Klafszky, Emil

Repository of the Academy's Library

-2 9Legrövidebb ü t m eghatározása  I d ő tő l  függő é lh o s s z a k k a l b író  h á ló z a tb a nK la fsz k y  EmilA le g rö v id e b b  u t  p rob lém a m egoldása id ő tő l  nem függő é lh o s z -  szak  e s e té n  Ford és  F u lk e rs o n tó l  [ l , 2 ]  sz á rm az ik . Bellm an [3] d inam ikus p rog ram ozási m ódszert követve  e l j á r á s t  a d o tt  a  leg rö v id e b b  u t hosszának  m eg h a táro zásá ra . Ezen e lv e t  k ö v e t­ve Cooke é s  H alsey [é-] e l j á r á s t  a d ta k , i d ő tő l  függő é lh o s z -  szak  e s e té n  a le g rö v id e b b  u t hosszának  a m e g h a tá ro z á sá ra . Ez az e l j á r á s  azonban c sak  az u t h o s s z á t ,  de magát az u t a t  nem a d ja  meg. nbben a d o lg o za tb an  a z t  m u ta tju k  meg, hogy a  F ord - F u lk e rso n  f é l e  fo lyam  m ódszer s z in té n  a lka lm as a f e l a d a t  meg­o ld á s á r a ,  s ő t  a le g rö v id e b b  u t a t  i s  m egadja.Legyen az N = { x , y , . . .  } egy véges sok p o n tb ó l á l l ó  halm az. Legyen továbbá  T £ [ 0 , 1 , 2 , . . . . }  . A  ^  ( x ,y ,  1 ) nem -ne- g a t iv  egész  szám j e l e n t s e  a z t  az i d ő t ,  amely x -b ő l  , y -b a  v a ló  e l ju tá s h o z  sz ü k sé g e s , amennyiben x -b ő l a T id ő p o n t-  bem in d u lu n k  e l .  Ha x -b ő l  y -b a  a T  időpon tban  nem le h e t  m enni, akkor úgy v e ssz ü k , hogy IC ( x ,y ,  T ) = oo . Legye­nek s é s  t  az N halm az r ö g z í t e t t  p o n t j a i ,  az s pon­t o t  fo r r á s n a k , a t  p o n to t  nyelőnek  nevezzük.Legyen P = ( s  = xQ, x ^ , . . . , x n = t )  egy s -b ő l  t - b e  v e z e tő  u t .  R endeljünk  minden x 6 N  ponthoz d (x )  n e m -n eg a tiv  egész szám ot, m elyet az x  p o n tb e l i  t a r tó z k o d á s i  id ő n ek  ne­vezünk. Ezen d (x )  számok r e n d e z e t t  halm azát j e l ö l j ü k- зо -«D - v e i .  H alad junk  a P u tón a «D t a r tó z k o d á s i  é s  a К u ta z á s i  id ő v e l a -b ő l  t - b e .  J e lö l j ü k  'M x ^ í- v e l  az x^ p o n tb a  v a ló  é rk e z é s i  i d ő t .  A > (x^) szám okra az a lá b b ia k  t e l j e s ü l n e k ;iU x„)=  0/ 1/ A (x i ) = A ( x i _1 ) + J ( x i _1 ) + ÿ '[x i _1 ,x i> A ( x í - ; l ) +<^(xi _1 ) JC i = l | . . . ,  n )F e lad a tu n k  a z , hogy o lyan  P u t a t  é s  oD ta r tó z k o d á s i  id ő  é r té k e k e t  adjunk meg, hogy/ I х / A(t) minimális legyen.A f e la d a th o z  egy d u á l f e l a d a to t  re n d e lü n k . M eghatározandók a h á ló z a t  c sú c sa in  o ly an  ^u(x) ( x e N )  nem -negativ  egész sz á ­mok, m elyekre f e n n á l l ;/ 2// u ( s )  = 0/u (y )  -  /u (x )  ú Ü (x ,y ,  /u (x )  +■?) + 1Î ,ah o l x , y e N  és  $  t e t s z ő le g e s  n em -n eg ativ  egész  szám. E z en k ív ü l/ 2х / f u ( t ) m axim ális leg y en-  31 -A d u á l f e la d a tn a k  van le h e ts é g e s  m egoldása, p é ld á u l  az azono­san n u l la  yu é r té k e k  k i e l é g í t i k  / 2 /  e g y e n lő t le n s é g e t .Az a lá b b i  lemma a p r im á l é s  duál f e l a d a t  l e h e ts é g e s  m egoldásai k ö z ö t t i  k a p c s o la to t  m u ta tja .Lemma : T e tsz ő le g e s  P u t  és <£> ta r tó z k o d á s i  id ő ,  va lam in tt e t s z ő le g e s  /2 /-n e k  e le g e t  tev ő  ^u számok e se té n/ 3/  Mt) = /u(t)B i z o n y í t á s :A b iz o n y í tá s n á l  a / 2 /  e g y e n lő tle n s é g e t más form ában h a s z n á lju k , e z é r t  a z t  á t í r j u k .Legyen (d = ^u(x) + vl te rm é sz e te se n  akkor u) = ^u (x )-nek  fen n  k e l l  á l l n i .  E z t a  / 2 /  e g y e n lő tle n sé g b e  Í r v a  k ap jukА /  /u (y )  -  ш é  " ! í ( x ,y ,u ) ) ,minden olyan n em -n eg ativ  egész Ui - r a ,  m elyre (0 = / U(X) Azt m u ta tjuk  meg t e l j e s  in d u k c ió v a l, hogy a P u t minden x^p o n t já r a/ 5 /  = /u (x i )N y ilván  xQ e s e té n  À( s) = /u ( s )  t e l j e s ü l .  Tegyük f e l ,  hogy / 5 /  e g y e n lő tle n s é g  x ^ ^ - r e  f e n n á l l ,  akkor / 1 /  é s  / 4 /  f e lh a s z n á lá s á v a l  k a p ju k :-  32 -= ^ ( xí _i ) + ^ ( xí _i ) + ^ ^xi _ i )  + c ^íxi _ i ) J  -= A t x ^ )  + cf (х 1в1 ) + /U ÍX ^ -  M x ^ )  -  = /и (х А)Azaz / 5 /  t e l j e s ü l  x ^ - r e .Az eg ész  é r té k ü s é g  és  a / 3 /  e g y e n lő tle n s é g  b i z t o s í t j a ,  hogy lé te z n e k  o lyan  é r té k e k ,  m elyekre ^ u ( t )  m ax im ális . Meg­m u ta tju k , hogy l é te z n e k  olyan P u t  Л  ta r tó z k o d á s i  idő  és  /2 / - n e k  e le g e t  te v ő  ^u é r té k e k , hogy /3 /-b a n  egyenlőség  á l l  f e n n ,  azaz f e n n á l l  az a lá b b i d u a l i t á s !  t é t e l .T é t e l :Amennyiben a A é s  é r té k e k  / 1 /  i l l e t v e  /2 / - n e k  e le g e tte s z n e k ,  akkormin Л ( t )  = max y u ( t)B i z o n y í t á s  :A b iz o n y í tá s  k o n s t r u k t iv  l e s z .  Egyben e l j á r á s t  i s  ad a P u t^  a Q  t a r tó z k o d á s i  id ő  é r té k e k  és a ^u d u á lv á lto z ó k  megha­t á r o z á s á r a .Tegyük f e l ,  hogy ^u é r té k e k  o ly an o k , hogy ^ u ( t )  m axim ális Legyen SCN a következőképp  k o n s tru á lv a :-  33 -a .  /  s  6 sb .  /  y  leg y en  elem e S -nek , ha v a lam ely  x c S  é s  valam ely' í - r a  / 2 /  eg y en lő ség g el t e l j e s ü l .J e lö l jü k  T = N -  SAmennyiben t  £ S  akkor van o lyan  P s  ( s  s  * t )u t  s -b ô l  t - b e ,  hogy/U Í x ^  -  /U Í X j^ )  = ')$(xi _1 ,x i , /,u(xi _1 ) + tf )  + 'Ûv a lam ily en  "ff - r a .  Ezen "ff legyen  ci (x^ ) é r t é k e .Ekkor a  lemma b iz o n y í tá s á t  figye lem be véve a t é t e l t  b iz o n y í­t o t t u k .Ha t  ^ S, akkor/U(y) -  /U(x) ^  Ï  ( x , y t/ ,u(x) + "& ) + TÏminden x e S, y £ T  é s  minden nem -negativ  eg ész  "Ű - r a .J e lö l jü k ?í =  min } f [x ,y t//u (x ) ♦ ffJ+ D  ,aho l x f iS ,  у  € T és  nem -negativ  e g é sz . N y ilván  C > 0 .Legyen3-  34 -/ű (  x) = /u (x ) ha x  £ S/й ( x) = /u (x )  + £ ha x e TEzen yU é r té k e k  a d u á l f e l a d a t  le h e ts é g e s  m eg o ld á sa i, ugyanis S és  £ d e f i n í c i ó j a  m ia t t  / 2 /  f e l t é t e l t  k i e l é g í t i k .  Azonban £ * 0 m ia tt  y u ( t)  ^ u ( t )  e l l e n té tb e  a z z a l a f e l te v é s ü n k k e l ,  hogy / u ( t )  m ax im ális .(Ezzel a t é t e l t  b i z o n y í to t tu k .S z á m ítá s te c h n ik a i szem pontból m egjegyezzük, hogy amennyiben va lam ely  P u t  és 2d ta r tó z k o d á s i  id ő  e s e té n  / \ ( t )  = m, akkor te rm é s z e te s e n  e lé g  csak  a T e  ( 0 , 1 , . . . . , m> é r té k e k ­r e  s z o r í tk o z n i .Irodalom[1] L .R .F o rd , J r .a n d  D .R .F u lk e rso n , "Maximal Flow Througha N etw ork", C anadian J .M a th . 8 , 399-404 A 9 5 6 /.[2] L .R .F o rd , J r .  "Network flow  th e o ry "  RAND P aper P-923S anta  Monica C a l i f . /1 9 5 6 / .[3] R .B ellm an , "On a  R ou ting  P roblem ", Q u a rt, A ppl. Math.XVI. No. 1 /1 9 5 8 / .M  K .L . Cooke and E .H a lse y  "The S h o r te s t  R oute Through a Network w ith  Time-Dependent I n te m o d a l  T r a n s i t  T im es", -  J .M a th . A nal. A ppl. 14 , 493-498 Л 9 6 6 / .-  35 -S u m m a r y=:====: =s====s=îfc=U sing a dynamic program ming m ethod, C ooke-H alsey [4-] gave a p ro ce d u re  f o r  th e  d e f i n i t i o n  o f  th e  le n g th  o f th e  s h o r te s t  p a th  in  a n e t  w ith  tim e-d e p e n d en t edge le n g th .I t  i s  d em onstra ted  i n  t h i s  p a p e r  t h a t  th e  F o rd -F u lk e rso n  m ethod, t o o ,  i s  a p p lic a b le  t o  th e  s o lu t io n  o f  t h i s  p ro b lem . The c o n s tr u c t iv e  p ro o f  o f  th e  d u a l i t y  t h e s i s  betw een th e  problem  and i t  s  dual a f f o r d s  a t  th e  same tim e  an a lg o r i th m  f o r  th e  d e f i n i t i o n  o f th e  s h o r t e s t  p a th .

Legrövidebb út meghatározása időtől függő élhosszakkal bíró hálózatban

http://real.mtak.hu/181348/1/4_real_SZTAKIKozlemenyek_03.pdf

Legrövidebb út meghatározása időtől függő élhosszakkal bíró hálózatban

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of the Academy's Library