Christian Lexcellent

Joël Abadie

Nicolas Chaillet

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

geseurs. Ici,ne chargeu « fictif »ngs pour lesl isire (NiTi)fictitious’longer for.frC. R. Mecanique 332 (2004) 147–152Étude des temps de chauffage et de refroidissement des alliaà mémoire de forme (AMF)Nicolas Chailleta, Christian Lexcellentb, Joël Abadieaa Laboratoire d’automatique de Besançon, UMR CNRS 6596, 25, rue Alain Savary, 25000 Besançon, Franceb Laboratoire de mécanique appliquée R. Chaléat, UMR CNRS 6604, 24, rue de l’Épitaphe, 25000 Besançon, FranceReçu le 29 septembre 2003 ; accepté après révision le 21 octobre 2003Présenté par Pierre SuquetRésuméLa connaissance du temps de réponse des matériaux actifs est primordiale pour leur utilisation en tant qu’actionnles temps de réponse au chauffage et au refroidissement d’un fil en alliage à mémoire de forme (en NiTi) soumis à uconstante sont étalonnés par l’intégration de l’équation de la chaleur « ad hoc ». La comparaison avec un matériaprésentant les mêmes caractéristiques mais sans transition de phase montre que les temps de réponse sont plus loAMF (environ 2,7 fois pour le chauffage et 1,5 fois pour le refroidissement).Pour citer cet article : N. Chaillet et al., C. R.Mecanique 332 (2004). 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractHeating and cooling time studies of shape memory alloys (SMA). The knowledge of response times of active materiaessential for their efficient use as actuators. In this paper the heating and cooling times of a shape memory alloy wunder a constant load are predicted by the integration of the corresponding heat equation. The comparison with a ‘material with the same material characteristics but without phase transformation shows that the response times arethe SMA (around 2.7 times for heating and 1.5 times for cooling).To cite this article: N. Chaillet et al., C. R. Mecanique 332(2004). 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés :Transferts thermiques ; AMF ; Transition de phase ; Équation de la chaleur ; Temps de réponse ; ActionneurKeywords:Heat transfer; SMA; Phase transformation; Heat equation; Response time; ActuatorAdresses e-mail :nicolas.chaillet@ens2m.fr (N. Chaillet), christian.lexcellent@univ-fcomte.fr (C. Lexcellent), joel.abadie@ens2m(J. Abadie).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crme.2003.10.010148 N. Chaillet et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 147–152his Notede. Fordg andre underutertiesr SMA:aux qui,risée) parge, qu’unsductionoire des solides,eprésentéesformationue dansndant àamètrephasesu. Enfin,ligeablee le longveloppés.ique [3],our notreentAbridged English versionThe knowledge of response times of active materials is essential for their efficient use as actuators. In tan analysis of the time response of a shape memory alloy thin wire (NiTi) under a constant load is mathis, a model with internal variables (volume fraction of self accommodating martensitezT and stress inducemartensitezσ ) in the framework of the thermodynamics of irreversible processes, is used [3]. Considerinintegrating the heat equation permits us to estimate the temperature time responses of the SMA wiJoule heating (with a constant density of electrical currentj ) and cooling under natural convection (withoelectrical current,j = 0). A comparison is made with a ‘fictitious’ material with the same characteristic propas the SMA wire (i.e., densityρ, heat capacityCv , convection coefficienth, resistivity ρe), but without phasetransformation. It shows that, whatever the situation, i.e., heating or cooling, the response time is higher fofor heating, the response time is around 2.7 times higher and for cooling it is 1.5 times higher.1. Introduction – position du problèmeParmi les matériaux actifs, les alliages à mémoire de forme (AMF) désignent une classe de matériaprès déformation permanente à basse température, retrouvent leur forme initiale non déformée (mémochauffage. C’est lors d’un retour de phase contrarié par des restrictions sur le déplacement, par chauffaAMF est capable de générer un travail mécanique, donc d’entraîner une charge. C’est cet effet de tranthermomécanique que l’on exploite lorsqu’on utilise un AMF en tant qu’actionneur. La propriété de mémforme est due à une transformation de phase dans le matériau. Cette transformation entre deux phaseappelée « transformation martensitique », a lieu entre une phase haute température, appelée austénite (rpar « A »), et une phase basse température, appelée martensite (représentée par « M »). Une telle tranpeut être induite par une simple variation de température et/ou par l’application d’une contrainte mécaniqune plage de température adéquate.Nous considérons ici un fil d’AMF utilisé comme actionneur qui déplace une charge constante, correspoune contrainte uniaxialeσ constante. Compte tenu des dimensions du fil utilisé, de section constante (diet longueur typiques respectifs de 150 µm et 10 cm) et compte tenu du fait que les résistivités desmartensitiques et austénitiques sont très voisines (respectivement 12,95 × 10−7 et 11,32 × 10−7 ·m), cetactionneur est considéré uniformément chauffé par effet Joule par passage d’un courant électrique continla géométrie des fils combinée aux conditions thermiques aux limites induisent un gradient thermique négdans le matériau : d’une part, un calcul analytique effectué dans [1] montre que la température est uniformdu fil ; d’autre part, des mesures de température effectuées en plusieurs points corroborent ce résultat.Le refroidissement se fait par convection naturelle.En ce qui concerne le comportement thermomécanique des AMF, de nombreux modèles ont été déNous utiliserons ici le modèle développé par Leclercq et Lexcellent à partir d’une approche thermodynampuis complété et éprouvé expérimentalement par Benzaoui et al. [1]. Les éléments de ce modèle utiles pétude sont :– l’équation de la chaleur, qui fait intervenir les effets de la transformation de phase :ρCvṪ + 4hd(T − Ta)− ρu(żσ + żT ) = ρej2, avecρe = ρa + (ρm − ρa)(zσ + zT ) (1)Notons que l’intégration du termeρu(żσ + żT ) permet d’obtenir le taux de chaleur latente de changemde phase ;N. Chaillet et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 147–152 149’oùtmodantelicationte auto-aisment departesinfluencepour leséré, maismatériau– les cinétiques de transformation de phase M↔ A (le matériau est initialement en phase martensitique, dz0T + z0σ = 1) :M → A :{zσ = z0σ e−bR(T−AσS )zT = z0T e−bR(T−AσS )et A→ M :{zσ = z0σ(1− ebF (T−MσS ))zT = z0T(1− ebF (T−MσS )) (2)Dans ces expressions, les notations désignent :– d : diamètre du fil d’AMF,– T : température de l’AMF, supposée uniforme (Ta représente la température du milieu environnant),– ρ, Cv , h : masse volumique, chaleur massique du matériau, et coefficient de convection,– z : fraction volumique de martensite dans le matériau, répartie enzσ et zT (z = zσ + zT ), respectivemenfractions volumiques de martensite orientée (induite par une contrainte mécanique) et auto-accom(induite par une action purement thermique),– z0σ , z0T : fractions volumiques de martensite orientée et auto-accommodante induites par l’appd’une contrainte externe initiale dans la phase martensitique (réorientation initiale de la martensiaccommodante),– AσS (resp.AσF ) : température de début (resp. fin) de transformation M→ A sous la contrainteσ ,– MσS (resp.MσF ) : température de début (resp. fin) de transformation A→ M sous la contrainteσ ,– ρa , ρm : résistivités électriques de A et de M (la résistivité du matériau valant alorsρe = zρm + (1− z)ρa),– j : densité de courant dans le matériau.Les autres paramètres, c’est à direu, bR et bF sont mesurables sur un AMF au moyen d’essthermomécaniques appropriés [1].L’équation (1) détermine le régime transitoire des AMF, que nous caractérisons par :– tMA : temps de transformation complète M→A (temps de chauffage permettant le passage dez = 1 àz = 0),– tAM : temps de transformation complète A→M (temps de refroidissement permettant le passage dez = 0 àz = 1).tMA et tAM correspondent aux temps nécessaires pour amener la température de l’AMF respectiveAσS à AσF (au chauffage) et deMσS à MσF (au refroidissement), c’est à dire qu’ils caractérisent le temps misl’actionneur AMF pour parcourir sa course complète. Ces tempstMA et tAM sont donc des données très importandans la mesure où ils conditionnent le comportement dynamique des AMF.Nous nous attacherons ici au calcul de ces temps caractéristiques et, afin de mettre en évidence l’de la transformation de phase sur le comportement thermique, à leur comparaison avec les temps mismêmes variations de température par un matériau passif, de mêmes caractéristiques que l’AMF considsans transformation de phase, comme c’est le cas pour un AMF non traité (non bétatisé). Dans le cas d’unsans transformation de phase, nous définissons :– tchauff : temps de chauffage pour passer deT =AσS àT =AσF ,– trefroid : temps de refroidissement pour passer deT =MσS àT =MσF .Nous calculerons alors les rapportstMA/tchauff et tAM/trefroid.150 N. Chaillet et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 147–152premier)e résouttlaoncetepar lesariationson2. Temps de chauffage et de refroidissement d’un matériau sans transformation de phaseEn l’absence de transformation de phase, l’Éq. (1) se ramène à l’équation différentielle classique duordre suivante :ρCvṪ + 4hd(T − Ta)= ρej2, oùρe est constant (3A j constant (mais bien entendu différent au chauffage et au refroidissement), cette équation, qui saisément, permet de calculer les deux temps caractéristiques :tchauff= ρdCv4hln(ρej2d/(4h)+ Ta −AσSρej2d/(4h)+ Ta −AσF)(4)trefroid = ρdCv4h ln(MσS − TaMσF − Ta)(5)La relation (4) n’a de sens que si la densité de courantj est suffisante pour amener la température àAσF . Or, larelation (3) permet de calculer la températureTf atteinte en régime permanent :Tf = Ta + ρej2d4h(6)Dans ces conditions,Tf  AσF si j √4h(AσF − Ta)/(ρed). Le choix dej tel queTf = AσF est inadéquadans le cadre de cette étude, car il conduit analytiquement àtchauff= ∞ (la relation (3) étant du premier ordre,température tend asymptotiquement versTf , donc met théoriquement un temps infini pour l’atteindre). Il faut dchoisirTf tel queTf > AσF et tchauff est alors calculé pourj constant obtenu à partir de (6) tel que :j >√4h(AσF − Ta)ρed(7)Pour la suite, on poseTf = kAσF aveck > 1. En ce qui concernetrefroid, la relation (5) l’exprime pour une vitessde refroidissement maximale, c’est à dire àj = 0.3. Temps de chauffage et de refroidissement d’un AMF3.1. Cas M→ AL’actionneur AMF est ici initialement en phase martensitique, c’est à dire àz0 = 1, soumis à une contrainconstanteσ . L’application de cette contrainte génère de la martensite orientée et l’état initial est caractériséfractions initiales de martensitez0T et z0σ telles que :z0 = z0T + z0σ = 1. En remplaçant dans (1)zT et zσ par leursexpressions (2), on obtient :ρ(Cv +ubR e−bR(T−AσS ))Ṫ + 4hd(T − Ta)=(ρa + (ρm − ρa)(zσ + zT ))j2 (8)En prenant les valeurs numériques des paramètres mesurées sur un AMF de type nickel-titane [2], les ven fonction de la température du terme(ρCv + ρu(z0σ bR e−bR(T−AσS ) + z0T bR e−bR(T−AσS ))) sont de l’ordre de150 %, tandis que celles du termeρa + (ρm − ρa)(zσ + zT ) sont de l’ordre de 12 %. Dans ces conditions,simplifie (8) :ρ(Cv +ubR e−bR(T−AσS ))Ṫ + 4hd(T − Ta)= ρej2 (9)N. Chaillet et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 147–152 151eteéfiniesée paret de laMF serase. Il est,ase.où ρe est la moyenne géométrique deρm et ρa : ρe = (ρm + ρa)/2. L’intégration de l’Éq. (9) conduit à unexpression analytique très complexe de la températureT en fonction du tempst . Pour calculer la constand’intégration, on prend en compte la condition initiale àz0 = 1, à savoir :T (0) = AσS . Puis, on calculetMA àpartir de la relation :T (tMA ) =AσF . L’expression detMA est :tMA = ρd4h[Cv lna1a2+ubR e−bRa1/(4h)(Ei(1,−bRa24h)− Ei(1,−bRa14h))], avec : (10)a1 = 4h(Ta −AσS) + ρej2d et a2 = 4h(Ta −AσF ) + ρej2d (11)La fonction Ei(n, x), où n est un entier positif, correspond à la fonction « exponentielle intégrale », dcomme suit :Ei(n, x)= ∫ ∞1 e−xt/tn dt . Dans un but de comparaison, pour amener la température de l’AMF àAσF ,on choisit ici la même densité de courantj que celle prise dans le calcul detchauff (inégalité (7)).3.2. Cas A→ MA l’issue de la transformation précédente, l’actionneur AMF est en phase austénitique (z = 0). Il est alorsrefroidi à j = 0 pour terminer en phase martensitique, c’est à dire pour revenir à la situation caractériles fractions initiales de martensitez0T et z0σ telles quez0T + z0σ = 1. En remplaçant dans (1)zT et zσ par leursexpressions (2), on obtient :ρ(Cv +ubF ebF (T−MσS ))Ṫ + 4hd(T − Ta) = 0 (12)On obtient alors l’expression analytique detAM par intégration de l’Éq. (12) :tAM = ρd4h[Cv lnMσS − TaMσF − Ta+ubF ebF (Ta−MσS )(Ei(1, bF(Ta −MσF)) − Ei(1, bF (Ta −MσS )))](13)4. Comparaison de tMA et tchauffA partir des relations (4) et (10) et avec une densité de courantj conforme à (6) et (7), c’est à dire :j =√4h(kAσF − Ta)ρed(14)le rapporttMA/tchauff s’exprime de la façon suivante :tMAtchauff= 1+ δ, avec : (15)δ = ubR ebR(AσS−kAσF )Cv ln((kAσF −AσS )/((k − 1)AσF ))[Ei(1, bR(1− k)AσF) − Ei(1, bR(AσS − kAσF ))] (16)δ est une constante positive.Le résultat (15) appelle les deux remarques majeures suivantes :– le rapporttMA/tchauff est une constante qui ne dépend que des paramètres intrinsèques du matériaucontrainteσ , qui fixe les valeurs deAσS etAσF ;– sa valeur est supérieure à 1, ce qui implique qu’à densité de courant identique, le chauffage d’un Asystématiquement plus lent que le chauffage d’un matériau équivalent sans transformation de phaà noter qu’un tel résultat était prévisible, dans la mesure où la transformation M→A est endothermiqueralentissant ainsi le chauffage de l’AMF par rapport au matériau équivalent sans transformation de ph152 N. Chaillet et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 147–152ment quece cass utilisés,ntue celuieet de laque lerévisible,t parntesgnifie quet d’unet queiquement,bord quetionneursue, Thèsey wirech. Phys.Par ailleurs, il est également intéressant de se placer dans la situation où l’AMF est chauffé aussi rapidepossible, c’est à dire la situation où l’on choisit une densité de courantj très grande, ce qui impliqueTf = kAσFtrès grand et donck très grand. A l’utilisation de l’actionneur, on cherchera en effet souvent à se placer danspour en diminuer le temps de réponse. On peut alors calculer la valeur suivante :limk→∞tMAtchauff= 1+ u(1− ebR(A0S−A0F ))Cv(A0F −A0S)(17)Dans ces conditions et en prenant les valeurs numériques correspondantes aux AMF que nous avonnous obtenons à partir de (17) :tMA/tchauff = 2,7. Ceci signifie que,dans le cas où l’on applique un courasuffisamment important, le chauffage par effet Joule de l’AMF considéré dure 2,7 fois plus longtemps qd’un matériau « traditionnel » de même géométrie, résistivité, coefficient de convection et chaleur massiqu.5. Comparaison de tAM et trefroidLe rapporttAM/trefroid s’exprime de la façon suivante :tAMtrefroid= 1+ ubF ebF (Ta−MσS )Cv ln((MσS − Ta)/(MσF − Ta))[Ei(1, bF(Ta −MσF)) − Ei(1, bF (Ta −MσS ))] (18)Ce résultat conduit aux deux mêmes remarques que précédemment :– le rapporttAM/trefroid est une constante qui ne dépend que des paramètres intrinsèques du matériaucontrainteσ , qui fixe les valeurs deMσS etMσF ;– sa valeur étant supérieure à 1, le refroidissement d’un AMF sera systématiquement plus lentrefroidissement d’un matériau équivalent sans transformation de phase. Un tel résultat était là encore pdans la mesure où la transformation A→ M est exothermique, ralentissant ainsi son refroidissemenrapport au matériau équivalent sans transformation de phase.En calculanttAM/trefroid pour différentes valeurs deσ , et en prenant les valeurs numériques correspondaaux AMF que nous avons utilisés, nous obtenons des valeurs très peu variables autour de 1,5, ce qui sile refroidissement par convection naturelle d’un AMF est environ 1,5 fois plus long que le refroidissemenmatériau « traditionnel » de même géométrie, résistivité, coefficient de convection et chaleur massique.6. ConclusionSi l’on pouvait s’attendre au fait que le cycle de chauffage/refroidissement d’un AMF soit plus lencelui d’un matériau sans transformation de phase, les rapports correspondants sont ici calculés analytpermettant de quantifier numériquement les effets dynamiques de la transition de phase. On s’aperçoit d’aceux-ci, loin d’être négligeables, ralentissent de façon substantielle le chauffage/refroidissement des acAMF et, par suite, leur vitesse de déplacement, et ce de manière indépendante des fuites thermiques.Références[1] H. Benzaoui, Modélisation thermomécanique et commande d’actionneurs en alliages à mémoire de forme pour la microrobotiqde l’université de Franche-Comté, 1998.[2] H. Benzaoui, C. Lexcellent, N. Chaillet, B. Lang, A. Bourjault, Experimental study and modeling of a TiNi shape memory alloactuator, J. Intelligent Material Systems and Structures 8 (7) (1997) 619–629.[3] S. Leclercq, C. Lexcellent, A general macroscopic description of the thermomechanical behavior of shape memory alloys, J. MeSolids 44 (6) (1996).

Étude des temps de chauffage et de refroidissement des alliages à mémoire de forme (AMF)

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