Flux reconstruction method for time-harmonic linear propagation problems: 1D a priori error analysis

Abstract

International audienceThe Flux Reconstruction (FR) method is well established for hyperbolic equations in the Computational Fluid Dynamics field, but has barely been studied for electromagnetism. In this article, we propose to describe the FR formulation for time-harmonic linear hyperbolic problems. In particular, this formalism includes the Maxwell's equations and the unidimensional wave equations, for which the method is detailed. We then focus on the wave equations for incoming boundary conditions, and prove the well-posedness of the associated FR method and quasi-optimal a priori error estimates, which are explicit in terms of the flux correction polynomials and discretisation parameters. Numerical experiments finally validate the main behaviours of the estimates, and confirm the good properties of the method for the Maxwell problem.La méthode Flux Reconstruction (FR) est largement établie pour les équations hyperboliques de la mécanique des fluides, mais n'a été encore que peu étudiée dans le cadre de l'électromagnétisme. Dans cet article, nous nous proposons donc de décrire la formulation FR pour des problèmes hyperboliques linéaires harmoniques. Ce formalisme général contient en particulier le problème de Maxwell et l'équation des ondes unidimensionnelle, pour lesquelles la méthode est détaillée. Nous nous concentrons ensuite sur l'équation des ondes pour des conditions de bord entrantes, et prouvons le caractère bien posé de la méthode FR associée, ainsi que des estimations d'erreur a priori quasi-optimales et explicites en les polynômes de correction de flux et les paramètres de discrétisation. Finalement, des expériences numériques permettent de valider les principaux comportements de ces estimations, et confirment les bonnes propriétés de la méthode pour les équations de Maxwell