Rodríguez Bachiller, Tomás

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Docta Complutense

CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTIFICASPatronatoRevista MatemáticaHispano-AmericanaCUARTA SERIETOMO IMADRIDel Sabio»«Alfo usoPUBLICADA POR EL INSTITUTO «JORGE JUAN» DE MATEMATICAS Y LA REAL SOCIEDAD MATEMATICA ESPAÑOLA/í$5 DÉ cVx, /P! ' R.y\A atÍA-T L1-* 3VaVV<¡8 REVISTA MATEMATICA HISl'ANO-AMERICANAPORT. R. BachillerCOMENTARIOS SOBRE ALGEBRA Y TOPOLOGIANos proponemos en esta Sección de «Comentarios» el dar a conocer algunos de los conceptos, cuestiones y métodos funda­mentales cpie en la actualidad constituyen el Algebra y la Topo­logía, núcleos esenciales ambas de la Matemática. Con ocasión de algunos problemas, o de las lecturas de Memorias o libros, elegiremos cuestiones breves que puedan ir mostrando el carácter propio de aquellas disciplinas. Así, por ejemplo, en esta primera nota nos proponemos generalizar un teorema sobre el producto topológico de dos espacios, tratado en el § 43, pág. 156 de la preciosa obra «Lehrbuch der Topologie», de H. Seifert und W. Threlfall, generalización que no sabemos haya- sido pu- b'icada hasta ahora. El teorema citado tiene el enunciado si­guiente : El grupo fundamental del prodticto topológico de dos complejos 1\, y K2 es igual al producto directo de los grupos fundamentales de ambos factores.1. Por lo pronto tomaremos de un modo más general dos espacios E, v E2 topológicos metrizables, separables, conexos v localmente contráctiles. Un espacio es un conjunto de objetos dotado de una estructura con el fin de poder definir sobre él operaciones continuas, lo cual exige el precisar qué se entiende en dicho conjunto por proximidad o qué quiere decir el que dos elementos del conjunto sean infinitamente próximos. La opera­ción que atribuye a todo subconjunto M propio o impropio del conjunto dado C, otro conjunto M compuesto de aquellos ele­mentos que hemos de considerar como infinitamente próximos a M, es la que lopologisa el conjunto C. lo convierte en un espa­cio topológico general. El conjunto M lo llamaremos acumula­ción o adherencia del conjunto M. La operación citada puede69REVISTA MATEMATICA H1SPANO-AMBR1CANAse!!' = 0 i 1 ■sí(2,(-(«. y = y. ri(ib!' (x.. ?/' - ofx.yObsérvese que estas condicioneses decir, por ejemplo, <v sólo si x = yson justamente las esenciales en la noción ordinaria de distancia, esto es, las que juegan real­mente en las demostraciones métricas. Pues bien, un espacio topológico, cuya topología se puede definir mediante una métri­ca, se llama metrisable, y todo espacio de esta clase se-puede con­siderar como un espacio de e/tíoni.px, llamando entorno-L’ (x) del elemento (ya podemos decir punto) x al conjunto de puntos y tales que pfx, y)<s, siendo e un número -real positico ; se dirá esferoide o entorno de radio del punto x. No todo espacio de entornos, sin embargo, se puede metrizar, y es un problema ma­gistralmente tratado por l’rysohn v Alexandroff. el de ver en qué condiciones’es ello posible.Es muv importante el considerar la familia de entornos de cada punto v el sistema de todos los entornos que definen un espacio E. Situémonos en el punto a que acabamos di- llegar : Se trata de un espacio E topológico v metrizable (sea /< la función distancia, general} ; cada cunto x posee por tanto una familia de entornos en correspondencia biunívoca l'<--> s con los números reales positivos, es decir, con-la potencia del continuo. Sin em­bargo. no bacfcn falta tantos entornos, basta con tomar una fa­milia numerable. es decir, por ejemplo, r = 1 (>t entero) o s = nú- nmero racional. Esto nos conduce a precisar el concepto de equi­valencia de dos familias de entornos : Sean ‘11 (x) y 15 (x) dos familias: se dirán equivalentes si dado un entorno lT de la pri­mera existe uno en la segunda V contenido en o sea \ c U, ydefinirse de muchas maneras, pero dos de las. más importantes son : a) la que utiliza el concepto de entorno de un elemento y b) la que usa la noción de distancia. Cuando la topología de un espacio E se define con ayuda de esta última noción se dice que se trata de un espacio métrico. La distancia es una función real definida para todo par x. y de elementos del espacio E que suele designar con p(x, y) y que cumple las condiciones :70 REVISTA MATEMATICA HISPANO. AMERICANA2. Sigamos restringiendo nuestro espacio. Las exigencias nuevas serán va de otro carácter que las anteriormente utilizadas. Así en primer término la propiedad de conexión. Diremos que el espacio E es conexo si para toda descomposición de E en suma de dos subconjuntos A y II, es decir E = A + B, se verifica que A.B + B. A4=0 (M . N designa la intersección o parte común de VI v N), esto es, o A o B, contienen al menos un punto adherentesi dado un entorno V' de la segunda existe otro en la primera U' tal que C'cV'. Es fácil ver que si un mismo conjunto C se ha convertido en espacio topológico E, definiendo las familias de entornos para cada punto, utilizando las familias TI (x), y en espacio E„ usando las <1 (x), que cumplen la condición acabada de expresar, de equivalencia, ambas topologías son idénticas, es decir, conducen a la misma noción de proximidad ; los dos espa­cios E1 y E2 pueden considerarse, pues, corno uno sólo E. No es complicado el extender esta equivalencia a conjuntos C diferen- ■ tes. Todo el que esté algo familiarizado con los elementos de la teoría de funciones recordará cuestiones concretas que le ayuda­rán a comprender claramente estos conceptos.Para los espacios que estamos tratando, topológicos metriza- bles, .efectivamente sucede eso: la familia C E (x) se puede susti­tuir por otra numerable, que no altere la topología de ese espacio. Tales espacios se llaman localmente separables o de carácter nu­merable ¡ocalmente, o que satisfacen al axioma I de numerabili- dad de Hausdorff. La clase de espacios así obtenida es todavía demasiado amplia : exijamos que el sistema total de entornos sea numerable, y obtendremos los espacios topológicos metrizables separables o con base numerable o que satisfacen al axioma II de numerabilidad de Hausdorff.De esta forma vamos acercándonos cada vez más a la clase de espacios para los que vale el teorema objeto de la pre.sente nota ; por no extender, desmesuradamente esta nota no detallaremos ciertas nociones fundamentales, por no ser inmediatamente nece­sario ; ya tendremos ocasiones de hacerlo en sucesivos comenta­rios. Para nuestro propósito basta con las generalidades indica­das. El lector cuya curiosidad haya sido excitada recurra a las obras de Alexandroff-Hopf, Kuratowski, Menger, Lefschetz, Kérekjartó. Newmann, Veblen, etc.71REVISTA MATEMATICA HISPANO.AMER1CANA? <x, .'/>= Kpt (®i !!,'■ + Ps (x2 Wj)2-4.a B o A. respectivamente; punto adherente, es decir, pertene­ciente a la adherencia. Finalmente exigimos que el espacio sea ¡ocalmente contráctil (noción debida al joven y eminente topó- logo polaco Borsuk), lo cual quiere decir lo siguiente : .Para todo punto „v v para todo l (x), existe un entorno V(x)cU(.r) y que se puede contraer sobre el punto .v. El conjunto A se dice homo- topo al punto :v o que se puede contraer sobre este punto, si existe una deformación continua, esto es, una función f{l\, t), definida en todo punto de A y para todo valor de t, parámetro real (0</<l), tal que /(A, 0)= A y /(A, 1) = %. (Consideramos el con­cepto de función en su forma general, correspondencia entre pun­tos de \ y de /(A) = imagen de A).Veamos ahora lo que es el grupo fundamental, genial noción debida a Poincaré. Consideremos todas las curvas cerra­das orientadas posibles contenidas en E y que parten de un pun­to O v vuelven a él : conviniendo en mirar como equivalentes dos tales curvas, si son homotopas entre si (es decir, reducidles la una a la otra mediante una deformación continua ; véase lo dicho3. Pasemos a otra noción que interviene en nuestro enun­ciado : producto tipológico de dos espacios E¡ y E„, que se de­nota E; x E2. Un punto x, de E, y otro ec2 de E,, forman un par ordenado (%,, .v„), que considerado como nuevo elemento, llama­remos punto de un espacio E ; un entorno de x = (x1, x„) es el conjunto de pares de puntos -V,, x „ respectivamente pertene­cientes a entornos U, y U„ de nc, y x„. El conjunto E queda así dotado de una topología. Análogamente se le puede dotar de una métrica ; sean p, y p., las funciones distancia de Et y E, ; distancia entre x = (xl, x2) e y=(y1, y„) sería, por ejemplo,Por ejemplo es fácil ver cómo el espacio euclídeo E3 de tres dimensiones es el producto topológico de la recta E1 y del plano E2 ; el anillo sólido circular, lo es de una circunferencia y un disco circular, etc.No es difícil demostrar que si E, y E2 son conexos y local­mente contráctiles, también lo es el producto topológico E = E, x E, : sirva de ejercicio este enunciado.REVISTA MATEMATICA HISPANO-AMERICANA5.-comoPues bien', se puede generalizar el grupo fundamental lo ha hecho Hurewicz en su nueva teoría de la homo- topia, considerando el' espacio cuyos elementos son las trans­formaciones continuas de esferas «-dimensionales en el espa­cio dado. Sean X e’V dos espacios topológicos metrizables separables : X además compacto y de dimensión finita, 't conexo v localmenté contráctil. I n espacio separable se dice compacto, si admite base finita, es miento se puede deducir otro compites!antes), dichas curvas o caminos (como diremos brevemente) que­dan distribuidas en clases, clases de caminos, de modo que los caminos de una clase son deformables entre sí y no lo son cami­nos pertenecientes a clases diferentes. Tales clases son elemen­tos de un gr»/m. del grupo fundamental de E, si la operasión de , composición es la siguiente : Producto de dos clases de caminos ¡ "'i .' i ,r” («’ designa un representante de la clase >r ) es laclase «y ■ en que está el camino te, «•„, producto de ir, y ><■„. es decir, el camino descrito recorriendo sucesivamente te, v te... I .a definición es independiente de los representantes elegidos para cada clase, y es fácil comprobar que se cumple la lev asociativa, la existencia del elemento uno (clase de caminos homotopos a O o deformables sobre O. punto inicial) v la del ele'mento recíproco o inverso (camino recorrido en sentido opuesto), es decir, que se verifican los axiomas grupales. Téngase, sin embargo, en cuenta, que no sienr re se cumple la lev conmutativa, es decir el grupo fundamental en general no es abeliano. Además este grupo, con­siderado como grupo abstracto, es independiente de O, por tanto es un grupo perfectamente definido partí cada espacio E. Quien desee estudiar más profundamente la naturaleza de este grupo, consulte el capítulo VII de la obra antes citada de Seifert- Threlfall.decir, de todo recubri- > de un número finito de conjuntos que cubren totalmente el espacio. Sean l'í.v) y í(x) .-/• C X) dos transformaciones continuas de X en es decir l-'l.v c y , f'vtc Y : si llamamos distancia entde I' y f, es decir, /■(í. I*') al máximo de las distancias entre los puntos F(x) y f(x), para todo v cX, se dota al conjunto de dichas transformaciones de una métrica y. por tanto, de una topología, y siendo X com­pacto. la topología obtenida es independiente de la métrica mili-7:!KH\ ISTA M ^TEMATICA IIISI'ANO-AMBRICANA(!,>( i <¡t(i = ( ¡ t 4- ( i j .. - t;„.G 117,El teorema que queremos demostrar se enuncia entoncesia(!*p • • • (!cuando cada elemento de G se puede representar unívocamente como producto (o suma)de elementos de cada G„ siendo cada elemento Gv permutable con cada Gu. para6. así :Sean E, v 1-2 tíos espacios ¡apológicos melrisables separables, conexos v localmenle contráctiles, sea E = E,xE2 el producto to-o bienzada. Las esferas de cualquier dimensión son espacios X y sus imágenes continuas en un E=Y dado serán lo análogo a los caminos (dimensión tino). El espacio así definido se designa por Y*.Por tanto, tomemos cojno X Iti esfera S„ . (»=l, 2, ...) (n—I)—dimensional ; en S,,., y en E elijamos dos puntos v0, .v0. respectivamente, v consideremos el subconjunto X de Es„ > com­puesto de las transformaciones F tales que F(y0) = x0 ; este con­junto es también (ocalmente contráctil, como es fácil demostrar, y, además, el grupo fundamental de' X es independiente de la componente de Es„ i (en nuestro caso una sola) que se elija y también de y„, x,, ; es decir, se obtiene un grupo sólo dependiente de E y de n. Tal grupo se llama el u-ésimo grupo de homotopia de E y se designa por -„(E). El grupo -,(E) no es otro que el grupo fundamental, como es facilísimo comprobar.í,o curioso es que al contrario de éste, todos los ~n(E) para »>2 son ábelianos. Por ello la operación de composición la simbolizaremos con el signo de la adición +.Finalmente un grupo G se dice que es producto directo (o suma directa, si es abeliano y se utiliza el símbolo + para de­signar la operación de composición del grupo) de sus subgfupos G,, G„  G„ y se denota0 G (Q •- G._,i + ... .+ G,„ •74 REVISTA MATEMATICA HISI’ANO-AMERICAKAse puede represen-P = P, X P2: P c E„ (í = 1.2)lh (Xj) = y,, Ü2 ) — y.,.-n{E) : naturalmente una transformaciónE2Sea P el punto de S'„ cuya imagen en E es P para una trans­formación g de S„ en E y perteneciente a ■?(yo) — xo- La correspondencia P—>-P, es unívoca y continua g, de S„ en E,.Sea ya=y¡xy2 y c E, : se tendrápológiao de E, y E2. Entonces el n-ésimo grují o de homotopia t„( E) e.v la suma directa de rn(E,) y -„(E2), es decir,En efecto: Un punto P de E = E,x tar así :..n (Ib) — ~n (Bj,l ~h ~n * lb2 ' •Es decir, de la transformación g hemos deducido otras dos Si y §2- (lue operan sobre E, y E2, respectivamente. Recíproca­mente, dos transformaciones de esta clase definen una transfor­mación unívoca y continua g de S„ en E. Ahora bien, si g es ho- motopa a cero, también lo son g, y g2, por la misma definición del grupo de homotopia : es decir, si g y / pertenecen a clases di­ferentes, g, y por una parte, y g„ y /a, por otra, pertenecerán también a clases diferentes. Por consiguiente, si f cr„(E) y gctr„(E) definen por adición i +g, f1+gi y f2 + g2 pertenecen a -n(E,) y a -r„(E„), respectivamente. Esto es, cada elemento de -„(E) es suma de un elemento de y de un elemento de-n(E„), o lo que es equivalente, el grupo -„(E) es suma directa de los grupos -«(Ej) y ¿„(E2).

Comentarios sobre álgebra y topología

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