Kippola, Laura

Muratore-Ginanneschi, Paolo

Saksman, Eero

Finnish

Journal.fi

ARKHIMEDES 2/2023ARTIKKELIT CENTRE OF EXCELLENCE FIRST TUTKII SATUNNAISUUTTA JA RAKENTEITA MATEMATIIKASSA JA SOVELLUKSISSA                                                   Laura Kippola, Eero Saksman ja Paolo Muratore-Ginanneschi Helsingin yliopisto Suomen Akatemian vuosille 2022–2029 valitsemat yksitoista uutta tutkimuksen huip-puyksikköä ovat ehtineet käynnistellä toimintaansa jo vajaan kahden vuoden ajan. Professori Eero Saksmanin (Helsingin yliopisto) johtamassa Satunnaisuuden ja ra-kenteiden tutkimuksen huippuyksikössä toiminta on käynnistynyt reippaasti: yksikön tutkimusryhmät ovat jo tehneet lupaavia avauksia tutkimuksen saralla, ja yksikössä on järjestetty aktiviteetteja tiiviskursseista konferensseihin. Tulevaisuudessa huippuyksi-kön tavoitteena on keskittyä huipputason tutkimuksen ohella erityisesti nuorten tutki-joiden koulutukseen.                                                       S atunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen huippuyksikkö (Finnish Centre of Excel-lence in Randomness and Structures, FiRST) tarkastelee satunnaisuuden rakenteita, tavoit-teenaan erityisesti ymmärtää satunnaisten ra-kenteiden analyyttisiä ja geometrisia ominai-suuksia. Huippuyksikön yhteistyötä motivoi satunnaisuuden tutkimuksen viime aikoina saa-vuttama rooli monilla matematiikan osa-alueil-la: monet ajankohtaiset, keskenään hyvinkin erilaiset matematiikan ja sen sovellusten on-gelmat sisältävät olennaisena osana satunnai-suutta ja johtavat yllättävän samankaltaisiin sa-tunnaisia rakenteita koskeviin kysymyksiin.  Esimerkkeinä satunnaisuutta sisältävistä ajan-kohtaisista tutkimusaiheista voidaan mainita muun muassa koneoppiminen: monet siinä so-velletuista algoritmeista ovat luonteeltaan pro-babilistisia, kuten stokastisen gradienttimene-telmän soveltaminen verkon opettamisessa. Kvanttikenttäteorian äskettäisissä matemaatti-sissa läpimurroissa keskeisenä uutena lähtökoh-tana oli Gaussisen multiplikatiivisen kaaoksen käyttö mallin rakennuspalikkana. Analyyttises-sä lukuteoriassa probabilistinen näkökulma on osoittautunut erittäinen hyödylliseksi monissa yhteyksissä, ja Riemannin zetafunktion itses-sään sisältämää satunnaisuutta on tutkittu inten-siivisesti viime aikoina. 4ARKHIMEDES 2/2023Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimus vaatii useamman matematiikan alan asiantuntemusta, joten huippuyksikkö kokoaa johtavia suomalai-sia matemaatikoita sekä alan uuden sukupolven maailmanluokan asiantuntijoita näiden ongel-mien selvittämiseksi. Huippuyksikkö tähtää matemaattisiin edistysaskeliin todennäköisyys-teorian menetelmien, kvantti- ja konformikent-täteorioiden, geometrisen ja harmonisen ana-lyysin, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden sekä ana-lyyttisen lukuteorian yhtymäkohdissa. Tämän artikkelin tavoitteena on kertoa lyhyesti Arkhimedeksen lukijoille Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen huippuyksikössä tähän mennessä tehdystä tutkimuksesta ja yksikön muista aktiviteeteista sekä kartoittaa huippuyk-sikön suunnitelmia tuleville vuosille. Artikkelin päätteeksi esitellään huippuyksikön tutkimus-ryhmät erityisaloineen. ESIMERKKEJÄ TUTKIMUKSESTA Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen huippuyksikön tieteellinen tukiryhmä vieraili Helsingissä marraskuussa 2022 ja arvioi en-simmäisessä raportissaan huippuyksikön jäsen-ten tieteellisen laadun korkealle. Tukiryhmä oli myös vaikuttunut huippuyksikön tutkimuksen laajasta kirjosta, joka vaihtelee mitä teoreetti-simmasta aina soveltavimpaan. Huippuyksikön viimeaikaisiin tutkimuskohteisiin lukeutuvat muun muassa alkuluvut, satunnaiset SLE-mul-tikäyrät, satunnaiset algoritmit sovelluksineen ja renormalisaatiomenetelmät stokastisessa ho-megenisaatiossa, joihin tutustutaan seuraavaksi. 5Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen logon on suunnitellut graafinen suunnittelija Eero Astala.ARKHIMEDES 2/2023Prof. Kaisa Matomäen ryhmä (TY) on tutkinut ’melkein alkulukujen’ tiheyttä erilaisissa yh-teyksissä. Eräs viimeisimmistä tuloksista näyt-tää, että jos  ja  ovat yhteistekijättömiä koko-naislukuja ja  on kuutiovapaa, niin on olemas-sa sellaiset kolme alkulukua , , , että . Tämä työ on paras tunnettu tulos kohti Erdösin konjektuuria, jonka mukaan sama väite pätee, kun tarkastellaan vain kahden alkuluvun tuloja. Mainittakoon, että vuonna 2023 Matomäelle myönnettiin jälleen kerran (yhdessä hänen yh-teistyötekijänsä Maksym Radziwillin kanssa) huomattava kansainvälinen tunnustus, Cole Prize, joka myönnetään merkittävästä työstä lukuteorian alalla. Prof. Eveliina Peltolan ryhmä (Aalto) on tutki-nut yhdessä Yilin Wangin kanssa suuria poik-keamia satunnaisille SLE-multikäyrille. He muun muassa osoittivat minimienergiakonfigu-raation yksikäsitteisyyden, mistä ylimääräisenä seurauksena oli uusi todistus Shapiron konjek-tuurille algebrallisessa geometriassa. Äskettäin Peltolalle myönnettiin ERC:n Starting Grant vuosille 2023–2027. Prof. Matti Viholan ryhmä (JY) on tutkinut sa-tunnaisten algoritmien teoreettisia ominaisuuk-sia ja kehittänyt uusia menetelmiä. Eräs tutki-muskohteista, jota on tutkittu yhteistyössä Saksmanin ryhmän (HY) kanssa, liittyy ns. Hamiltonin Monte Carlo -menetelmän suosit-tuun NUTS-versioon (No U Turn Sampler). NUTS- algoritmia käytetään laajasti koneoppi-misen ja Bayes-tilastotieteen sovelluksissa, mutta ennen tätä työtä sen rajakäyttäytymistä ei ole ymmärretty matemaattisesti. Prof. Tuomo Kuusen ryhmä (HY) on kehittänyt uusia renormalisaatiomenetelmiä stokastisessa homegenisaatiossa, jonka avulla tutkitaan, kuinka satunnainen mikroskooppinen rakenne q aqp1 p2 p3 ≤ qp1p2 p3 ≡ a (mod q)6Pauliina Ilmosen ryhmän agenttipohjainen zombiepidemiasimulaatio on herät-tänyt kansanvälistä kiinnostusta. Tutkimus on mainittu yli 30 kertaa uutisartik-keleissa ympäri maailmaa. Ryhmään kuuluvat (vasemmalta oikealle) Jaakko Pere. Natalia Vesselinova, Pauliina Ilmonen ja Aleksi Avela.ARKHIMEDES 2/2023määrää aineen makroskooppisen käyttäytymi-sen. Kehitettyjä uusia menetelmiä on mahdol-lista soveltaa muun muassa moniin korkean kontrastin homogenisaatio-ongelmiin. Sovel-lusaloja ovat esimerkiksi turbulenssimallit ja veden virtaus kalliossa. AKTIVITEETTEJA KURSSEISTA KON-FERENSSEIHIN Korkealaatuisen tutkimustyön ohella huippuyk-sikkö on järjestänyt itse kuusi tiiviskurssia [1], joista jokaiseen on kutsuttu puhujiksi ulkomai-sia, alojensa johtavia asiantuntijoita, ja osallis-tunut Simons Laufer Mathematical Sciences Instituten (ent. Mathematical Sciences Research Institute) temaattiseen lukukauteen “Analysis and geometry of random spaces” [2] niin järjes-täjinä kuin osallistujina. Temaattinen lukukausi järjestettiin 18.1.-27.5.2022 Berkeleyssä, Kali-forniassa. Huippuyksikön ensimmäisen, Helsingin yli-opistossa järjestetyn tiiviskurssin piti lokakuus-sa 2022 Durhamin yliopiston apulaisprofessori Ellen Powell otsikolla ”Introduction to the Gaussian Free Field”. Powellin lisäksi Helsin-gin yliopistolla huippuyksikön tiiviskursseja ovat pitäneet Zaher Hani (University of Mi-chigan), Yu Deng (University of Southern Cali-fornia), Henna Koivusalo (University of Bris-tol) ja Richard Kenyon (Yale University). Ke-väällä 2023 huippuyksikön tiiviskurssitarjonta laajeni Turun yliopistoon, jossa kuultiin Warwickin yliopiston professorin Adam Harpe-rin intensiivikurssi ”Random and non-random multiplicative functions”, ja alkusyksystä 2023 Aalto-yliopistossa järjestettiin Chicagon yli-opiston apulaisprofessorin Ewain Gwynnen ve-tämä tiiviskurssi ”The Liouville quantum gravi-ty metric”. Suurin osa huippuyksikön järjestämistä tiivis-kursseista on tarkoitettu maisteri- ja tohtorio-piskelijoille sekä muille kurssin aiheista ylei-sesti kiinnostuneille. Osaan kursseista on sisäl-tynyt laskentaharjoituksia, jotka suorittamalla opiskelija on voinut kerryttää itselleen muuta-man opintopisteen. Kurssit ovat keränneet ylei-söä laajalti eri matematiikan laitoksilta, ja jopa kesäkuussa pidetty lyhytkurssi veti ilahdutta-vasti salin täyteen. Tiiviskurssien suosiollisen vastaanoton pohjalta huippuyksikössä on ar-vioitu, että kurssien tapaisille tilaisuuksille on kotimaisen matematiikan kentällä ollut tilausta. Huippuyksikkötoiminnan käynnistyttyä yksi-kön tutkijat ovat olleet mukana järjestämässä edellä mainitun Berkeleyn teemakevään lisäksi kahta kansainvälistä konferenssia: Probability and Mathematical Physics -konferenssia [3] Helsingissä 28.6.-7.7.2022 ja Quasiworld workshop -tapaamista [4] niin ikään Helsingis-sä 14.-18.8.2023. Asiantuntevan neuvoa-anta-van tieteellisen komitean (Hugo Duminil-Co-pin, Alice Guionnet, Martin Hairer, Felix Otto, Nicolai Reshetikhin, Sylvia Serfaty) tuella jär-jestetty Probability and Mathematical Physics -konferenssi tapahtui rinnakkain Kansainvälisen matematiikan unionin (IMU) yleiskokouksen kanssa, joka pidettiin Helsingissä 3.-4.7.2022. Videotallenteet [5] konferenssin esitelmistä ovat edelleen katsottavissa konferenssin kotisi-vuilla. Konferenssin järjestelytoimikunnan ohella osa huippuyksikön jäsenistä kuului Hel-singissä samana kesänä järjestetyn Kansainväli-sen matematiikan unionin mitaliseremonian [6] paikalliseen järjestäjätoimikuntaan. KATSE TULEVAAN Nuorten tutkijoiden koulutus on keskeinen osa Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen huippuyksikön tulevaisuudentavoitteita. Yksi-7ARKHIMEDES 2/2023kön kunnianhimoisena tavoitteena on kasvattaa uuden sukupolven matemaatikkoja vastaamaan luontaisesti poikkitieteellisten probleemien haasteisiin kannustamalla heitä yhdistämään vahva teoreettinen tausta monipuoliseen kiin-nostukseen monitieteistä ja soveltavaa tutki-musta kohtaan. Tämän huippuyksikkö pyrkii mahdollistamaan muun muassa tarjoamalla mahdollisuuksia liikkuvuuteen yksikön sisällä ja sen ulkopuolisiin tutkimuslaitoksiin suuntau-tuen.  Tulevina vuosina huippuyksikkö pyrkii tarjoa-maan uusia tiiviskursseja, ja suunnitelmissa on järjestää myös laajempia, tietyn teemakokonai-suuden ympärille rakentuvia kesä- ja talvikou-luja. Perinteisen luento-opetuksen ohella tai jopa sen sijaan huippuyksikön kesäkouluissa tullaan kokeilemaan erilaisia yhteisöllisen op-pimisen menetelmiä, kuten flipped learning -mallia, jossa opiskelijat perehtyvät jo ennalta kurssilla käsiteltäviin materiaaleihin, ja kesä-koulussa he ratkovat yhdessä niihin liittyviä harjoituksia sekä keskustelevat oppimastaan. Lisäksi potentiaalisiin tulevaisuuden suunni-telmiin kuuluu kesäkoulu, jossa kutsuttujen spesialistien asemasta väitösopiskelijat itse pi-tävät esitelmiä muiden töistä toisille väitösopis-kelijoille. Satunnaisuuden ja rakenteiden tutkimuksen huippuyksikön muodostavat yksitoista vastuul-lista tutkijaa tutkimusryhmineen: professori Eero Saksman (johtaja, probabilistiset mene-telmät, Helsingin yliopisto), professori Tuomas Hytönen (harmoninen analyysi, Helsingin yli-opisto), professori Tuomo Kuusi (osittaisdiffe-rentiaaliyhtälöt, Helsingin yliopisto), professori Jani Lukkarinen (matemaattinen fysiikka, Hel-singin yliopisto), professori Xiao Zhong (kvasi-konformaaliset menetelmät, Helsingin yliopis-to), professori Kalle Kytölä (konforminen kent-täteoria, Aalto-yliopisto), professori Pauliina Ilmonen (tilastolliset menetelmät, Aalto-yliopis-to), professori Eveliina Peltola (satunnainen geometria, Aalto-yliopisto), professori Kaisa Matomäki (analyyttinen lukuteoria, Turun yli-opisto), professori Matti Vihola (probabilistiset algoritmit, Jyväskylän yliopisto) ja professori Pekka Koskela (varajohtaja, geometrinen ana-lyysi, Jyväskylän yliopisto). Huippuyksikön tieteellisenä koordinaattorina toimii yliopisto-tutkija Paolo Muratore-Ginanneschi (Helsingin yliopisto) ja projektikoordinaattorina VTM Laura Kippola (Helsingin yliopisto). Huippuyk-sikön tavoittaa parhaiten sähköpostitse osoit-teesta coe-first@helsinki.fi. Viitteet:[1] https://www.helsinki.fi/en/projects/first/events/past-events[2] https://www.slmath.org/programs/317[3] https://www.helsinki.fi/en/conferences/probability-and-mathematical-physics[4] https://www.helsinki.fi/en/conferences/quasiworld-workshop[5] https://www.helsinki.fi/en/conferences/probability-and-mathematical-physics/programme-and-videos[6] https://www.hs.fi/tiede/art-2000008902831.html 8

Centre of excellence FiRST

https://journal.fi/arkhimedes/article/download/142291/90049

Centre of excellence FiRST

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Journal.fi