Quelques problèmes de mécanique statistique pour les gaz de Coulomb et de Riesz

Abstract

This thesis is devoted to the analysis of different problems concerning the statistical mechanics of a family of interacting particles systems, named Coulomb and Riesz gases. We begin by studying the mixing time of the Dyson Brownian motion with quadratic confinement, whose invariant measure is the Hermite beta-ensemble. We establish a cutoff phenomenon for the mixing time in a variety of distances and divergences, when the number of particles tend to infinity. We then consider the fluctuations and correlations of the circular Riesz gas in the long-range regime. First, we quantify the fluctuations of gaps and give a central limit theorem for linear statistics allowing very singular test-functions. Second, one shows an optimal estimate on the decay of gaps correlations, allowing one to prove the uniqueness of the infinite volume measure.The rest of the manuscript is devoted to the study of the two-dimensional two-component plasma in a law temperature regime where the partition function diverges. After proposing an efficient way to renormalize the model, we derive an asymptotic expression for the partition function as the truncation parameter tends to zero, some estimates on the number and size of neutral dipoles and an energetic control on the fluctuations.Cette thèse se propose d'étudier divers problèmes de mécanique statistique pour une famille de systèmes de particules en interaction, appelés gaz de Coulomb et de Riesz. Nous commençons par examiner le temps de mélange du mouvement Brownien de Dyson avec confinement quadratique, dont la mesure invariante est donnée par le beta-ensemble d'Hermite. Nous établissons un résultat de cutoff pour le temps de mélange du système dans une variété de distances et de divergences, lorsque le nombre de particules tend vers l'infini. Nous considérons ensuite les fluctuations et corrélations du gaz de Riesz circulaire dans le régime longue portée. Tout d'abord, nous quantifions les fluctuations des espacements entre particules et énonçons un théorème central limite pour les statistiques linéaires valables pour des fonctions-tests possiblement très singulières. Puis nous montrons une estimée optimale sur la décroissance de la corrélation des gaps, qui nous permet de montrer l'unicité du processus limite en volume infini. La suite de ce manuscrit est consacrée à l'étude du gaz de Coulomb bi-dimensionnel à deux composantes dans un régime de basse température où la fonction de partition diverge. Après avoir proposé une renormalisation efficace du modèle, nous donnons un développement asymptotique de la fonction de partition lorsque le paramètre de troncature tend vers zéro, des estimées sur le nombre et la taille de dipôles neutres ainsi qu'un contrôle énergétique sur les fluctuations