantes) para obtener una formulación matemática con la que se puedan determinar los puntos xi donde los rayos interactúan con las interfases de las capas. La formulación utiliza el método de Newton en su forma matricial para obtener de manera iterativa las posiciones 𝑥𝑗+1𝑖  a partir de una aproximación inicial de los valores 𝑥𝑗𝑖. El jacobiano del sistema de ecuaciones es una matriz tridiagonal. Por medio de la formulación presentada, es posible implementar programas de cómputo que resuelvan el problema numérico a través de diversas técnicas. Palabras claves Método de Newton, trazado de rayos Abstract Ray theory is applied in a medium with homogeneous strata (constant velocities and thicknesses) to obtain a mathematical formulation with which to determine the points xi where the rays interact with the interfaces of the layers. The formulation uses Newton's method in its matrix form to iteratively derive the positions 𝑥𝑗+1𝑖  from an initial approximation of the values 𝑥𝑗𝑖. The Jacobian system of equations is a tridiagonal matrix. By means of the formulation presented, it is possible to implement computer programs that solve the numerical problem through various techniques. Keywords Newton's method, ray tracing  Introducción Por medio de la exploración geofísica se puede obtener la estructura del subsuelo. Para ello se utiliza el conocimiento de diversos fenómenos físicos (expresiones matemáticas) como la propagación de ondas, la gravedad y el magnetismo terrestre, entre otras. A través de mediciones (tiempos de arribo de ondas,  Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E. (2023): Método de Newton y el Trazado de Rayos. – en: Montalvo Arrieta, J.C., Ramírez Fernández, J.A., Aguilar-Madera, C.G., Jenchen, U., Salinas Jasso, J.A., Velasco-Tapia, F. & Navarro-de León, I. (eds.): Número especial en conmemoración del 90° Aniversario de la Universidad Autónoma de Nuevo León y del 40° Aniversario de la Facultad de Ciencias de la Tierra. – Actas de la Facultad de Ciencias de la Tierra, UANL, Linares, 9 (2023): 189-194. pequeñas variaciones de la gravedad o variaciones de algún elemento del campo magnético terrestre, etc.), se relacionan a propiedades físicas de las rocas, tales como: velocidad de ondas, densidad, susceptibilidad magnética, etc. En particular, la exploración sísmica se encarga de estimar la variación de las velocidades de las ondas dentro del subsuelo, con base en los fenómenos de reflexión y refracción de las ondas. Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos   190 Se utiliza una fuente que produce ondas (golpe de un martillo en una placa, la explosión de dinamita, etc.), las cuales se propagan en el subsuelo hasta llegar a un detector (geófono) y se registra el tiempo de arribo. En el caso de sísmica de exploración, las estructuras más simples para estudiar son los medios con estratos horizontales homogéneos, en los que se considera que la velocidad de las ondas y el espesor en cada estrato es constante. La figura 1 es un claro ejemplo de un medio estratificado. Las mediciones de los tiempos de arribo de las ondas son utilizadas para determinar las velocidades de las ondas y los espesores de cada capa; lo cual se puede realizar a través del modelado directo. En Burger (1992) se puede consultar la teoría relacionada a este tema. Una forma de resolver este problema es a través del trazado de rayos (ver Figura 1), el modelado directo consiste en obtener la expresión matemática que relacione los parámetros de la estructura (velocidades, espesores) y los tiempos de arribo, con los puntos donde los rayos interactúan con las interfases de las capas.  Figura 1: Modelo de cuatro reflectores sísmicos sobre un semi espacio homogéneo y el trazado del rayo, las condiciones son: 𝒆𝒊 > 𝟎 y 𝒗𝒊 > 𝟎, para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, son los espesores y las velocidades respectivas. 𝒙𝟎 = 𝑷𝒇 es la posición de la fuente, 𝒙𝟖 = 𝑷𝒈 es la posición del receptor y 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 < 𝒙𝟑 < 𝒙𝟒 < 𝒙𝟓 < 𝒙𝟔 < 𝒙𝟕 < 𝒙𝟖. Método de reflexión en el trazado de rayos De la ecuación de tiempos de arribo (Dávila Torres, 2012, p. 18) se puede obtener para un modelo de cuatro capas horizontales arriba de un semi espacio homogéneo (ver Figura 1), la siguiente ecuación de tiempo de viaje del rayo que sale del punto 𝑥0 hasta el punto 𝑥8 es: 𝑡4 = 1𝑣1 √(𝑥1 − 𝑥0)2 + 𝑒12 + 1𝑣2 √(𝑥2 − 𝑥1)2 + 𝑒22 + 1𝑣3 √(𝑥3 − 𝑥2)2 + 𝑒32 + 1𝑣4 √(𝑥4 − 𝑥3)2 + 𝑒42 + 1𝑣4 √(𝑥5 − 𝑥4)2 + 𝑒42 +1𝑣3 √(𝑥6 − 𝑥5)2 + 𝑒32 + 1𝑣2 √(𝑥7 − 𝑥6)2 + 𝑒22 + 1𝑣1 √(𝑥8 − 𝑥7)2 + 𝑒12,  (1) donde los espesores ei y las velocidades vi son mayores que cero para i=1,2,3,4, x0=Pf es la posición de la fuente, x8=Pg es la posición del receptor y x0<x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8. La ecuación (1) puede reescribirse en notación económica como: 𝑡4 = ∑ 1𝑣𝑖 √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)2 + 𝑒𝑖24𝑖=1  +  ∑ 1𝑣8−𝑖 √(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2 + 𝑒8−𝑖27𝑖=4 .  (2) Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos   191 A partir de la ecuación de tiempo de viaje (1), se requiere encontrar la trayectoria de un recorrido con tiempo mínimo de viaje. Para encontrar esta trayectoria se debe de satisfacer que: 𝜕𝑡4𝜕𝑥𝑖 = 0, para 𝑖 = 1,2, … ,7, entonces: 𝜕𝑡4𝜕𝑥1 = 1𝑣1 ⋅ 𝑥1−𝑥0√(𝑥1−𝑥0)2+𝑒12 − 1𝑣2 ⋅ 𝑥2−𝑥1√(𝑥2−𝑥1)2+𝑒22 = 0,  (3) 𝜕𝑡4𝜕𝑥2 = 1𝑣2 ⋅ 𝑥2−𝑥1√(𝑥2−𝑥1)2+𝑒22 − 1𝑣3 ⋅ 𝑥3−𝑥2√(𝑥3−𝑥2)2+𝑒32 = 0,  (4) 𝜕𝑡4𝜕𝑥3 = 1𝑣3 ⋅ 𝑥3−𝑥2√(𝑥3−𝑥2)2+𝑒32 − 1𝑣4 ⋅ 𝑥4−𝑥3√(𝑥4−𝑥3)2+𝑒42 = 0,  (5) 𝜕𝑡4𝜕𝑥4 = 1𝑣4 ⋅ 𝑥4−𝑥3√(𝑥4−𝑥3)2+𝑒42 − 1𝑣4 ⋅ 𝑥5−𝑥4√(𝑥5−𝑥4)2+𝑒42 = 0,  (6) 𝜕𝑡4𝜕𝑥5 = 1𝑣4 ⋅ 𝑥5−𝑥4√(𝑥5−𝑥4)2+𝑒42 − 1𝑣3 ⋅ 𝑥6−𝑥5√(𝑥6−𝑥5)2+𝑒32 = 0,  (7) 𝜕𝑡4𝜕𝑥6 = 1𝑣3 ⋅ 𝑥6−𝑥5√(𝑥6−𝑥5)2+𝑒32 − 1𝑣2 ⋅ 𝑥7−𝑥6√(𝑥7−𝑥6)2+𝑒22 = 0,  (8) 𝜕𝑡4𝜕𝑥7 = 1𝑣2 ⋅ 𝑥7−𝑥6√(𝑥7−𝑥6)2+𝑒22 − 1𝑣1 ⋅ 𝑥8−𝑥7√(𝑥8−𝑥7)2+𝑒12 = 0.  (9) El sistema de ecuaciones (3-9) puede reescribirse como: 𝑣22(𝑥1 − 𝑥0)2[(𝑥2 − 𝑥1)2 + 𝑒22] − 𝑣12(𝑥2 − 𝑥1)2[(𝑥1 − 𝑥0)2 + 𝑒12] = 0,  (10) 𝑣32(𝑥2 − 𝑥1)2[(𝑥3 − 𝑥2)2 + 𝑒32] − 𝑣22(𝑥3 − 𝑥2)2[(𝑥2 − 𝑥1)2 + 𝑒22] = 0,  (11) 𝑣42(𝑥3 − 𝑥2)2[(𝑥4 − 𝑥3)2 + 𝑒42] − 𝑣32(𝑥4 − 𝑥3)2[(𝑥3 − 𝑥2)2 + 𝑒32] = 0,  (12) 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 0,  (13) 𝑣32(𝑥5 − 𝑥4)2[(𝑥6 − 𝑥5)2 + 𝑒32] − 𝑣42(𝑥6 − 𝑥5)2[(𝑥5 − 𝑥4)2 + 𝑒42] = 0,  (14) 𝑣22(𝑥6 − 𝑥5)2[(𝑥7 − 𝑥6)2 + 𝑒22] − 𝑣32(𝑥7 − 𝑥6)2[(𝑥6 − 𝑥5)2 + 𝑒32] = 0,  (15) 𝑣12(𝑥7 − 𝑥6)2[(𝑥8 − 𝑥7)2 + 𝑒12] − 𝑣22(𝑥8 − 𝑥7)2[(𝑥7 − 𝑥6)2 + 𝑒22] = 0.  (16) Las ecuaciones (10-16) forman un sistema de ecuaciones no lineales, el cual puede ser resuelto mediante el método de Newton (Pita Ruiz, 1995). Utilizando el método de Newton en su forma matricial para este sistema en particular, se obtienen las posiciones 𝑥𝑗+1𝑖  a partir de una aproximación inicial de los valores 𝑥𝑗𝑖, tal que:  [        𝑥𝑗+11𝑥𝑗+12𝑥𝑗+13𝑥𝑗+14𝑥𝑗+15𝑥𝑗+16𝑥𝑗+17 ]        =[        𝑥𝑗1𝑥𝑗2𝑥𝑗3𝑥𝑗4𝑥𝑗5𝑥𝑗6𝑥𝑗7]        −[            ∂𝑓1∂𝑥1 ∂𝑓1∂𝑥2 0 0 0 0 0∂𝑓2∂𝑥1 ∂𝑓2∂𝑥2 ∂𝑓2∂𝑥3 0 0 0 00 ∂𝑓3∂𝑥2 ∂𝑓3∂𝑥3 ∂𝑓3∂𝑥4 0 0 00 0 ∂𝑓4∂𝑥3 ∂𝑓4∂𝑥4 ∂𝑓4∂𝑥5 0 00 0 0 ∂𝑓5∂𝑥4 ∂𝑓5∂𝑥5 ∂𝑓5∂𝑥6 00 0 0 0 ∂𝑓6∂𝑥5 ∂𝑓6∂𝑥6 ∂𝑓6∂𝑥70 0 0 0 0 ∂𝑓7∂𝑥6 ∂𝑓7∂𝑥7]            −1[         𝑓1(𝑥𝑗1, 𝑥𝑗2)𝑓2(𝑥𝑗1, 𝑥𝑗2, 𝑥𝑗3)𝑓3(𝑥𝑗2, 𝑥𝑗3, 𝑥𝑗4)𝑓4(𝑥𝑗3, 𝑥𝑗4, 𝑥𝑗5)𝑓5(𝑥𝑗4, 𝑥𝑗5, 𝑥𝑗6)𝑓6(𝑥𝑗5, 𝑥𝑗6, 𝑥𝑗7)𝑓7(𝑥𝑗6, 𝑥𝑗7) ]         ,  (17) donde su Jacobiano está dado por una matriz tridiagonal y ∂𝑓1∂𝑥1 = 2(𝑣22 − 𝑣12)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥2 − 2𝑥1 + 𝑥0) + 2𝑣22(𝑥1 − 𝑥0)𝑒22 + 2𝑣12(𝑥2 − 𝑥1)𝑒12,  (18) ∂𝑓1∂𝑥2 = 2(𝑥2 − 𝑥1)[(𝑥1 − 𝑥0)2(𝑣22 − 𝑣12) − 𝑣12𝑒12],  (19) ∂𝑓2∂𝑥1 = −2(𝑥2 − 𝑥1)[(𝑥3 − 𝑥2)2(𝑣32 − 𝑣22) + 𝑣32𝑒32],  (20) Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos   192 ∂𝑓2∂𝑥2 = 2(𝑣32 − 𝑣22)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥1) + 2𝑣32(𝑥2 − 𝑥1)𝑒32 + 2𝑣22(𝑥3 − 𝑥2)𝑒22,  (21) ∂𝑓2∂𝑥2 = 2(𝑣32 − 𝑣22)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥1) + 2𝑣32(𝑥2 − 𝑥1)𝑒32 + 2𝑣22(𝑥3 − 𝑥2)𝑒22, (22) ∂𝑓3∂𝑥2 = −2(𝑥3 − 𝑥2)[(𝑥4 − 𝑥3)2(𝑣42 − 𝑣32) + 𝑣42𝑒42],  (23) ∂𝑓3∂𝑥3 = 2(𝑣42 − 𝑣32)(𝑥4 − 𝑥3)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2) + 2𝑣42(𝑥3 − 𝑥2)𝑒42 + 2𝑣32(𝑥4 − 𝑥3)𝑒32,  (24) ∂𝑓3∂𝑥4 = 2(𝑥4 − 𝑥3)[(𝑥3 − 𝑥2)2(𝑣42 − 𝑣32) − 𝑣32𝑒32],  (25) ∂𝑓4∂𝑥3 = 1,  (26) ∂𝑓4∂𝑥4 = −2,  (27) ∂𝑓4∂𝑥5 = 1,  (28) ∂𝑓5∂𝑥4 = −2(𝑥5 − 𝑥4)[(𝑥6 − 𝑥5)2(𝑣32 − 𝑣42) + 𝑣32𝑒32],  (29) ∂𝑓5∂𝑥5 = 2(𝑣32 − 𝑣42)(𝑥6 − 𝑥5)(𝑥5 − 𝑥4)(𝑥6 − 2𝑥5 + 𝑥4) + 2𝑣32(𝑥5 − 𝑥4)𝑒32 + 2𝑣42(𝑥6 − 𝑥5)𝑒42,  (30) ∂𝑓5∂𝑥6 = 2(𝑥6 − 𝑥5)[(𝑥5 − 𝑥4)2(𝑣32 − 𝑣42) − 𝑣42𝑒42],  (31) 𝜕𝑓6𝜕𝑥5 = −2(𝑥6 − 𝑥5)[(𝑥7 − 𝑥6)2(𝑣22 − 𝑣32) + 𝑣22𝑒22],  (32) ∂𝑓6∂𝑥6 = 2(𝑣22 − 𝑣32)(𝑥7 − 𝑥6)(𝑥6 − 𝑥5)(𝑥7 − 2𝑥6 + 𝑥5) + 2𝑣22(𝑥6 − 𝑥5)𝑒22 + 2𝑣32(𝑥7 − 𝑥5)𝑒32,  (33) ∂𝑓6∂𝑥7 = 2(𝑥7 − 𝑥6)[(𝑥6 − 𝑥5)2(𝑣22 − 𝑣32) − 𝑣32𝑒32],  (34) ∂𝑓7∂𝑥6 = −2(𝑥7 − 𝑥6)[(𝑥8 − 𝑥7)2(𝑣12 − 𝑣22) + 𝑣12𝑒12],  (35) ∂𝑓7∂𝑥7 = 2(𝑣12 − 𝑣22)(𝑥8 − 𝑥7)(𝑥7 − 𝑥6)(𝑥8 − 2𝑥7 + 𝑥6) + 2𝑣12(𝑥7 − 𝑥6)𝑒12 + 2𝑣22(𝑥8 − 𝑥7)𝑒22.  (36) Generalización del problema a n capas horizontales La ecuación (2) puede ser generalizada a un tiempo de viaje para n capas horizontales arriba de un semi-espacio como: 𝑡𝑛 = ∑ 1𝑣𝑖 √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)2 + 𝑒𝑖2𝑛𝑖=1   +   ∑ 1𝑣2𝑛−𝑖 √(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2 + 𝑒2𝑛−𝑖22𝑛−1𝑖=𝑛 .  (37) De las ecuaciones (20, 23, 26, 29, 32 y 35), la diagonal inferior de la matriz Jacobiana puede ser generalizada como: 𝐽[𝑖, 𝑖 − 1] = −2(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)[(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2(𝑣𝑖+12 − 𝑣𝑖2) + 𝑣𝑖+12 𝑒𝑖+12 ], para 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 − 1;  (38) 𝐽[𝑛, 𝑛 − 1] = 1, para 𝑖 = 𝑛;  (39) 𝐽[𝑖, 𝑖 − 1] = −2(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)[(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2(𝑣2𝑛−𝑖2 − 𝑣2𝑛−𝑖+12 ) − 𝑣2𝑛−𝑖2 𝑒2𝑛−𝑖2 ], para 𝑖 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… ,2n − 1. (40) De las ecuaciones (18, 21, 24, 27, 30, 33 y 36), la diagonal principal de la matriz Jacobiana puede ser establecida como: 𝐽[𝑖, 𝑖] = 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖+1 − 2𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1)(𝑣𝑖+12 − 𝑣𝑖2) + 2𝑣𝑖+12 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑒𝑖+12 + 2𝑣𝑖2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)𝑒𝑖2, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1; (41) 𝐽[𝑛, 𝑛] = −2, para 𝐽[𝑛, 𝑛] = −2,  (42) 𝐽[𝑖, 𝑖] = 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖+1 − 2𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1)(𝑣2𝑛−𝑖2 − 𝑣2𝑛−𝑖+12 ) + 2𝑣2𝑛−𝑖2 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑒2𝑛−𝑖2 + 2𝑣2𝑛−𝑖+12 (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)𝑒2𝑛−𝑖+12 , para 𝑖 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… ,2n − 1.  (43) De las ecuaciones (19, 22, 25, 28, 31 y 34), la diagonal superior de la matriz Jacobiana puede ser generalizada como: 𝐽[𝑖, 𝑖 + 1] = 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)[(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1)2(𝑣𝑖+12 − 𝑣𝑖2) − 𝑣𝑖2𝑒𝑖2], para 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 − 1;  (44) 𝐽[𝑛, 𝑛 + 1] = 1, para 𝑖 = 𝑛;  (45) 𝐽[𝑖, 𝑖 + 1] = 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)[(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1)2(𝑣2𝑛−𝑖2 − 𝑣2𝑛−𝑖+12 ) − 𝑣2𝑛−𝑖+12 𝑒2𝑛−𝑖+12 ], Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos   193 para 𝑖 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… ,2n − 2.  (45) Ejemplo para cuatro capas horizontales La figura 2 presenta un modelo de cuatro capas horizontales sobre un semi espacio homogéneo, cuyos espesores ei son: 10, 5, 12 y 8 m; las velocidades vi son: 500, 1000, 1500 y 2000 m/s; x0=Pf =0 m, es la posición de la fuente y x8=Pg =50 m, es la posición del receptor.  Figura 2: Modelo de cuatro reflectores sísmicos sobre un semi espacio homogéneo y el trazado del rayo. Los parámetros 𝒆𝒊 > 𝟎 y 𝒗𝒊 > 𝟎, para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, son respectivamente: 10, 5, 12 y 8 m; 500, 1000, 1500 y 2000 m/s. 𝒙𝟎 = 𝑷𝒇 = 𝟎 𝒎 es la posición de la fuente, 𝒙𝟖 = 𝑷𝒈=50 m es la posición del receptor. La ecuación del tiempo de viaje obtenida a partir de la ecuación (1), para el modelo de la Figura 1 es: 𝑡4 = 1500 √𝑥12 + 100 + 11000 √(𝑥2 − 𝑥1)2 + 25 + 11500 √(𝑥3 − 𝑥2)2 + 144 + 12000 √(𝑥4 − 𝑥3)2 + 64 +12000 √(𝑥5 − 𝑥4)2 + 64 + 11500 √(𝑥6 − 𝑥5)2 + 144 + 11000 √(𝑥7 − 𝑥6)2 + 25 + 1500 √(50 − 𝑥7)2 + 100  (47) El sistema de ecuaciones lineales asociado a la ecuación de tiempo de viaje (47) es: 4𝑥12[(𝑥2 − 𝑥1)2 + 25] − (𝑥2 − 𝑥1)2[𝑥12 + 100] = 0  (48) 9(𝑥2 − 𝑥1)2[(𝑥3 − 𝑥2)2 + 144] − 4(𝑥3 − 𝑥2)2[(𝑥2 − 𝑥1)2 + 25] = 0  (49) 16(𝑥3 − 𝑥2)2[(𝑥4 − 𝑥3)2 + 64] − 9(𝑥4 − 𝑥3)2[(𝑥3 − 𝑥2)2 + 144] = 0  (50) 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 0  (51) 9(𝑥5 − 𝑥4)2[(𝑥6 − 𝑥5)2 + 144] − 16(𝑥6 − 𝑥5)2[(𝑥5 − 𝑥4)2 + 64] = 0  (52) 4(𝑥6 − 𝑥5)2[(𝑥7 − 𝑥6)2 + 25] − 9(𝑥7 − 𝑥6)2[(𝑥6 − 𝑥5)2 + 144] = 0  (53) 9(𝑥7 − 𝑥6)2[(50 − 𝑥7)2 + 100] − 4(50 − 𝑥7)2[(𝑥7 − 𝑥6)2 + 25] = 0  (54)  Soto-Villalobos, R., Méndez-Delgado, S. & Izaguirre-Prado, O.E.: Método de Newton y el Trazado de Rayos   194 Conclusiones Generalizar el problema a n capas es importante ya que implica que puede ser implementado en algún lenguaje de programación para resolver el problema computacionalmente, ya que resolver analíticamente podría ser muy arduo o imposible de realizarse, entonces una solución aproximada puede aceptarse si esta tiene suficiente calidad. El problema puede ser propuesto como un tema de tesis de licenciatura o posgrado o bien en la participación en un congreso, para estudiantes con fuertes inclinaciones a la programación. Aunque se presenta un problema de capas horizontales, esta técnica puede ser utilizada para capas no horizontales con diferentes tipos de gradientes de velocidades y también para interfases no necesariamente líneas rectas. Referencias Burger, H.R. (1992): Exploration Geophysics of the shallow subsurface. First edition. – Englewood Cliffs, New Jersey, USA. (Prentice-Hall, Inc.). Dávila-Torres, R.F. (2012): Trazado de rayos sísmicos mediante la generalización de la optimización la ecuación de tiempos de arribo utilizando programación evolutiva. – Tesis de Licenciatura, Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ciencias de la Tierra, Linares Nuevo León. Pita-Ruiz, C. (1995): Cálculo Vectorial. Primera edición. – México (Prentice Hall).   

Método de Newton y el trazado de rayos

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