The assumption of homogeneous error varianceunderlying the OLS method is very important to get the bestlinear unbiased estimation of the regression coefficients. Thispaper aims to compare the width of confidence interval which isresulted by the OLS, the WLS, and the robust regression methodswhen the error term is not homogen. Comparing the three methodsindicate that the width of confidence interval by the robustregression method is narrower than the OLS method but the WLSmethod is the narrowest

Megawarni, Andi

Sugiarti , Harmi

English

Jurnal Online Universitas Terbuka

Nama: Harmi Sugiarti & Andi Megawarni Judul:Penggunaan Metode Regresi Robust untuk Mencari Selang Kepercayaan Koefisien Garis Regresi jika Ragam Galat Tidak HomogenTanggal: September, 2003AbstractThe assumption of homogeneous error variance underlying the OLS method is very important to get the best linear unbiased estimation of the regression coefficients. This paper aims to compare the width of confidence interval which is resulted by the OLS, the WLS, and the robust regression methods when the error term is not homogen. Comparing the three methods indicate that the width of confidence interval by the robust regression method is narrower than the OLS method but the WLS method is the narrowest. PENDAHULUANAsumsi ragam galat homogen ( ) diperlukan oleh metode kuadrat terkecil (ordinary least square, OLS) untuk mendapatkan penduga parameter yang bersifat tak bias linear terbaik (best linear unbiased estimator, BLUE) dari model regresi . adalah nilai peubah respons pada pengamatan ke-i,  adalah nilai peubah bebas pada pengamatan ke-i dan  adalah koefisien regresi yang tidak diketahui nilainya dan akan dicari nilai taksirannya. Penanganan kasus ketidakhomogenan ragam galat kadangkala diikuti munculnya penyimpangan asumsi lainnya, diantaranya adalah munculnya pengamatan pencilan (outlier) dalam data. Adanya pengamatan pencilan dalam data dapat mengakibatkan penduga koefisien garis regresi yang diperoleh tidak tepat. Namun demikian tindakan membuang (menolak) begitu saja suatu pengamatan pencilan bukanlah tindakan yang bijaksana, karena adakalanya pengamatan pencilan memberikan informasi yang cukup berarti. Dalam hal asumsi ragam galat homogen tidak dipenuhi, salah satu metode alternatif yang dapat dicoba adalah metode kuadrat terkecil tertimbang (weighted least square, WLS). Metode ini menghasilkan lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding metode OLS (Sugiarti, 2001). Adanya faktor kesulitan penentuan pembobot  karena besarnya  tidak diketahui, penggunaan metode WLS masih belum dapat mereduksi munculnya pengamatan pencilan. Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan dari metode yang ada, baik metode OLS maupun metode WLS, perlu dicoba metode lain yang bersifat tidak sensitif terhadap pelanggaran asumsi-asumsi, yaitu metode regresi robust (robust regression). Tulisan ini bertujuan untuk membandingkan lebar selang kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh metode regresi robust dengan lebar selang kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh metode OLS dan metode WLS. SELANG KEPERCAYAANSelang kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya. Besaran B dan A dikatakan menentukan selang kepercayaan (1-a) 100% bagi suatu parameter apabila memenuhi kriteria berikut:Page 1 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...P[B  nilai parameter yang sebenarnya A]  (1-a) dana. nilai-nilai B dan A dapat dihitung dari sampel yang telah diambil dari populasi.Selang kepercayaan yang cukup baik adalah selang kepercayaan yang mempunyai lebar selang yang sempit dan persentase selang yang memuat parameter cukup besar (Koopmans, 1987).METODE REGRESI ROBUSTProsedur regresi robust dirancang untuk mengurangi pengaruh dari pengamatan-pengamatan yang mempunyai pengaruh tinggi jika metode kuadrat terkecil digunakan. Oleh karena itu, prosedur regresi robust cenderung untuk mengabaikan sisaan-sisaan yang berhubungan dengan pencilan-pencilan yang besar. Disamping tidak sensitif jika terdapat kasus pencilan, prosedur regresi robust mempunyai tingkat efisiensi yang sama 90%-95% dibanding kuadrat terkecil jika dibawah distribusi normal (Montgomery & Peck, 1992).Menurut Staudte & Sheather (1990), jika hubungan linear antara satu peubah respon dengan peubah-peubah bebasnya dimodelkan sebagai: , dengan  menyatakan baris ke-i dari matriks rancangan X,  menyatakan parameter model dan  menyatakan suku galat; maka penaksir kemungkinan maksimum atau penaksir-M (M-estimator)  untuk model dengan p parameter diperoleh dengan cara meminimumkan atau mencari penyelesaian dari , dengan  adalah fungsi pembobot yang bernilai antara 0 dan 1 dengan . Secara umum pembobot  dirumuskan sebagai , dengan  adalah influence function dan  adalah suatu fungsi yang tidak diketahui dan tergantung pada x melalui leveragenya. Dengan menentukan nilai dan  serta memilih fungsi Huber  yang berbentuk: , maka nilai pembobot  menjadi bergantung pada kombinasi besarnya leverage dan studentized residual melalui DFFITS. Sebagai salah satu ukuran yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya pengamatan yang berpengaruh, DFFITS dirumuskan sebagai .Page 2 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...Secara singkat nilai pembobot  dapat dinyatakan dalam bentuk: . Jadi persamaan  dapat ditulis dalam bentuk matriks  yang kita kenal sebagai persamaan normal kuadrat terkecil tertimbang dengan W adalah matriks diagonal yang berisi pembobot. Solusi persamaan normal tersebut akan memberikan taksiran untuk  yaitu:  dan penaksir-M untuk  diperoleh dengan cara melakukan iterasi sampai diperoleh suatu hasil yang konvergen, cara ini biasa dikenal sebagai metode kuadrat terkecil tertimbang secara iteratif (iteratively reweighted least square).Berdasarkan pembobot  dan penaksir-M parameter , matriks kovarians untuk parameter  yakni  dapat didekati dengan persamaan berikut: , dengan adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya  dan  adalah matriks diagonal dengan elemen diagonalnya . Selang kepercayaan (1-a)100% untuk parameter diperoleh sebagai:  (Staudte,1990).METODOLOGIData yang dipergunakan dalam tulisan ini adalah data simulasi, yaitu data yang dibangkitkan dengan bantuan paket program MINITAB versi 11.12 dan data eksperimen, yaitu berupa data rata-rata panjang daun (cm) tanaman temulawak (curcuma xanthorrhiza roxb.) pada umur 17 minggu yang diberi pupuk kandang pada berbagai taraf yaitu: tanpa pupuk, 0,5 kg/lubang, 1 kg/lubang dan ditanam pada variasi jarak tanam 60 x 40 cm dan 60 x 60 cm (Priono, 1988).Ada beberapa langkah yang harus ditempuh untuk melakukan simulasi, yaitu pertama adalah mencari galat  yang memenuhi kriteria nilai rataan nol dan ragam tidak homogen. Galat tersebut dapat diperoleh dengan cara membangkitkan data. Pembangkitan galat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok dengan setiap kelompok mempunyai rataan nol dan ragam berbeda-beda. Langkah kedua adalah menentukan nilai-nilai peubah bebas X1 dan X2 , karena X1 dan X2 adalah konstanta yang diketahui. Nilai-nilai dari koefisien regresi yaitu  diasumsikan dengan nilai tertentu. Dari nilai-nilai yang telah diketahui, dapat dicari nilai peubah respons sebagai .Langkah ketiga adalah menguji apakah dari pasangan data X1 , X2 dan Y diperoleh ragam galat yang tidak homogen. Apabila hasil uji menyatakan ragam galat tidak homogen, maka pasangan data X1 , X2 dan Y dengan rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh.Langkah keempat, setelah pasangan data X1 , X2 dan Y yang mempunyai rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh, selanjutnya dilakukan pendugaan koefisien regresi dengan metode regresi robust dan mencari selang kepercayaan bagi . Page 3 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...OLS WLS Robust2.39600 1.55700 -0.93610 0.76870 2.28129 1.725010.96714 0.02383 1.01526 0.01140 0.96812 0.022260.98137 0.02049 1.00305 0.01005 0.98205 0.01736Langkah kelima, membandingkan antara lebar selang kepercayaan yang diperoleh metode regresi robust dengan lebar selang kepercayaan yang diperoleh metode OLS dan metode WLS .Langkah keenam adalah mengulang langkah keempat dan kelima untuk data eksperimen.HASIL DATA SIMULASIDengan mengasumsikan ,  dan , maka pasangan data ,  dan Y dapat dilihat pada Lampiran 1. Metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust memberikan penduga bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga koefisien regresinya seperti pada Tabel 1. Tabel 1. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk Data SimulasiJika dibandingkan nilai-nilai penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh metode regresi robust dengan metode OLS dan metode WLS, tampak nilai-nilai penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak diantara nilai-nilai penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS dan metode WLS. Demikian juga dengan simpangan baku penduga koefisien regresinya, pada Tabel 1 ditunjukkan bahwa nilai-nilai simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak diantara nilai-nilai simpangan baku penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS dan metode WLS.Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust disajikan dalam Tabel 2. Pada tabel tersebut tampak bahwa selang untuk koefisien regresi  dan  yang dihasilkan oleh metode regresi robust lebih sempit dibanding metode OLS sedangkan metode WLS menghasilkan selang yang paling sempit diantara ketiga metode. Sedangkan selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.Tabel 2. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data SimulasiSelang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99%OLS WLS Robust OLS WLS Robust6.3899 3.1548 7.0794 8.6289 4.2601 9.56000Page 4 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...0.0978 0.0468 0.0914 0.1321 0.1321 0.12340.0841 0.0413 0.0713 0.1136 0.0557 0.0962HASIL DATA EKSPERIMENDengan menggunakan data eksperimen pada Lampiran 2 tentang rata-rata panjang daun tanaman temulawak berumur 17 minggu (Y) yang diberi pupuk kandang pada tiga taraf (X1) dan ditanam pada dua variasi jarak tanam (X2), metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust memberikan penduga bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga bagi koefisien regresi seperti pada Tabel 3. Nilai-nilai simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak diantara nilai-nilai simpangan baku penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS dan metode WLS.Tabel 3. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk Data Eksperimen dengan Konsentrasi Pupuk sebagai PembobotOLS WLS Robust39.0400 27.2500 54.0710 4.2910 61.5178 12.898631.5900 12.7300 34.3810 3.2870 19.3309 6.73570.2693 0.5197 -0.0406 0.0822 -0.1394 0.2455Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust disajikan dalam Tabel 4. Pada tabel tersebut tampak bahwa selang kepercayaan untuk koefisien regresi  dan  yang dihasilkan oleh metode regresi robust lebih sempit dibanding metode OLS sedangkan metode WLS menghasilkan selang yang paling sempit diantara ketiga metode. Selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.Tabel 4. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data Eksperimendengan Konsentrasi Pupuk sebagai PembobotSelang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99%OLS WLS Robust OLS WLS Robust116.1395 18.2882 54.9738 160.6115 25.2912 76.024454.2553 14.0092 28.7076 75.0306 19.3736 39.7002Page 5 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...2.2150 0.3502 1.0463 3.0631 0.4845 1.4470Jika digunakan jarak tanam sebagai pembobot pada metode WLS, maka nilai-nilai penduga bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust disajikan dalam Tabel 5 berikut ini. Tabel 5. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk DataEksperimen dengan Jarak Tanam sebagai Pembobot OLS WLS Robust39.0400 27.2500 44.8700 20.9600 61.5178 12.898631.5900 12.7300 19.9330 2.5750 19.3309 6.73570.2693 0.5197 0.2693 0.5198 -0.1394 0.2455Nilai-nilai simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak diantara nilai-nilai simpangan baku penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS dan metode WLS. Khusus untuk , metode regresi robust menghasilkan simpangan baku paling kecil diantara ketiga metode.Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust disajikan dalam Tabel 6. Pada tabel tersebut tampak bahwa selang untuk koefisien regresi yang dihasilkan oleh metode regresi robust lebih sempit dibanding metode OLS sedangkan metode WLS menghasilkan selang yang paling sempit diantara ketiga metode kecuali pada selang kepercayaan untuk , dengan metode regresi robust menghasilkan selang paling sempit diantara ketiga metode tersebut. Tabel 6. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data Eksperimen dengan Jarak Tanam sebagai PembobotSelang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99%OLS WLS Robust OLS WLS Robust116.1395 89.3315 54.9738 160.6115 123.5382 76.024454.2553 10.9747 28.7076 75.0306 15.1771 39.70022.2150 2.2154 1.0463 3.0631 3.0637 1.4470Page 6 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...Obs.1. 100.972 48 53 -0.02759Selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.KESIMPULANLebar selang yang dihasilkan oleh metode regresi robust secara keseluruhan lebih sempit dibanding selang yang dihasilkan metode OLS tetapi sedikit lebih lebar dibanding selang yang dihasilkan metode WLS. DAFTAR PUSTAKAKoopmans, L.H. 1987. Introduction to Contemporary Statistical Methods. 2nd ed. Boston: PWS.Montgomery,D.C.&Peck,E.A. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis. 2nd ed. Homewood, Illinois:Irwin Priono, M. 1988. Pengaruh Pemberian Pupuk Kandang & Jarak Tanam Terhadap Pertumbuhan Tanaman Temulawak (Curcuma Xanthorrhiza Roxb.). Skripsi yang tidak dipublikasikan. Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto.Staudte, R.G. & Sheather, S.J. 1990. Robust Estimation and Testing. New York: Wiley.Sugiarti, H. & Megawarni, A. 2001. Selang Kepercayaan untuk Koefisien Garis Regresi Jika Ragam Galat Tidak Homogen dengan Metode OLS dan WLS. Jakarta: Lembaga Penelitian Universitas Terbuka.Lampiran 1. Data SimulasiPage 7 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...2. 121.659 95 26 0.658703. 41.731 42 1 -1.269024. 109.832 62 46 1.832195. 55.494 34 22 -0.505656. 26.970 17 11 -1.030077. 111.646 23 90 -1.353828. 112.610 62 50 0.609689. 107.549 83 24 0.5486710. 170.493 79 91 0.4928511. 103.917 42 62 -0.0827612. 32.976 18 13 1.9760913. 121.193 89 36 -3.8070714. 53.497 8 40 5.4965815. 88.483 76 14 -1.5169416. 34.910 2 36 -3.0902217. 55.939 37 23 -4.0614718. 95.829 5 89 1.8290419. 50.646 21 28 1.6460020. 138.479 48 89 1.4785521. 170.862 83 88 -0.1379322. 54.293 40 11 3.2934823. 77.655 60 24 -6.34511Obs.1. 52.90 0.0 402. 55.07 0.0 403. 55.73 0.0 404. 46.97 0.0 605. 48.00 0.0 606. 53.50 0.0 607. 69.00 0.5 408. 70.60 0.5 409. 64.40 0.5 4010. 69.27 0.5 6011. 71.03 0.5 6012. 71.20 0.5 6013. 72.13 1.0 4014. 72.73 1.0 40Lampiran 2. Data EksperimenPage 8 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...24. 67.161 30 28 9.1609725. 134.472 37 100 -2.5282326. 134.850 66 74 -5.1503727. 144.231 69 82 -6.7691128. 81.048 67 11 3.0484029. 83.743 55 26 2.7433430. 100.464 37 61 2.4642615. 77.90 1.0 4016. 46.73 1.0 6017. 73.93 1.0 6018. 158.30 1.0 60KembaliPage 9 of 9Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 200308/07/2020file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...

Penggunaan Metode Regresi Robust untuk Mencari Selang Kepercayaan Koefisien Garis Regresi jika Ragam Galat Tidak Homogen

https://jurnal.ut.ac.id/index.php/jmst/article/download/909/770

Penggunaan Metode Regresi Robust untuk Mencari Selang Kepercayaan Koefisien Garis Regresi jika Ragam Galat Tidak Homogen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Jurnal Online Universitas Terbuka