This thesis presents solution methods for equations of the form Mz + M#z = b, where M and M# are complex n x n-matrices, b a given vector and z the vector to he solved.
Such an equation could he solved by first rewriting it as a real 2n x 2n system of linear equations Ax = f, hut the methods in this thesis are based on the original formulation.
Real-linear operators are mappings z - Mz + M#z.
These can he represented in a table form not unlike matrices and real-linear LU-decomposition, Householder transformation and QR-decomposition are defined following [1].
The Householder transformation is modified to improve numerical stability.
A new strategy to avoid the breakdown mentioned in [1] in the real-linear LU-decomposition is suggested.
The Krylov subspaces of matrices and some solutions methods based on these are introduced roughly following [8].
The real-linear GMRES method given in [1] for the equation kz + M#z = b where k is a complex number, is reconsidered and additionally methods for the cases MT# = (-) M# based on Lanczos-type iteration is presented.
New real-linear Givens rotations provide an alternative to using Householder transformations during computations of the real-linear GMRES.
There's no GMRES for real-linear equations of the general form, but some iterative Galerkin methods are tried including the one mentioned in [1].
The incomplete LU-decompositions (ILU) for matrices as preconditioning methods are generalized to real-linear operators.
ILU(0) and ILUT methods are given as examples.
Following [5], the integral equation corresponding to the alpha-equation arising in electrical impedance tomography is discretized resulting in the equation z + M#z = 1.
Computations with MÄTLAB provide evidence of the effectiveness for real-linear methods in comparison to the corresponding real 2n x 2n system with GMRES.
Previously, there's no direct mention of transforming to the C-linearized equation (I - M#M#) z = 1 - M#1.
When the matrix M# arises from the discretization of the mentioned integral equation numerical experiments suggest that using this formulation is recommended.
The thesis is self-contained requiring only the basics of linear algebra.
Appendix A contains the required definitions concerning matrices.Työssä esitellään ratkaisumenetelmiä yhtälöille muotoa Mz + M#z = b, missä M ja M# ovat kompleksisia n x n-matriiseja, b annettu vektori ja z ratkaistava vektori.
Tällainen yhtälö voitaisiin ratkaista muuttamalla se ensiksi reaaliseksi 2n x 2n-kokoiseksi lineaariseksi yhtälöksi Ax = f, mutta tässä työssä menetelmät perustuvat alkuperäiseen muotoon.
Reaalilineaariset operaattorit ovat kuvauksia z- Mz + M#.
Tässä työssä nämä esitetään taulukkomuodossa matriisien tapaan ja niille annetaan lähteen [1] mukainen reaalilineaarinen LU-hajotelma, Householderin muunnos ja QR-hajotelma.
Householderin muunnoksen laskenta-algoritmi annetaan numeerista stabiiliutta parantavalla muutoksella.
Lähteessä [1] mainitun LU-hajotelman tukialkion singulaarisuuden ongelman ratkaisuksi ehdotetaan uutta menetelmää.
Matriisien Krylovin aliavaruudet ja näihin perustuvia lineaaristen yhtälöryhmien iteratiivisia ratkaisumenetelmiä esitellään lähdettä [8] noudatellen.
Lähteen [1] mukainen reaalilineaarinen GMRES-menetelmä yhtälölle kz + M#z= b, missä k on kompleksiluku, käydään läpi ja lisäksi tapauksille MT# = (-)M# tuodaan esiin Lanczos-tyyppiseen iterointiin perustuvat menetelmät.
Ensiksi mainitussa menetelmässä tarvittavan Householderin muunnoksen tilalle tarjotaan uutena mahdollisuutena käyttää reaalilineaarisia Givens-rotaatioita.
Yleisille reaalilineaarisille yhtälöille ei saada GMRESia, mutta joitakin Galerkinin menetelmään perustuvia iteratiivisia menetelmiä kokeillaan mukaanlukien lähteessä [1] mainittu.
Matriisien epätäydelliset LU-hajotelmat (ILU) pohjustusmenetelminä yleistetään reaalilineaarisille operaattoreille.
Näistä esimerkkeinä annetaan ILU(0)- ja ILUT-menetelmät.
Numeerisia kokeita varten diskretoidaan sähköisessä impedanssitomografiassa esiintyvää alpha- yhtälöä vastaava integraaliyhtälö päätyen yhtälöön z + M#z= 1 lähdettä [5] noudattaen.
MATLABilla suoritetut laskennat osoittavat reaalilineaariset ratkaisumenetelmät tehokkaammiksi kuin GMRES vastaavalle reaaliselle 2n x 2n-yhtälöryhmälle.
Aikaisemmin ei ole suoraan mainittu edellä olevan yhtälö muuttamista C-lineaariseen muotoon (I - M#M)z = 1 - M#1.
Matriisin M# ollessa peräisin edellä mainitun integraaliyhtälön diskretoinnista, on numeeristen kokeiden perusteella ratkaisu tästä muodosta suositeltavaa.
Lukijalta edellytetään lineaarialgebran alkeiden hallintaa.
Liite A sisältää matriisien osalta käytetyt määritelmät
