Distribution de valeurs de la fonction zeta de Riemann

Abstract

The study of the value distribution of the Riemann zeta function DOLLARzeta(s)DOLLAR can date back to the early twentieth century when Bohr showed that for any DOLLARzinC^*DOLLAR and DOLLARvarepsilon>0DOLLAR,there are infinitely many DOLLARsDOLLAR's with DOLLAR1frac{1}{2}DOLLAR. Till now, quite a few of theory has been developed. On the critical line, Selberg's Central Limit Theorem states that the logarithm of the Riemannzeta function DOLLARlog|zeta(frac12+i t)|DOLLAR behaves like a complexGaussian random variable of mean 0 and variance DOLLARfrac12log_2TDOLLAR as DOLLARTtoinftyDOLLAR, where DOLLARtDOLLAR varies in DOLLAR[T,2T]DOLLAR. On the 1-line, Granville and Soundararajan established the distribution of DOLLAR|zeta(1+i t)|DOLLAR, which is asymptotically a double-exponent function. In the critical strip DOLLARfrac120DOLLAR there exists arbitrarily large DOLLARtDOLLAR such that DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|ge(log t)^{1-sigma-varepsilon}DOLLAR. In 1977, Montgomery {Mon77} showed that DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|DOLLAR can be larger than DOLLARc(sigma)(log t)^{1-sigma}/(log_2t)^sigmaDOLLAR for some constant DOLLARc(sigma)DOLLAR. He also conjected that this is the maximum of the order of DOLLARlog|zeta(sigma+i t)|DOLLAR up to DOLLARc(sigma)DOLLAR. So all the later improments for this problem focus on getting larger values of DOLLARc(sigma)DOLLAR. In 2011, Lamzouri {La2011} gave a conjectural value of DOLLARc(sigma)DOLLAR. In 2018, Bondarenko and Seip {BS18} considered the cases of DOLLARsigmasearrowfrac12DOLLAR and DOLLARsigmanearrow1DOLLAR. We also study the first case and get an improvement of the result of Bondarenko-Seip.L’étude de la distribution de la valeur de la fonction zêta de Riemann DOLzeta(s)DOL remonte au début du XXe siècle lorsque Bohr a montré que pour tout DOLzinC^*DOL et DOLvarepsilon>0DOL,il existe une infinité de DOLsDOL avec DOL1frac{1}{2}DOL. Jusqu’à présent, un certain nombre de théories ont été développées. Sur la ligne critique, le théorème de la limite centrale de Selberg indique que le logarithme de Riemannfonction zeta DOLlog|zeta(frac12+i t)|DOL se comporte comme un complexeVariable aléatoire gaussienne de moyenne 0 et variance DOLfrac12log_2TDOL comme DOLTtoinftyDOL, où DOLtDOL varie en DOL[T,2T]DOL. Sur la ligne 1, Granville et Soundararajan ont établi la distribution de DOL|zeta(1+i t)|DOL, qui est asymptotiquement une fonction à double exposant. Dans la bande critique DOLfrac120DOL, il existe arbitrairement grand DOLtDOL tel que DOLlog|zeta(sigma+i t)|ge(log t)^{1-sigma-varepsilon}DOL. En 1977, Montgomery cite{Mon77} a montré que DOLlog|zeta(sigma+i t)|DOL peut être supérieur à DOLc(sigma)(log t)^{1-sigma}/(log_2t)^sigmaDOL pour une constante DOLc(sigma)DOL. Il a également conclu qu ’il s’agit du maximum de l’ordre de DOLlog|zeta(sigma+i t)|DOL jusqu’à DOLc(sigma)DOL. Ainsi, tous les derniers éléments de ce problème se concentrent sur l’obtention de valeurs plus grandes de DOLc(sigma)DOL. En 2011, Lamzouri cite{La2011} a donné une valeur conjecturale de DOLc(sigma)DOL. En 2018, Bondarenko et Seip ont examiné les cas de DOLsigmasearrowfrac12DOL et DOLsigmanearrow1DOL. Nous étudions également le premier cas et obtenons une amélioration du résultat de Bondarenko-Seip