Une étude en fatigue oligo-cyclique de matériaux élastomères chargés soumis à une traction simple en grande déformation, à déformation maximale imposée constante, a mis en évidence une chute de la contrainte non négligeable dès les premiers cycles de chargement. Ces essais font clairement apparaître la dépendance de cet adoucissement de la contrainte vis à vis d'une part de l'intensité maximale des déformations vues par le matériau et d'autre part, du nombre de cycles de chargement–déchargement considérés. Un modèle permettant de prendre en compte ces paramètres est proposé et un ensemble de validations sera présenté

Gérard Mesmacque

Laëtitia Gentot

Mathias Brieu

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

ermation, àiers cycles’une part dehargementera présenté.adings,hese testss to whichvalidationsspeciallytening.frC. R. Mecanique 332 (2004) 85–90Loi d’évolution de l’endommagement pour la prise en comptde l’adoucissement dans les milieux élastomères chargésMathias Brieu, Laëtitia Gentot, Gérard MesmacqueLaboratoire de mécanique de Lille, UMR 8107, Université des sciences et technologies de Lille, Le Receuil, 2, rue de la Recherche,BP 179, 59653 Villeneuve d’Ascq cedex, FranceReçu le 4 septembre 2003 ; accepté après révision le 5 novembre 2003Présenté par Évariste Sanchez-PalenciaRésuméUne étude en fatigue oligo-cyclique de matériaux élastomères chargés soumis à une traction simple en grande défodéformation maximale imposée constante, a mis en évidence une chute de la contrainte non négligeable dès les premde chargement. Ces essais font clairement apparaître la dépendance de cet adoucissement de la contrainte vis à vis dl’intensité maximale des déformations vues par le matériau et d’autre part, du nombre de cycles de chargement–décconsidérés. Un modèle permettant de prendre en compte ces paramètres est proposé et un ensemble de validations sPour citer cet article : M. Brieu et al., C. R. Mecanique 332 (2004). 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractDamage evolution law for the study of stress-softening in reinforced rubber-like materials. An experimental study onoligo-cyclic fatigue of rubber-like materials submitted to tension test in large deformation, to constant amplitude of lobrings to the fore that the stress during the loading, at a given cycle, is always smaller than during the previous cycle. Thighlight that this phenomenom, called stress-softening, depends on the maximal stretch and on the number of cyclethe materials has been submitted. A model, taking into account these two parameters is proposed and experimentalare proposed.To cite this article: M. Brieu et al., C. R. Mecanique 332 (2004). 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés : Fatigue ; Matériaux élastomères ; Grande déformation ; AdoucissementKeywords: Fatigue; Rubber-like materials; Large deformation; Stress-softeningAbridged English versionBecause of the wide spread use of reinforced elastomers, the assessment of their life-time is essential,in fatigue. The more current phenomenom of fatigue in rubber-like materials, filled or unfilled, is stress-sofAdresses e-mail : mathias.brieu@univ-lille1.fr (M. Brieu), laetitia.gentot@univ-lille1.fr (L. Gentot), gerard.mesmacque@univ-lille1.(G. Mesmacque).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crme.2003.11.00286 M. Brieu et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 85–90s smallerd modelal rubberlealsmitted to,ofteningdel ofndamagedr,ergyvior of]).d abovethe firstcite thehich isount all,at aor load-obtainednomènesarge, à unents, pourendance deutre partmodèlesce qui est, ceux-ci necissement,qualité detuellementWhen a specimen is subjected to load-unload-reload cycles, the stress notice at a given stretch is alwayduring the loading path, at a given cycle, than in the previous loading path. In order to characterize ansuch phenomenom, experimental tests on normalized test tubes (cf. [1]) have been carried out on naturwithout reinforcement (NR) or rubber reinforced (NR+Si60, NR+Si100, NR+Si150) by particles of Silica whichdiffer by the specific area of reinforcements (60, 100, or 150 m2/g) but with the same volume fraction of particu(50 phr). Fig. 1 shows stress-softening for NR+Si60 during a cyclic loading. Fig. 2 highlights, for the matericonsidered, that stress-softening is depending on the maximal of deformation the materials has been subbut also on the number of load-reload-unload cycles we consider. This figure also highlights that stress-sfor filled rubber-like materials can not be ignored after few cycles (cf. [2,3]). In order to introduce a mostress-softening, we assume that the materials considered are incompressible. The behavior of such umaterials is given by the definition of strain energy density,W0, linking the first Piola–Kirchoff stress tenso, to the deformation gradient tensor,F (cf. [4–7]). The selected technique used to identify the strain endensity is proposed by Lambert-Diani et al. (cf. [7]). In order to introduce damage evolution, the behadamaged materials is given by Eq. (1), wherep is a Lagrange multiplier andD the damage parameter (cf. [8To the authors’ knowledge there is no stress-softening model taking into account the two parameters cite(Fig. 2, Section 2). However, we may cite authors who consider that stress-softening occurs only duringtwo cycles (cf. [10,3,12]) and that stress-softening depends only on maximal deformations. We also maymodel, defined in a predictive way in the case of compressible rubber-like materials, of Shen et al. [13] wtaking into account only the number of cycle the materials has been submitted to. In order to take into accthe parameters highlighted on Fig. 2, we finally introduce Eq. (2) wherea is a parameter andb a function ofN ,a model of stress-softening. Because of the definition of the functionb, Eq. (3) wherec1 is a parameter to identifythe constanta has to be equal to 1. Finally in order to validate our model, we identify it on a cyclic loadinggiven maximal deformation and used the parameter identified in order to predict the behavior of rubbers funload-reload cycles at a given maximum of deformation (Fig. 3) or stress (Fig. 4). Once again the resultsby our model are in very good agreement with the experimental data.1. IntroductionDes essais cycliques de traction simple, à déformation maximale imposée, ont mis en évidence des phéd’adoucissement de la contrainte. Ceux-ci se traduisent par le fait que la contrainte mesurée lors de la chcycle donné et à une déformation donnée, est toujours inférieure à celle mesurée lors des cycles précédde même niveau de déformation. La mise en œuvre de ces essais a permis de mettre en évidence la dépce phénomène vis à vis d’une part de l’intensité des déformations maximales vues par le matériau et d’adu nombre de cycles de chargement considérés.Afin de décrire ces phénomènes des modèles ont été introduits dans la littérature. Ceux-ci sont soit desphysiques basés sur une description microscopique physique et mécanique de l’endommagement, soit,notre cas, phénoménologiques basés sur des considérations mécaniques macroscopiques. Cependantpermettent pas de prendre en compte l’ensemble des paramètres mis en cause dans l’évolution de l’adounous proposons donc un modèle mieux adapté aux problèmes rencontrés et mettrons en évidence lacelui-ci.2. Protocole expérimentalLes matériaux considérés dans cette étude sont des nuances de caoutchouc naturel (appelé NR) évenrenforcées par des particules de silice qui diffèrent par leur surface spécifique (60 m2/g (NR+Si60), 100 m2/gM. Brieu et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 85–90 87n-cles.tionue deuniaxiale,cement,systèmemple pourter unefonctionrgementégligableconstatéeslesus nouschute dede chutee peut êtree part dergementFig. 1. Évolution de la contrainte maximale au cours du charge-ment cyclique pour la nuance NR+Si60.Fig. 1. Maximal stress evolution during the cyclic loading for theNR+Si60 material.Fig. 2. Évolution de la contrainte maximale en fonction de l’intesité des déformations maximales imposées et du nombre de cyFig. 2. Maximal stress evolution versus to the maximal deformaimposed and the considered number of loading cycles.(NR+Si100), ou encore 150 m2/g (NR+Si150)) mais qui conservent néanmoins une même fraction volumiqrenfort (50 phr).Des éprouvettes normalisées de type 2 (cf. [1]) ont été soumises à des essais cycliques de tractionà déformation maximale imposée, sur une machine conventionnelle (INSTRON 4302) pilotée en déplaéquipée d’une cellule de charge de faible capacité (1 kN), compatible avec les efforts mis en jeu, et d’unde serrage à excentriques permettant de palier l’incompressibilité de ces matériaux élastomères.Les essais et le système d’acquisition mis en œuvre permettent ainsi de représenter, comme par exela nuance NR+Si60 (Fig. 1), l’évolution de la contrainte au cours du chargement cyclique. On peut constachute importante de la contrainte dès les premiers cycles de charge.La Fig. 2 représente, pour l’ensemble des nuances considérées, l’évolution de la contrainte maximale end’une part de la déformation maximale vue par le matériau et d’autre part du nombre de cycles de chaconsidérés.Dans un premier temps on peut constater, sur cette figure, que la chute de contrainte est quasiment ndans le cas du caoutchouc naturel non chargé (NR) et est en tout cas très nettement inférieure aux chutespour les caoutchoucs naturels chargés (NR+Si60, NR+Si100, NR+Si150). Cette constatation corroborerésultats présentés par Bouasse et Carrière [2] ou encore Müllins et Tobin [3]. Ainsi, par la suite nointéresserons uniquement à l’adoucissement des élastomères chargés.Par la suite, on peut constater, pour les nuances chargées (NR+Si60, NR+Si100, NR+Si150) que lesphénomènes d’adoucissement sont très importants au cours des 50 premiers cycles (de 17 à 40 % decontrainte entre le 1er et le 50ième cycle) mais continuent à évoluer au delà du 50ième cycle (de 5 à 15 %de contrainte entre les cycles 50 et 200). Le phénomène d’adoucissement est donc un phénomène qui nnégligé au delà de quelques cycles.Enfin, la Fig. 2 nous permet de mettre en évidence la dépendance de l’adoucissement vis à vis d’unl’intensité des déformations maximales vues par le matériau et d’autre part du nombre de cycles de chaconsidérés avant mesure de la contrainte, c’est à dire l’historique du chargement.88 M. Brieu et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 85–90conditionsrsnir, pourprésententement, teltste letervientt fonctiongement.ementnd, qu’ilt et ende modèlecissementnstant aun comptedans unexemples3. Modélisation du comportement endommageable des élastomères3.1. Loi de comportement de milieux élastomères endommageablesLe comportement des élastomères considérés est assumé comme étant incompressible. Dans cesle comportement de ces milieux se caractérise par la définition d’une densité d’énergieW0 qui permet de reliele premier tenseur de Piola–Kirchoff,, au tenseur gradient de déformation,F (cf. [4–7]). Parmi les différentetechniques d’identification de la densité d’énergie disponible dans la littérature, nous avons choisi de retedéterminer la densité d’énergie des matériaux sains, celle proposée par Lambert-Diani et Rey [7] quil’avantage de ne pas imposer, a priori, l’expression de la densité d’énergieW0. Celle-ci sera systématiquemeidentifiée au cours de cette étude sur le premier cycle de charge. Par la suite, les problèmes d’endommagque l’adoucissement, sont alors pris en compte de la manière suivante (cf. [8]) : = (1− D)∂W0(I1, I2)∂F− pF−t (1)oùD est la variable d’endommagement liée aux phénomènes d’adoucissement, I1 et I2 les deux premiers invariandu tenseur des dilatationsC (C = FFt ) et p un multiplicateur de Lagrange permettant de prendre en compcaractère incompressible des milieux considérés.3.2. Loi d’évolution de l’adoucissementComme nous l’avons vu, Section 2 (Figs. 1 et 2), l’adoucissement est un phénomène durable qui inbien au delà des premiers cycles de chargement. En outre nous avons montré que l’adoucissement esd’une part de l’intensité des déformations vues par le matériau, et, d’autre part, de l’historique du charA ce titre, Miehe [9] définit le phénomène d’adoucissement, et donc la variable d’endommagementD introduiteen (1), comme faisant intervenir deux mécanismes différents. Le premier, qu’il qualifie d’endommagcontinu, qui ne dépend que de l’intensité des déformations maximales vues par le matériau. Le secoqualifie d’endommagement discontinu, qui lui dépend de l’ensemble de l’historique de chargemenparticulier du nombre de cycles considérés. Cependant, à la connaissance des auteurs, il n’existe pasd’endommagement susceptible de prendre ces deux paramètres en compte.Parmi les modèles d’adoucissement existants, plusieurs modèles considèrent le phénomène d’adoucomme n’ayant lieu qu’entre les premier et deuxième cycles et supposent le comportement comme cocours des cycles suivants (cf. [10–12]). Très peu de modèle d’adoucissement permettent de prendre el’historique du chargement. On peut cependant citer Shen et al. [13]. Ce modèle bien que développécontexte de milieux compressibles est facilement adaptable au cas des milieux incompressibles.Nous avons donc cherché à développer un modèle d’évolution de l’endommagementD, introduit en (1),susceptible de prendre en compte les deux paramètres précédemments cités :D ={0 siN = 11− a e−b(N)m ∀N  2 (2)où a est une constante,b une fonction croissante à définir etm la magnitude du tenseur des dilatationsC(m = √tr(C2).Étant donnée la difficulté de mise en œuvre d’essai multi-axiaux en grandes déformations, comme parun essai de traction equi biaxiale, la dépendance de la variable d’endommagement,D, vis à vis de l’intensité dedéformations suivants les différentes directions principales du tenseur gradient des déformations,F, n’a pu êtremise en évidence. Ainsi, dans les cas de sollicitations uniaxiales envisagées, cette dépendance deD vis à vis deFse fait par l’intermédiaire du maximum deF que nous introduisons sous la forme d’une norme,, deC.M. Brieu et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 85–90 89iersecetteestle lecteuriersrévus parcontrainte0 cycle deérience etinteatAprès analyse, nous avons constaté que la fonctionb, définie en (2), pouvait être identifiée sur les 10 premcycles de façon très satisfaisante par une fonction lagorithmique :b(N) = c1 ln(N) (3)où c1 est une constante à identifier.La conditionD = 0 pourN = 1, introduite en (2), implique alors que la constantea, définie en (2), soit égalà 1.L’identification de ce paramètrec1 est réalisée sur les 10 premiers cycles de charge. Afin de réaliseridentification, nous traçons les courbes(N)/(1) (où (k) est la contrainte au cyclek), pourN = 2 à 10, enfonction de la magnitudem. Ces courbes sont alors interpolées par des fonctions exponentielles de la forme−bm.Enfin, les valeurs deb ainsi déterminées sont tracées en fonction du cycle considéréN et cette dernière courbe einterpolée par une fonction de la forme (3) permettant ainsi d’obtenir le paramètrec1.Pour une confrontation du modèle proposé avec les modèles extraits de la littérature, nous renvoyonsintéréssé à [14].3.3. Validation du modèle proposéAu cours de cette section, nous présentons des résultats de validation du modèle proposé.A cette fin, nous avons identifié le paramètrec1 définissant notre modèle, Éqs. (2) et (3), à partir des 10 premcycles de charge d’un essai à 200 % de déformation maximale imposée.Une fois ce paramètre identifié, nous avons comparé, pour différents cycles, Figs. 3 et 4 les résultats pnotre modèle aux résultats expérimentaux obtenus lors de chargements cycliques à déformations ou àmaximales imposées.La Fig. 3 représente les différences entre le modèle proposé et les résultats expérimentaux après 20chargements à déformations imposées. On constate sur la Fig. 3 une très bonne corrélation entre expmodélisation. En effet, les erreurs entre expérience et modélisation sont inférieures à 10 %.Fig. 3. Validation du modèle lors de chargement à déformationsimposées au cycle 200 nuance NR+Si150.Fig. 3. Validation of the proposed model during cyclic loading atmaximal stretches imposed for the cycle 200 with NR+Si150.Fig. 4. Validation du modèle lors d’un chargement à contraimposée pour différent cycles pour la nuance NR+Si60.Fig. 4. Validation of the proposed model during cyclic loadingmaximal stress imposed for different cycle with NR+Si60.90 M. Brieu et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 85–90différentse,posé auxême ordren comptematériauportementaximaleser sur la(1947)antages duds 14 (5)(1999)Mech. A00) 1931.491.s, Nancy,La Fig. 4, quant à elle, présente une confrontation entre le modèle et les résultats expérimentaux aprèscycles à chargement en contrainte imposée. Encore une fois les erreurs sont inférieures à 10 %.Enfin, des essais de traction répétée à déformation maximale imposée,λmax, et déformation minimale imposéλmin, non nulle ont été réalisés. Bien que non repésentée sur cette note, la confrontation du modèle prorésultats expérimentaux a permis de constater une bonne représentation de la réponse et des erreurs du mque dans les cas précédents.Il est à noter que de telles erreurs sont courantes en matière de modèle de comportement en fatigue.4. ConclusionNous proposons au cours de cette Note, un modèle d’adoucissement permettant de prendre el’ensemble des paramètres influants ce phénomène, intensité maximale des déformations vues par leet historique de chargement. Ce modèle permet également de prédire, de façon très satisfaisante, le comde milieux élastomères soumis à des chargements cycliques qu’ils soient à contrainte ou à déformation mimposées indépendamment de l’intensité des contraintes ou déformations minimales imposées.Notre travail s’oriente désormais vers la prise en compte des chargements multi-axiaux et en particulidépendance de la variable d’endommagement vis à vis de déformations multi-directionnelles.RemerciementsA François Devries, Chargé de Recherche C.N.R.S. décédé en Janvier 2001.Références[1] R.P. Brown, Physical Testing of Rubber, 3rd edition, Chapman & Hall, 1996.[2] H. Bouasse, Z. Carrière, Courbes de traction du caoutchouc vulcanisé, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 5 (1903) 257.[3] L. Müllins, N.R. Tobin, Theorical model for elastic behavior of filled-reinforcement vulcanizated rubbers, Rubber Chem. Tech. 30551.[4] R.S. Rivlin, Large elastic deformations of isotropic materials, Philos. Trans. Roy. Soc. A 240 (1948) 459.[5] M. Mooney, A theory of large elastic deformation, J. Appl. Phys. 17 (1966) 608.[6] L.J. Harth-Smith, Elasticity parameters for finite deformation of rubber-like materials, J. Appl. Math. Phys. 17 (1966) 608.[7] J. Lambert-Diani, C. Rey, Nouvelles lois de comportement phénoménologique pour les matériaux élastomères : principes et avmodèle, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. IIb 326 (1998) 483.[8] J. Lemaitre, L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, 2ième edition, Dunod, 1988.[9] C. Miehe, Discontinuous and continuous damage evolution in Ogden-type-large-strain elastic materials, Eur. J. Mech. A Soli(1995) 697.[10] R.W. Ogden, D.G. Roxburgh, A pseudo-elastic model for the Müllins effect in filled rubber, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 4552861.[11] A. DeSimone, J. Marigo, L. Teresi, A damage mechanics approach to stress-softening and its application to rubber, Eur. J.Solids 20 (2001) 873.[12] M.F. Beatty, S. Krishnaswamy, A theory of stress-softening in imcompressible isotropic materials, J. Mech. Phys. Solids 23 (20[13] Y. Shen, F. Golnaraghi, A. Plumtree, A theory of stress-softening in incompressible isotropic materials, Int. J. Fatigue 23 (2001)[14] L. Gentot, M. Brieu, G. Mesmacque, Adoucissement des milieux élastomères, Université d’été sur les matériaux polymèreApollor, à paraître.

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