In the first part of the thesis, we establish the semi-Fredholm theory on Hilbert C∗-
modules as a continuation of the Fredholm theory on Hilbert C∗-modules which was introduced
by Mishchenko and Fomenko. Starting from their definition of C∗-Fredholm operator, we give
definition of semi-C∗-Fredholm operator and prove that these operators correspond to one-sided
invertible elements in the Calkin algebra. Also, we give definition of semi-C∗-Weyl operators
and semi-C∗-B-Fredholm operators and obtain in this connection several results generalizing
the counterparts from the classical semi-Fredholm theory on Hilbert spaces. Finally, we consider
closed range operators on Hilbert C∗-modules and give necessary and sufficient conditions for
a composition of two closed range C∗-operators to have closed image. The second part of
the thesis is devoted to the generalized spectral theory of operators on Hilbert C∗-modules.
We introduce generalized spectra in C∗-algebras of C∗-operators and give description of such
spectra of shift operators, unitary, self-adjoint and normal operators on the standard Hilbert C∗-
module. Then we proceed further by studying generalized Fredholm spectra (in C∗-algebras) of
operators on Hilbert C∗-modules induced by various subclasses of semi-C∗-Fredholm operators.
In this setting we obtain generalizations of some of the results from the classical spectral
semi-Fredholm theory such as the results by Zemanek regarding the relationship between the
spectra of an operator and the spectra of its compressions. Also, we study 2×2 upper triangular
operator matrices acting on the direct sum of two standard Hilbert C∗-modules and describe
the relationship between semi-C∗-Fredholmness of these matrices and of their diagonal entries.У првом делу тезе успостављамо полу-Фредхолмову теориjу на Хилбертовим C∗-
модулима као наставак Фредхолмове теориjе на Хилбертовим C∗-модулима коjу су увели
Мишченко и Фоменко. Полазећи од њихове дефинициjе C∗-Фредхолмових оператора, даjе-
мо дефинициjу полу-C∗-Фредхолмовог оператора и доказуjемо да ти оператори одговараjу
jеднострано инвертибилним елементима у Калкиновоj алгебри. Такође, даjемо дефиници-
jу полу-C∗-Ваjлових оператора и полу-C∗-Б-Фредхолмових оператора и добиjамо с тим
у вези више резултата коjи генерализуjу пандане из класичне полу-Фредхолмове теориjе
на Хилбертовим просторима. На краjу, разматрамо операторе са затвореном сликом на
Хилбертовим C∗-модулима и даjемо потребне и довољне услове да композициjа два C∗-
оператора са затвореном сликом има затворену слику. Други део тезе посвећен jе генера-
лизованоj спектралноj теориjи оператора на Хилбертовим C∗-модулима. За C∗-операторе
дефинишемо генерализоване спектре у C∗-алгебри и даjемо опис таквих спектара у кон-
кретном случаjу оператора помака, унитарних, самоадjонгованих и нормалних оператора
на стандардном Хилбертовом C∗-модулу. Затим настављамо даље проучаваjући генера-
лизоване Фредхолмове спектре (у C∗-алгебрама) оператора на Хилбертовим C∗-модулима
индукованим различитим подкласама полу-C∗-Фредхолмових оператора. У овом контек-
сту добиjамо уопштење неких резултата из класичне спектралне полу-Фредхолмове теори-
jе, као што су Земанекови резултати у вези релациjа између спектара оператора и спектара
њихових компресиjа. Такође, проучавамо 2 × 2 горње триjангуларне операторске матрице
коjе делуjу на директноj суми два стандардна Хилбертова C∗-модула и описуjемо однос
између полу-C∗-Фредхолмности ових матрица и њихових диjагоналних елемената
