Nota necrológicaFac. de Ciencias MatemáticasTRUEpu

Rodríguez Bachiller, Tomás

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Docta Complutense

DAVID HILBERTfcsor extraordinario, para pasar al poco tiempo, como Ordinariogran influencia sobre el contacto con los últimos i la dirección de UT/ers-.La Matemática ha sufrido últimamente una gran pérdida con la muerte de Hilbert ; desaparece uno de los pocos matemáticos ¿le gran estilo de nuestra época, uno de esos hombres geniales que dejan huella profunda’ en todo el dominio que su labor de investigación ha abarcado. Pertenéce a la línea de los Gauss, Cauchy, Abel, Galois, Riemann, Weierstrass, Foin- caré, Volterra..., para no citar más que a* los fundadores y escultores de la Matemática actual.Nació David Hilbert el 23 de enero de 1S62 en la ciudad de Koenigs- bcrg, donde también hizo sus estudios de primera y segunda enseñanza, ma­nifestando durante ellos una gran afición artística y literaria. Como él mis­mo decía más tarde : «no me ocupaba en mis primeros estudios de un modo especia! con la matemática, porque tenía plena conciencia, de que esa sería mi tarea futura». También la mayor parte de sus estudios universitarios los realizó en su ciudad natal, con H. Weber como maestro y del cual oobró afición a las cuestiones de la teoría de los números y a la de los invariantes algebraicos; Lindemann, el que primero demostró la trascen­dencia del número -, en 1882, fué otro de sus maestros. En la Universidad de Heidelbcrg, se interesó y trabajó principalmente con el gran Fuchs, en­tonces en todo su esplendor, con sus decisivos trabajos en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Én Koenigsberg tuvo la suerte de oír al recién nombrado profesor extraordinario Adolfo Hurwitz y establecer una honda amistad con Minkowski ; ambos ejercieron una joven Hilbert, sobre todo porque le pusieron en resultados de la teoría de las funciones, tanto enIrass como en la de Ricmann, y con los trabajos de Dedekind y de Kro- necker. En diciembre de 1884 recibe Hilbert su doctorado, mediante una Tesis sobre un problema que Lindemann le había propuesto : caracterizar de modo invariante las formas que se pueden transformar proyectivamente en funciones esféricas do orden n. Su primera intención fué presentar como disertación doctoral un trabajo sobre un problema propio (se trataba de una generalización de las fracciones continuas); pero como Lindemann le dijo: i Desgraciadamente tal generalización fué ya dida por Jacobi! Su Tesis le había hecho profundizar en la Teoría de los invariantes y en el campo de ésta contnúa laborando de modo exclusivo hasta 1892, en cuyo intervalo de tiempo lé fué concedida la docencia privada en la Universidad de Koenigs­berg, de la que fué nombrado, después de su trabajo de Habilitación, pro­e .  a la78 REVISTA MATEMATICA HISPANOAMERICANAella dedicado pores aquí donde obtu- resultados de gran transcendencia, demostrando la fini- tud de los sistemas de invariantes ; más aún, la finitud de la base de un sistema de módulos, introduciendo además la noción de función caracterís­tica de un sistema de módulos, en estrecha conexión con el género numé­rico de la estructura algebraica correspondiente. Estos trabajos cierran una época (la de los cálculos y algoritmos laboriosos, artificiosos y oscuros) y abren otra, prometedora, en la importantísima teoría general de los inva­riantes ; sin embargo, en cierto modo, las nuevas ideas de Hilbert en este dominio, no fueron comprendidas en todo su alcance ; ha sido preciso el es­pléndido desarrollo del Algebra Moderna, para que dieran todo su fruto (como demuestra la magistral obra reciente sobre la Teoría de los invarian­tes de H. Weyl). La idea esencial de Hilbert es aquí, el empleo de métodos aritméticos en problemas algebraicos, estudiando las propiedades generales (aritméticas y algebraicas) de los sistemas de funciones algebraicas ; de aquí arrancan las teorías generales de los cuerpos, anillos y módulos abstractos, que luego han de desarrollar de modo tan magnífico E. Noetiier, van der Waerden, edificando así el bello edificio actual del Algebra Moderna. »Después de los invariantes, tócale el turno de la atención de Hilbert a la Teoría de los números, en la cual comienza con una demostración ex­tremadamente sencilla de los resultados ya obtenidos por Hermite y Lin- deniann, de la trascendencia de los números e y ~. También en esta rama de la Matemática, la predilecta de Gauss, süs resultados y métodos marcan una nueva época ; fueron sistemáticamente expuestos en el célebre «Informe a la Sociedad Matemática Alemana» sobre la Teoría de los cuerpos de nú­meros algebraicos, obra capital, que es la base para toda investigación mo-famosa Universidad de Góttingen, ciudad en la que, salvo cortas ausen­cias, y de óstas rara vez al extranjero, permaneció hasta su muerte.La obra de Hilbert se caracteriza por su gran originalidad y profun­didad. En casi todas las ramas de la Matemática ha dejado huella y ha iniciado nuevos métodos y nuevas extensiones de las teorías; ha tenido predilección siempre por las cuestiones y problemas verdaderamente vitales de su ciencia, en toda ocasión iba directamente al núcleo de la dificultad o bien la resolvía genialmente o acertaba a mostrarla en nueva y fecunda perspectiva. Esa su tendencia natural a tratar problemas medulares, explica las espléndidas investigaciones por él realizadas, en el campo de los Fun­damentos de Ja Matemática, de los que se ocupó casi exclusivamente en los últimos lustros de su vida científica, así como el impulso nuevo y fuerte que dió a las Teorías más abstractas y difíciles de la Matemática, en es­pecial a la Teoría de los números algebraicos. El análisis de la obra de Hilbert exigiría él solo una obra, y no pretendemos en este corto artículo ser completos ni mucho menos ; sólo nos limitaremos a señalar algunos de los temas predilectos de Hilbert y en los cuales sus ideas han sido decisivas. Quien desee obtener una información más detallada hará bien en consultar sus Gesammelte Abhandlungen, publicadas por la casa Sprin- ger en tres volúmenes ; en el último de éstos, encontrará el curioso, más de­talles sobre su vida científica, en el magnífico artículo a el ilustre matemático Otto Blumenthal.Como ya dijimos los primeros trabajos de Hilbert se relacionaban con la Teoría de los invariantes de las formas algebraicas y vo el primero de sus79REVISTA MATEMATICA H1SPANO-AMERICANAcierna en el campo de la Aritmética Superior (lo que fueron las «Disquisi- tiones Arithmeticae» de Gauss en la primera mitad del siglo pasado) ; ella, junto con las dos importantísimas Memorias : «Über die Theorie des relativ- quadratischen Zahlkórpers» (Mathematische Annalen, tomo 51, 1898) y «Cber die Theorie der relativ-Abelschen Zahlk rper» (Góttinger Nachrichten, 1898), colocan a la teoría de los números algebraicos bajo el signo de los dos grandes problemas, estrechamente relacionados entre sí: el de la exis­tencia del cuerpo de clases para un cuerpo algebraico cualquiera y el de la ley de reciprocidad de los restos potenciales para un exponente primo l ar­bitrario en un supercucrpo del cuerpo de las raíces I-ésimas de la unidad. En estos trabajos, sitúa justamente a estos problemas en la perspectiva que permite comprender su profunda significación para el porvenir de la Teoría. Aun hoy el problema del cuerpo de clases es un problema capital dentro del Algebra abstracta. (El «Informe» análogo al de Hilbert, para la época posterior, y debido a uno de sus más distinguidos discípulos, su­cesor actual del Maestro en Góttingen, H. Hasse, está casi todo él dedica­do a dichos problemas). A partir de 1899 no vuelve a publicar nada sobre cuerpos de números algebraicos y comienza a ocuparse de los fundamentos de la Geometría y de la entonces recién nacida teoría de las Ecüaciones integrales. <En 1900, durante el II Congreso internacional de Matemáticos, celebra­do en París, lee su famoso discurso sobre «dos problemas de la matemáti­ca», señalando a la atención de los investigadores 23 cuestiones referentes a toda la matemática (actualmente en su mayoría han sido resueltos y lo que vale más, han originado nuevos métodos y problemas).La atención dedicada a la Geometría, le conduce a la Axiomática, pu­blicando en 1900 la primera edición (la actual es la octava) de su famosa obra «Grundlagen der Geometrie» que produjo en aquella época interesan­tes y fecundas discusiones entre su autor, Poincaré y B. Russell ; ya en esta obra se inicia su posición formalista dentro del campo de la investi­gación de los fundamentos de la Matemática ; recordemos que su método axiomático fué expuesto en el primer número de nuestra Revista del año 1919, en un magnífico artículo lleno de sugestiones y singularmente claro ; es curiosa esta característica de la mente de Hilbert, a pesar de la difi­cultad y de lo abstruso de las cuestiones por las que tiene mayor predilec­ción. Sus exposiciones son siempre estrictas, sin palabras ni silogismos in­útiles, dejando al desnudo la esencia del problema y de su demostración ; y conste que su estilo literario no tiene nada de seco, más bien es flúido y elegante. En la obra citada resaltan justamente estas cualidades ; consti­tuye para nuestra época una obra clásica en el más pleno sentido y ha sido el punto de partida de una serie de valiosas investigaciones en todas las ramas de la Geometría, cuya estructura matemática y lógica ha sido así analizada casi de un modo definitivo. Como complemento a la obra en cuestión, aunque de carácter radicalmente intuitivo, puede considerarse sus bellas lecciones, de varios cursos de Góttingen, recogidas en el volumen publicado por la casa Springer y titulada «Anschauliche Geometrie», donde se expone, por decirlo así, el «material intuitivo» de todas las ramas esen­ciales de la Geometría.Casi al mismo tiempo que se ocupaba Hilbert de estas cuestiones geo-80 REVISTA MATEMATICA HISPANO-AMERICANAotro más de sus discípulos. Maestro en el estudio demétricas, tomó contacto con los trabajos de Fredholm sobre las ecuaciones integrales y la teoría del potencial. Fruto de sus profundas meditaciones sobre el nuevo campa abierto por Fredholm y Volterra son una serie de brillantes y decisivas Memorias, mediante las cuales, como siempre de un modo originalísimo, plantea de nuevo los problemas y con sus nuevos mé­todos e ideas, da un impulso formidable a ¡la teoría de las ecuaciones inte­grales y sobre todo al Análisis funcional, que poco antes comenzó a dar sus primeros pasos firmes como teoría independiente y ambiciosa de abarcar grandes extensiones de la Matemática clásica. Así sucedió con el Cálculo de Variaciones, absorbido por aquél, y precisamente el primer paso en este sentido fué dado por Hilbert, en un trabajo de gran transcendencia, la demostración del Principio de Dirichlct, con lo cual probó cumplidamente la potencia de sus métodos, que igualmente dieron ópimos frutos aplicados a otros dos grandes problemas, el de la existencia de las integrales abelianas de primera especie y el de la uniformización de la teoría general de funcio­nes. Los métodos funcionales de Hilbert han sistematizado la teoría de las ecuaciones integrales y han permitido además un considerable avance al problema de la integración de las ecuaciones en derivadas parciales, espe­cialmente las de la Física Matemática y sobre todo en el tratamiento de sus problemas lineales de contorno ; en este campo son esenciales las ideas y conceptos de Hilbert, las autofunciones y autovalores de los opera­dores, la teoría de los sistemas de infinitas ecuaciones lineales con una in­finidad de incógnitas (infinito numerable), el espacio de su nombre, de in­finitas dimensiones, campo de juego de todas las funciones utilizadas en la actual Mecánica cuántica, etc. Todas estas cuestiones han sido objeto de pocas, pero enjundiosas Memorias del gran matemático, y también de varios cursos de lecciones universitarias, una recopilación de los cuales se encuentra en la conocida y magnífica obra «Métodos matemáticos de la física-matemática» (2 tomos, Springer), redactada y completada por otro do sus mejores discípulos, Courant, uno dé los que más han contribuido al desarrollo de los nuevos métodos del Maestro, en el campo a que nos esta­mos refiriendo.En la última época de la vida científica de Hilbert, coincidente con la espléndida floración de nuevas y fecundas concepciones en la Física, como la Teoría de la Relatividad y la Teoría de los quahla, su interés se dirigió tarpbién hacia ellas, pero siempre desde su punto de vista personal y mar­chando directo, al menos como matemático, al núcleo de lo esencial. Así que fueron sus trabajos predilectos los de carácter axiomático, logrando fundamentar de manera sólida los esquemas matemáticos de la mayor parte de la Física-Matemática. Son notables las memorias deificadas a los fun­damentos axiomáticos de la teoría de la relatividad y de la mecánica cuán­tica, esta última realizada en colaboración con J. von Neumann, que también ha ayudado a su los fundamentos de la Matemática.La meditación sobre estos últimos problemas, ha absorbido gran parte de la actividad de Hilbert: después de la aplicación del pensamiento axio­mático a la Geometría, se dedica al problema análogo de la aritmética, de la teoría de los conjuntos y al del infinito. El análisis de la estructura for­mal de todas estas axiomáticas le conduce a crear una nueva Matemática,81REVISTA MATEMATICA HISPANO-AMERICANAca-posible crear sobre ellasT. R. Bachiller.la Matemática de la Matemática misma, es decir, la matemática de las estructuras lógicas de las teorías matemáticas. Con esta Metamatemática se erige en jefe de una de las tres escuelas que pretenden representar la tan mal llamada filosofía de la Matemática,' de la escuela formalista (las otras dos son la logicista, cuyo jefe es B. Russell, y la intuicioiiista, cuyo director es el genial -L. E. J. Brouwer). La Tesis formalista de Hilbert puede sinte­tizarse en la afirmación de que la matemática pura es la ciencia de la estruc­tura formal de los símbolos, negando por otra parte el que los conceptos ma­temáticos puedan reducirse a los conceptos lógicos (escuela logicista); el ma­temático puede estudiar las propiedades de los objetos solamente construyen­do un sistema de signos, una vez hecho lo cual no tiene porqué preocuparse de su significación, puesto que puede ver en los signos mismos aquellas pro­piedades estructurales que le interesan. Esto no quiere decir en modo alguno que la matemática sea un mero juego sin ningún significado. Parte esen­cial en la teoría formalista es la teoría de la demostración o sea propiamente la Metamatemática. El desarrollo dado por Hilbert y sus discípulos al pensa­miento axiomático y a las tesis formalistas han suavizado las oposiciones con las otras dos escuelas, de tal modo que hoy puede decirse que se com­pletan unas con otras, sino es que significan simplemente etapas de desarro­llo de una futura Teoría de la Matemática. De todos ¡nodos la vida inten­sa que actualmente tienen todos estos problemas de fundamentación la de­ben a Hilbert principalmente, sin disminuir con ello nada el rango de sus dos aparentes rivales Brouwer y Russell.Esta es a grandes rasgos la labor1 del genial matemático alemán ; quien quiera conocer con más detalle y profundidad su vida matemática deberá consultar los excelentes artículos de varios de sus más distinguidos discí­pulos, contenidos en los tres volúmenes al principio citados ; también podrá observar la gran cantidad de tesis doctorales que ha dirigido y la alta lidad de sus autores, muchos de ellos, ya en la actualidad, matemáticos de primera fila y dignos sucesores del Maestro.La manera mejor de honrar la memoria de Hilbert es estudiar sus obras, desarrollar sus ideas y si es  nuevas cons­trucciones que amplíen el bello y armonioso edificio de nuestra Ciencia, •conservando siempre, haciéndola más profunda, su sorprendente unidad.

David Hilbert

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