蔡尚芳

Traditional Chinese

National Taiwan Normal University Repository

與物體相連之彈簧的縱向振動
捕要
本文分部臨質點與波動觀種觀點，探討一端思定，另端與物體梧 i蜜之彈簧的縱向振動。
結果單示一般物理教科書所給之簡撥振動頻率公式，
，才能成立的。本文導出此物體與彈簧系統的駐波振動顛三容所必須滿足的…般性
豆豆散芳程式，其解龍括此系統的華吉普頻率，與所有篇稿泛苦的頻率。議，彈護與物體的質量義上七
甚小時，可視Jlt比之平方根為微量，高興色散方梅式做低~答展闕，求出其近似解的公式。
果顯示在 1!t微擎的二階近 1 刀、 ， 1其實點與按動方式獲得的基音頻率，確實是賴 i穹的，但波動
方式之解渴包括泛裔的頻率。
f 並非唯一可能之振動頻率， lbt彈實
與物體組成之系統，還存在乎等其他較高之振
動頓率，亦即泛嶺， lbt一結論在將彈簧曬為
可以傅建蹤誼之介質時，即可明顯看出 c
目的，是聽指出上讓費點與
波動聽種觀點問之關勝，以攪{共 2月 i記系競縱
向撥動之更深入了解，以作為高取與大學教
學之參考。在探討詞題峙，本文偉設此可單
…--.. x  簧.中旁聽」系統權觀幅鎮離其靜力平衡態，而
與物體相 i車之彈麓的縱向振動
考譚一均勻之螺總摺彈簣，設其力常數
k  ' 自然晨 1寰主義 L' 釋、質量為 m' 截揮積為
A  0  lbt彈簧平放於一無摩擦力的水平面上，
其縱車嘉興 x 軸重金，如下攝一所示，彈藥一
端悶定於 x 話 o '另攜位於 x ==  L ' 
M 的物體相連接。
月1 M 
若將質蠶為 M 的特轍， I歸為一受彈賞力
作用之質點，則可由牛頓第二運嘉定律求解
其鐘聲，時知物體沿 x 輯之選動為嚮諧撥動。
心般高中與大學普通物理教科番， i置常都 f躍
投彈麓的體蠶可以忽略，時給出將體做簡諧
振動的獨率 f 'P.主
f=土 J上
2n:  V 九f
、包畫，'， •• 
且
ra
圓、、
黨尚芳
觀立聾灣大學 物理系
主主橫鸝誼之雷積 A t草本改變擎永 j鑫維持為一
定價。
當彈簣措轍輯方向微蝠伸縮時，其應力
(即每單位頭積受到之力)與應變(即伸長暈與
原來長度之上七)成正比，故以力 p ， 自然長度
ι ，伸長最 LlL ' 及截面積 A 表示峙，此正比
輯{系可表示為
F=y坐
A  L  (2a) 
J二式中 Y 為比例常數，可躍為彈簧沿雛
39 科學教育另刊 第 240 期 中華民闋九十年六是
軸方 i晶體輯 f中捕時之有效楊氏係數。依虎克
定律，力 F 與掙錢量 ，1L 成正比，其比例常
數部彈黨之力常數 k ' 故土武亦已1寫成
ð.L 
F=AY 一== kð.L 
L  (2b) 
即比飼常數 Y 可表示如下:
Y=k L 
A  (2c) 
設;這位 x)代表位在 x 鐘之彈簧藏語站 x
方向的 f立移，點三( L  )即物體 M 之f立移。
x 笠 I1 x + ,1 x 之 IJ、段，其自紫5美釋為
,1 x  ' 阿拉 f敢怒覺~f[6T用 f立移表示為
ð.ç 寸 (x+ Ax) 一位，主)
x 鍵之彈黨截國斯受來自其右方撞車
接音5分沿 +x 方島之力為 F(x)' 聽說小段
、在南鵲宮之鄰接部分，對其所施之作財
力分別為腳 F( 約與 F(x+ ，1 x) ""  F(x) 。
依楊氏係數之定義，閉式 (2a) ，可得以下關
係:
ð.ç  13  ð.ç 
F(x)=AY …一口 kL 一
Ax  Ax 
(2d) 
(一)均勻主義變下彈簧之振動頻率
在彈簧編輯體系統做微幅振動哼，者彈
，到曬都是均勻的，民日糟糟，1ç/  L1;互
為常數，與 X 達標無闕，即
ð.ç …ç(x) _ ÇM 
Ax  x  L  (3a) 
或
5(X)=qx 
x 
(3b) 
，其草草薩拉x) 為 f立移位 x)
對時間之額分，故由式 (3b)可得
扣)守 x
(3c) 
上式中之 ÇM為物體擺動之還度 O 的彈簧
m I  L  ' 故河和照上式，先
求上起彈量實上 f立於 x 到 x+ 在x 芳、段之動能，
以積分求出其釋:穎，而得彈簧之聲能為
I  ,.L  m 兩
K可立斗 L '~. dx)記 (x)V
'"  2  恥扣 o 'L 
=~(凸史叫)(泣 ι% 趴)河 LLx
2 
2'L"L~'JO 
mFFL31 、
二三手(一)一 m毛主
三D '3'  6 
思物體之溫度為ι ，故物體之動能為
(3d) 
成
J
I
… 2 
K 
(3e) 
Jlt系統之位蛇，可辯力常數 k
f, (L)  ， 或物體之位移丸，
U=j 肉;
(4) 
綜合以上結果‘苟安日此彈簣，物體系統之總
力學能為
E=Ks+KM+U 
:1(M+ 史)ι 十 ~k;1
2 '  3 '  ~ m  2  ~ ".  (5) 
:當此系統曬於靜止平奮靜、峙，式 (4)用
揉用之位能為零，符其總力學能溶為嚀。上
M  + m/3 、力常數為 k
子所具有之總力學能，
Jlt蟬黨﹒物體系說?itx 方向之運動確為鶴諧擴
動，其在長動頻率為
10 =土J~
,  2rc  V 且J +m/3  (6) 
-4。一比較(1)與 (6)靄式之結果，可知一概教科
書意見之鶴諧振動頻率公式，部式(1) ，其實
是館設彈簧應變為均勻，間再錄音霄，僧露 m
時人之結果 e
(斗)~台 +x 方向傳遞之彈簧縱波的波速
，嘉措位村方向傳遞之正
弦縱誤。骰投此波之振福海去。'渡長為 λ ，
i皮速為 u ' 貝Ui皮之頻率f可自 fλ u 之關係
決定 o 在任一持對J t  ' 此波之投奔手可表示為
主 (x) ;0 sin竿忙的
A  n) 
上式中長x) 站在 xß麗的彈簧截面站 x方向之 f立
移(由平衡位置起算)。若由上式求上已 f立移缸x)
x 之微分後，再代入式 (2d)之右
禮，員。可得知在此醬面右闊的鄰按部分對其
研施之力 F(x)為
八é ._ U  FU):AY-ELzkL-Z 
Lix  Lix 
=生財。 cos墊付一的
A  A  (8的
彈簽上位於 x 到 x +.1 x 
疫站 f立移 ç (x)對待聞之二次微分之 (x) ， 前彈
簧之線質量驚度為 mlL ' 故此小段之費量為
m.1  x/L  0 此小段的左、右閑 j嘍，受到之作用
力分別為 -F(x)與 F(x+.1 x)  ， 故也牛頓第二蓮
，可得此小路彈襲之 j舉動方程式為
llF  ==  F(抖抖 -RX):(;似的)恃
~p 
在法竺~'(x)
Lix  L 
(8ι) 
是 1
與物體格達之彈養的縱向振動
前 (7)與侈品)調式可求出上式兩邊之苦頭分，盟郎 F 
d 扣(牡仲 x
(8d) 
LJF  .m 勻
一一:一(-:r y  kL; 村)
LJx λ(8位)
綜合 (8c) 、 (8d) 、 (8的三式之結果可得
kL= 竺 u 2
L  仰的
即按連 U 為
(9b) 
上式中第三個等式係利用式。c)之閣探求
，問 ρ 剖代表彈簧之體質量連三度。
(三)縱向駐波的指動頓率必須滿足的方
程式-色散方稅式
假設!f:七彈簧﹒物體系授以單一頻率ff.故縱
向駐波振動，則知其波長 λ u / f  0 
形下，彈簧各融面時以頻率f做簡諧振動。器
彈實位在 X 紅 O 之一端盟定不動，其 f立移恆
，故在時要 Ú t峙，位於正處之彈黨截間，
其瞬自 f立移可表示為
訂仲 x
鬥 21Cf 呵 λ
=l 丸~ s 幻1I狡 1 …一…… x.s 釗1ll.L.己lCTl z 
U  (lOa) 
上式中之常數 C 為接蝠，且彈實各點之f立移
均為零時，取童話時刻 t =  0  0 
出物體與彈黨 f立於 x 認 L 之一端 j敢接，
故物體亦必以頻率 f1ì故臨諧振動，真加運度
。M 及戶 ff愛來自彈襲的作用力 FM '均與其位移
5 師，亦即 ç (x=L)  ， 成正比。但E作用於彈
簧 X 且 L 端之力只知L) ， 實際上乃是來自物
體，與 FM 有作用力與反作揖力的臨 f系， ~p 科學教育月刊 第 2益。期 中華民國九十年六月
FMt …F(x=L) , 
一 F(x =L) =M  aM 
二 -M(ûcjYç(x = L) 
將(1 0的與 (2d)關式之結果代入上式，
2Jif __ _/2Jif 
-kL ﹒一一 cos(一… L)
u  u 
=  -M(2Jif)2 sin(2Jif L) 
U 
、且，/ KH  仇" , EA  rs-
(1 la) 
故式內的或 (9b) , 
2tifL >.  L  _  _. /  2tifL 
亡叫一一)tan(一一)
M  U  U 
、
SF '。 電
ZZ
唔，且 dsz
、
c=mIM' θ=(2π f  L!u)  ， 貼上式可改
C  =tanθ 
θ 
(l lc) 
，若以 y 搞縱轍，。童話橫軸，
曲線 y = c/  e 與 y =  tane 相交之各點戶牙醫
。或 f' 即王先 (11的之縛。此等解有無窮
多'}正常 c=ml M  <<1時，均串現在 θ 訊問
附近 (n 0 ， 1 ， 2 ， 3，"')'如置二所司令 3
y 
蠶二
(四)縱向駐波之基音與泛音頻率
設 m<< M  ' 罵自矗立或式 (11的可看出
品{吏。 =(21吭L!u)<<1 ' 布在此情
形下，正切函數可腰間成下式:
sin()  ()一 ((}3 /6) +  ((}5 1120) 
tanθ= ……-:::::: 
cos(}  1 一份2 /2)+(tr /24) 
_  (}3  2θ5 
::::::fj+ 一一+一一一
3  15 
將此結果代入式(1 1b) , 
之近 1M方程式為
竺怨。2+ 至1
lkf  3  (13的
()  2 之二次方程式，韶二~方恨之公式
(12) 
。2 …… 3 + 3"'1 + 4m/  3lkf  -
2 
1 Am.  1 A 削今
=一{…仆仆仆」之)…一(~之)~ +...} 
2 '  2 '3lkf/  8 '3lkf 
化史(l一三位)
九f' 3 凡f/ (1 3b) 
故如視質量上仁 (mIM)之平方接為數量參
轍，貝司在成錯釁參數之二:階近 {J:}，下，
。平妝品)刊云云
(1 3c) 
綜金(3由與 (9a)兩式之結果，即可得駐波之基
五怒哀 ~M+km/3 (14) 
上式之結果與式 (6)相同，故不論是用質
點或波動方式，在微盤參數之二階垃似下，
爵的。
正代表第糾結音之擴樂 ( n  =1 ,2,3, 
。 211: =  n:rr +f. 
U 
(…1t / 2 ~三f. <1t /2) 
則告式(l lb)可得
(15) 
-42 ;立 4θtanB 口吋(燃叫吋枷 an
(l6a) 
當 m<<M 時，上式顯示 tane 之值很小，自
此 εm&;，績很小，故可將正切接i數展揖拍得
z 手卜紡叫巾(伽 M …+叫叫 ε
(l6b) 
如保留徵小最玉萃三(伽 mlM)的三賠，則由上式可得
1 勻勻 4m 、
5= 一{…nJT 十 .In-JT- 十一一-)
2 、 V M 
海之士(1…叮咚:-;)
nJT M  n-JT-M 
曲式。 a) 、(1 5)與(l 6c)可得第 n
率凡的近{J;J，驛站
(16c) 
fn 才Jf nJT  {l+云霄 (1一法聶)}
若只謀留 (mIM)的一次頃，立 n 很大時，
之結果亦可表示為
叫平抖出
(1 +  0  ~. J ~  n1t ，/主 J i 十一γ …-I~ n 1t ‘卜一十一
nLJTL九r Vm  3"U  (1 7的
可見一館前言，此系統之泛音頻率，並
非暴音頻率之聲數倍。
與物競相連之彈簧的縱向振動
(五)彈簧之兩端閻定時，織向駐波之基
奇與;乏音頻率
彈簧之爾端若均固定，則可視之為物體
M 曬近於無窮大之情形，位此時彈黨蟬
，實際上即為 i沾上
結果在 M 撞近於無窮大之極限懼。故由式
(l 4H專輯率 /0 為零，即彈黨靜止不動，此解
黯然可自可能之振動頻率中剔除;但串式
(17的則可求得嵐清提下彈蜜之主基督與泛音頡
，結果為
L=;而
( n = 1,2,3, . .•  )  (l7c) 
由上式可望寄出此時彈盤上縱向駐波之泛
音纜車，
凹的之瞬 f系，
1  fn  _  n 
λ n  U  2L 
之聲數倍。利用式
(17d) 
故始社購端固定之彈贅，其駐波之波長
濁足上之下之公式:
丸一旦 … 
n  (l7e) 
此結果與馬端盟定之控線相詞。
令、
M
結峙--

與物體相連之彈簧的縱向振動

http://ir.lib.ntnu.edu.tw/ir/retrieve/25324/ntnulib_ja_K0201_0240_039.pdf

與物體相連之彈簧的縱向振動

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