Esta tesis contiene tres artículos de investigación con aportes originales. El primer artículo, que coincide con el Capítulo 2, ha sido publicado (Diko and Usabel (17)) en Insurance: Mathematics and Economics, una revista de reconocimiento internacional incluída en JCR. En el citado capítulo se propone un método numérico que permite evaluar la función de utilidad en un marco de proceso de Poisson compuesto con cambio de régimen. Esto supone que los parámetros del modelo de Poisson compuesto pueden variar en el tiempo, gobernados por un proceso de Markov subyacente. Este modelo es una generalización de los procesos que se analizan en la literatura relevante hasta el momento, por tanto el aporte de este capítulo consiste tanto en el desarrollo de un modelo nuevo, capaz de reflejar un entorno económico variable, como en el método de cálculo de cuantías de interés relacionadas con este. Estas incluyen entre otras la probabilidad de la ruina, supervivencia o el déficit medio al producirse la ruina. El Capítulo 3 expone el tratamiento genérico de un problema de control estocástico en el marco de procesos generales de difusión de Lévy. Este tipo de problemas es conocido por su difficultad a la hora de obtener soluciones concretas, ya que las equaciones diferenciales o integro-diferenciales que caracterizan la solución no admiten tratamiento analítico exacto. Habitualmente se aplican métodos numéricos de discretización de tiempo. En esta tesis, se desarrolla un método de solución alternativo que consiste en Erlangizar (dividir en intervalos aleatorios exponenciales) el horizonte temporal establecido con lo que se consigue simplificar la complejidad de las equaciones diferenciales involucradas. Esta transformación lleva a una metodología de aproximación iterativa aplicable a un gran abanico de problemas del area de finanzas y seguros. Los resultados de este capíulo están en el proceso de revisión en Mathematical Finance, una de las revistas de finanzas estocásticas más importantes en el mundo. Por último, el Capíulo 4 ofrece una aplicación de la metodología presentada anteriormente en el marco de solvencia de una compañía de seguros. En este contexto se plantea un problema de decisión sobre la composición de la cartera de inversión optima con el fin de maximizar la utilidad esperada de una cartera sometida a un proceso de riesgo. Aplicando el algoritmo iterativo del Capítulo 3 se calculan las cuantías de interés y se demuestra la rápida convergencia y buenas propiedades del método propuesto. El contenido de este capítulo también representa un aporte original y está actualmente bajo revisión en la revista ASTIN Bulletin, referente principal en el campo de investigación actuarial. En conlusi on, los tres aportes de investigaci on original presentados en esta tesis permiten una aplicación de métodos numéricos para obtener resultados concretos en situaciones que hasta ahora no han sido tratadas en la literaturaChebyshev approximation in risk processes. Optimal control of Lévy diffusions. Risk theory and optimal investmen
