Financial returns often present a complex relation with previous observations, along with a slight skewness and high kurtosis, which can not typically be captured via Gaussian distributions. As a consequence, we need to develop flexible models that are able to capture these features. To respond to this problem, several families of distributions have been proposed.
For example, Azzalini (1985) presented the Skew-Normal distribution, which is able to capture the underlying skewness. Also, Lange and Sinsheimer (1993) show us a way to pick up the kurtosis by means of the Slash distribution, a much needed feature in this type of study. Other distributions such as the
Skew-Slash proposed by Wang and Genton (2006) allow us to capture both
skewness and heavy tails.
In this thesis, we begin by proposing the use of a Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedastic (GARCH) process, introduced by Bollerslev
(1986), with Skew-Slash innovations to model univariate financial time series of returns. In this case, we derive formulae for the higher order moments of this distribution, which show that this distribution can incorporate both moderate
skewness and high kurtosis. We also obtain the Maximum Likelihood estimations and we propose a Bayesian inference procedure for the GARCH model with Skew-Slash innovations, and illustrate the performance of our proposed methodology using simulations, as well as a real data example using the logreturns of the Standard & Poor's index from January 3rd, 2000 to December 28th, 2013.
Afterwards, for the multivariate case, we propose to use an extension of
the GARCH process, such as the Dynamic Conditional Correlation model,
introduced by Tse and Tsui (2002), with multivariate Skew-Slash innovations
for financial returns in a Bayesian framework, and it is illustrated using a
Markov Chain Montecarlo (MCMC) within Gibbs algorithm performed on
simulated data, as well as real data drawn from the daily closing prices of
the Dow Jones and NASDAQ indices from January 2nd, 1996 until December
29th, 2006 on a first example, and the daily log-returns of the DAX, CAC40,
and Nikkei indices between October 10th, 1991 and December 30th, 1996 in a second example.Los rendimientos financieros presentan con frecuencia una relación compleja
con observaciones previas, así como una ligera asimetría y alta kurtosis. Como
consecuencia, debemos utilizar modelos más flexibles que sean capaces de asir estos rasgos especiales: un proceso estocástico que sea capaz de manifestar la relación intertemporal entre las observaciones, así como una distribución que pueda capturar la asimetría y las colas pesadas de manera simultánea.
La distribución Gaussiana ha sido ampliamente utilizada en la literatura
para estudiar diferentes tipos de datos; sin embargo, en algunos casos, como
el estudio de rendimientos financieros, encontramos la necesidad de incorporar
modelos más flexibles, debido a la frecuente presencia de un comportamiento
ligeramente asimétrico y colas pesadas. Para enfrentar este problema, encontramos varias propuestas de familias de distribuciones.
Por ejemplo, Azzalini (1985) presentó la distribución Skew-Normal, que es
capaz de capturar la falta de simetría subyacente en ciertos tipos de datos.
Además, Lange y Sinsheimer (1993), a través de la distribución Slash, nos
enseñan una manera de captar la kurtosis, una habilidad de gran importancia
en este tipo estudios. Para unir estas dos características, se han presentado
otras opciones, como la distribución Skew-Slash, propuesta por Wang y Genton
(2006), que nos otorga la posibilidad de percibir tanto la asimetría como la presencia de colas pesadas.
En esta tesis, en primer lugar, se propone utilizar un proceso GARCH
(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic), propuesto por Bollerslev (1986), con innovaciones Skew-Slash para modelar series temporales de rendimientos de datos financieros en el caso univariante y, en segundo lugar, un modelo de Correlación Condicional Dinámica, propuesto por Tse y Tsui (2002), con innovaciones Skew-Slash en el caso multivariante.
En el caso univariante, derivamos expresiones explícitas de los momentos de órdenes altos para la distribución propuesta, de modo que pueda mostrarse su capacidad para incorporar al mismo tiempo una ligera falta de simetría y alta
kurtosis. Además, obtendremos los estimadores máximo verosímiles y propondremos un procedimiento de inferencia Bayesiana para el modelo GARCH con innovaciones Skew-Slash e ilustramos el desempeño de la metodología propuesta utilizando tanto simulaciones como un ejemplo de datos reales a través de los log-rendimientos del índice de Standard & Poor's desde el 3 de enero de 2000 hasta el 28 de diciembre de 2013.
Para el caso multivariante, proponemos una extensión adecuada a través
del modelo de Correlación Condicional Dinámica con innovaciones Skew-Slash
multivariantes para trabajar con rendimientos financieros desde el punto de
vista Bayesiano, el cual se ilustra ejecutando un algoritmo MCMC (Markov
Chain Montecarlo) para datos simulados, así como datos reales tomados de
los precios de cierre diarios de los índices de Dow Jones y NASDAQ desde el
2 de enero de 1996 hasta el 29 de diciembre de 2006 en un primer ejemplo,
además de los log-rendimientos diarios de los índices DAX, CAC40 y Nikkei
desde el 10 de octubre de 1991 hasta el 30 de diciembre de 1997 en un segundo ejemplo.Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería MatemáticaPresidente: Manuel Salvador Figueras.- Secretario: Maria Helena Lopes Moreira Da Veiga.- Vocal: Catalina García Garcí
