Sur la classification des flots d'Anosov en dimension 3 par des types géométriques

Abstract

In this thesis, we are going to describe a new approach to the problem of classification of transitive Anosov flows in dimension 3 up to orbital equivalence.To any Anosov flow supported by a closed and connected 3-manifold $M$, it is known that we can naturally associate (up to conjugation) an action of the fundamental group of $M$ on a plane endowed with two transverse foliations, otherwise known as the bifoliated plane of the flow. According to a result of T.Barbot, this action contains all the information and can be used to reconstruct the initial flow up to orbital equivalence. Our approach consists in classifying the group actions associated to Anosov flows using Markov partitions.First, we are going to define a notion of Markov partition for a group action on the plane preserving a pair of transverse foliations. This object will be called a Markovian family and will constitute a central object of this thesis. We will proceed in showing that every transitive Anosov flow in dimension 3 can be associated to infinitely many Markovian families.Next, a Markovian family being an infinite-type combinatorial object, we will associate canonically to any Markovian family a finite combinatorial object, called a geometric type. A big part of our study will be devoted to the properties of geometric types. We will show that the geometric type of a transitive Anosov flow in dimension 3 is an invariant of the flow modulo Dehn-Goodman-Fried surgeries on specific periodic orbits. As a consequence of this fact, by adding canonically some combinatorial information to the geometric type it is possible to define a finite invariant of the original Anosov flow up to orbital equivalence. We will call this invariant a geometric type with cyles.Finally, we will describe some applications of geometric types with cycles in the classification of Anosov flows in dimension 3 and some open questions around this topic.Dans cette thèse, nous allons décrire une nouvelle approche au problème de la classification des flots d'Anosov transitifs en dimension 3 à équivalence orbitale près. A un flot d'Anosov quelconque supporté par une 3-variété fermée et connexe M, il est connu qu'on peut naturellement associer (à conjugaison près) une action du groupe fondamental de M sur un plan muni de deux feuilletages transverses, autrement connu comme le plan bifeuilleté du flot. Un résultat de T.Barbot affirme que cette action contient toute l'information du flot initial et permet aussi de le reconstruire à orbite équivalence près. Notre approche consiste à classifier les actions de groupes associées à des flots d'Anosov par des partitions de Markov.Dans un premier temps, nous allons définir une notion de partition de Markov pour une action de groupe dans un plan qui préserve deux feuilletages transverses. Cet objet sera appelé une famille Markovienne et consistera un objet central de notre étude. Nous allons ensuite démontrer qu'à un flot d'Anosov transitif en dimension 3 on peut associer une infinité de familles Markoviennes.Une famille Markovienne étant une information combinatoire infinie, dans un second temps, nous allons associer canoniquement à chaque famille Markovienne un objet combinatoire fini, qui s'appellera un type géométrique. Une grande partie de cette thèse sera consacrée à l'étude de cet objet. On va prouver que le type géométrique d'un flot d'Anosov transitif en dimension 3 est un invariant du flot modulo des chirurgies de Dehn-Goodman-Fried sur des orbites périodiques qu'on pourra spécifier. Il va en découler qu'en rajoutant canoniquement une information combinatoire en plus dans le type géométrique, on peut définir un invariant fini du flot initial à équivalence orbitale près. On va appeler cet invariant un type géométrique à cycles.Enfin, nous allons décrire certaines applications des types géométriques à cycles dans la classification des flots d'Anosov en dimension 3 et certaines questions ouvertes autour de ce sujet