Thierry de Lorenzo

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

C. R. Mecanique 330 (2002) 181–184Convection naturelle transitoire le long d’une surfaceverticale soumise à une densité de flux périodiqueThierry de LorenzoLaboratoire de thermomécanique, UTAP, EA 2061, Faculté des sciences, BP 1039, 51687 Reims, FranceReçu le 11 juin 2001 ; accepté après révision le 17 janvier 2002Note présentée par René Moreau.Résumé Cette étude traite du comportement temporel du transfert de chaleur au sein de la couchelimite thermique se développant sur une surface verticale lorsqu’une densité de fluxpériodique est imposée. Une étude numérique permet de montrer que le transfert de chaleurest amélioré si le période de sur-chauffage est inférieure à celle de sous-refroidissementet si l’écoulement a atteint son nouveau régime établi.Pour citer cet article : T. deLorenzo, C. R. Mecanique 330 (2002) 181–184.  2002 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAStransferts thermiques / convection naturelle transitoire / couche limite thermique / fluxpériodique / méthode des différences finiesTransient free convection along a vertical surface subjected to aperiodical heat flux densityAbstract This paper presents an investigation on laminar transient free convection along a verticalsurface subjected to a periodical heat flux density. Numerical analysis show that heattransfer is improved when the over-heating period is inferior to the under-heating oneand if the flow has reached its new steady state.To cite this article: T. de Lorenzo, C. R.Mecanique 330 (2002) 181–184.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SASheat transfer / transient laminar free convection / thermal boundary layer / periodicalheat flux / finite-differences method1. IntroductionL’objectif de cette étude est d’améliorer les connaissances des phénomènes de convection naturelle sedéveloppant le long de tous composants électroniques de façon à parvenir à un auto-refroidissement desdits composants. Pour ce faire une analyse des phénomènes de transferts de chaleur au sein de la couchelimite thermique lorsqu’une surface verticale est soumise à une densité de flux périodique a été menée.Au cours de ces dernières années plusieurs études par analyse d’échelles ont été effectuées pourdéterminer le temps d’établissement de l’écoulement [1,2]. Plus récemment Vargas et Bejan [3] ont utilisél’analyse d’échelle pour démontrer que lorsqu’une paroi est soumise à une densité de fluxqp , puis estconsidérée comme adiabatique (qp = 0), le transfert de chaleur est optimum aux premiers instants si lespériodes de chauffage et adiabatique sont égales et faibles.Adresse e-mail : thierry.delorenzo@caramail.com (T. de Lorenzo). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-0721(02)01446-8/FLA 181T. de Lorenzo / C. R. Mecanique 330 (2002) 181–184Dans notre cas nous nous intéressons aux phénomènes intervenant lorsque l’écoulement, initialementstationnaire (àt+d ) est perturbé par une densité de flux périodique, avant d’atteindre son second étatd’équilibre (Fig. 1). Une étude paramétrique est alors effectuée pour déterminer l’influence des périodes,et du nombre de créneaux appliqués. Pour ce faire les équations de couches limites ont été adimensionnéespuis résolues par la méthode numérique de Keller-box. La capacité thermique de la paroi est supposéenégligeable.2. ÉquationLes équations de continuité, de quantité de mouvement et de l’énergie sont tout d’abord simplifiéesgrâce aux hypothèses de couches limites et de Boussinesq (voir par exemple [4]). La méthode explicitéepar Cebeci [4] est alors utilisée pour résoudre le système simplifié. Cette méthode implique tout d’abordd’adimensionner le système d’équations puis de résoudre le système adimensionné par la méthode deKeller-box détaillée au paragraphe 3.En ce qui concerne l’adimensionnement du système simplifié, Cebeci préconise pour alléger la résolutionnumérique d’utiliser la méthode différentielle. Or dans notre cas il n’existe pas de solution similaire.C’est pourquoi nous adimensionnons « directement » le système simplifié en supposant que les variablesadimensionnéesU+, V + et θ+ dépendent deX+, Y+ et t+ et ont pour définition :U+ = UU0(x)= U√gβT 0(x)x, Y+ = yx1/5[gβqpλν2]= yxGr∗1/5x , X+ =xL(1a)V + = V xνGr∗−1/5x , t+ =U0(x)xt = νtx2Gr∗2/5x etθ+ = T − T∞T 0(x)= T − T∞Tp(x) − T∞ =T − T∞(qpx/λ)Gr∗−1/5x(1b)oùU0(x) représente la vitesse de référence, etGr∗x = gβqpx4/(λν2) le nombre de Grashof modifié.En effectuant le changement de variables (1a) et (1b), le système simplifié devient :35U+ + X+ ∂U+∂X++ ∂V+∂X+= 0∂U+∂t++ 35(U+)2 + X+U+ ∂U+∂X++ V + ∂U+∂Y+= θ+ + ∂2U+∂Y+2∂θ+∂t+ +θ+U+5+ X+U+ ∂θ+∂Y+ + V+ ∂θ+∂Y+ =1Pr∂2θ+∂Y+2(2)Les conditions aux limites étant, quelque soitt+  0 :X+ = 0 : U+ = V + = q+ = 0Y+ = 0 : U+ = V + = 0 et q = qp(x, t)Y+ → ∞ U+ = 0 et θ+ = 13. Résolution numériqueLe système non linéaire (2) est résolu en utilisant la méthode numérique de Keller-box. Le système (2)est ainsi mis sous la forme d’un nouveau système de six équations du premier ordre dont les différentstermes sont discrétisés par différences finies [5]. Le système obtenu est alors linéarisé grâce à la méthodede Newton, écrit sous forme matricielle et enfin résolu par la méthode d’élimination par blocs.182Pour citer cet article : T. de Lorenzo, C. R. Mecanique 330 (2002) 181–184Le maillage est choisi irrégulier seulement dans la direction transversaleY+, de façon à détecter lesgradients élevés de température et de vitesse au voisinage de la paroi.Lorsque le critère de convergence, basé sur l’écart relatif entre deux itérations consécutives, est inférieureà 10−5, le processus d’itérations est terminé.4. RésultatsDans la présente étude les périodes adimensionnées de sur-chauffagePs et de sous-refroidissementPisont définies telles quePs = nPi , le fluide est de l’air à 20◦C (Pr = 0,7) et le nombre de Grashof modifié(défini au paragraphe 2) est égal à 1,01× 07 de façon à être sûr que l’écoulement est laminaire. Néanmoinsla présente étude reste valable tant que le régime de l’écoulement est laminaire (Gr∗ < 109) et que le fluideest un gaz (Pr ≈ 1).Lorsqu’un fluide initialement au repos est soudainement mis en mouvement grâce à une densité de fluximposée à la paroi, le transfert de chaleur est maximum aux premiers instants (lorsquet+ → 0 sur laFig. 2) et le mode de transfert est purement conductif. Le phénomène devient convectif et les coucheslimites apparaissent grâce à l’effet de bord ; le transfert de chaleur diminue alors. Et d’après Sammakia etal. [6] une fois l’écoulement établi une augmentation ou une diminution de la densité de flux surfaciquen’engendre pas de variation de la couche limite thermique. Ce phénomène peut s’étendre au cas d’unedensité de flux surfacique périodique comme le montre la Fig. 2, puisque l’épaisseur de la couche limitethermique adimensionnéeT [7] une fois établie (àt+ = t+d = 4,1 sur la Fig. 2), reste constante alors quele nombre de Nusselt donc le coefficient d’échange croît.Une étude paramétrique a ensuite été menée pour déterminer quel type de signal permet d’améliorer letransfert de chaleur.Pour cela la valeur du nombre de Nusselt a été évalué pour différents rapports de périodesn. La Fig. 3montre que le transfert de chaleur est optimum sin < 0,9 et si le nombre de cycles est grand. Ainsi dans lecas oùn = 0,1 le nombre de Nusselt croît de 25 % après 10 cycles c’est-à-dire une fois atteint son nouveaurégime établi.Mais pour un mêmen, plusieurs périodesPs et Pi peuvent être choisies. Et comme il est montré sur laFig. 4, pour un mêmen, plus la périodePi est grande, meilleur est le nombre de Nusselt moyen. Ce dernierFigure 1. Densité de flux périodique.Figure 1. Periodical heat flux density.Figure 2. Evolution temporelle de l’épaisseur de lacouche limite thermique adimensionnée et du nombrede Nusselt,Pi = 0,1, n = 0,3.Figure 2. Temporal evolution of the dimensionlessthermal boundary layer thickness and of the Nusseltnumber, Pi = 0.1, n = 0.3.183T. de Lorenzo / C. R. Mecanique 330 (2002) 181–184Figure 3. Variation du nombre de Nusselt aprèsdifférents nombres de cycles et pour différentsrapports de périodesn, Pi = 0,1.Figure 3. Nusselt number after different cyclenumbers vs period rate n, Pi = 0.1.Figure 4. Transfert de chaleur moyen pourdifférentes périodesPi et différentsn, X = 0,1.Figure 4. Average heat transfer for differentperiod rate vs inferior period Pi , X = 0.1.étant défini comme suit [7] :Nu(x) = 1DT∫ DT0Nu(x, t)dt = 1DT∫ DT0h(x, t)xλdt (3)oùDT est choisi égal à 10,25 secondes de façon à laisser le temps à l’écoulement d’atteindre son nouveaurégime établi.5. ConclusionUn écoulement laminaire (Gr∗ = 107) de convection naturelle, le long d’une surface verticale,initialement établi avant d’imposer une densité de flux périodique à la paroi a été étudié. Grâce à uneétude numérique il a été montré que l’épaisseur de la couche limite thermique une fois établie ne variepas quel que soit le signal périodique appliqué à la paroi. De plus le transfert de chaleur est amélioré si lerapport des périodes est inférieur à 0,9, si la période inférieurePi et si le nombre de cycles sont grands.Par conséquent en imposant une densité de flux périodique à la paroi le transfert de chaleur de la paroivers le fluide ambiant est amélioré seulement lorsque le fluide au contact de la paroi a suffisamment detemps pour se refroidir avant d’être chauffé de nouveau.Remerciements.L’auteur remercie le réseau français AMETH (Améliorations des Echanges Thermiques) pour sonsupport financier.Références bibliographiques[1] J. Patterson, J. Imberger, J. Fluid Mech. 100 (1980) 65–86.[2] A. Bejan, Convection Heat Transfer, Wiley, New York, 1995.[3] J.V.C. Vargas, A. Bejan, J. Heat Transfer 117 (1995) 942–947.[4] T. Cebeci, P. Bradshaw, Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer, Springer, New York,1984, p. 487.[5] T. Cebeci, Proc. Roy. Soc. London A 355 (1977) 225–238.[6] B. Sammakia, B. Gebhart, Z.H Qureshi, J. Heat Transfer 104 (1982) 644–648.[7] Th. de Lorenzo, Transfert de chaleur par convection naturelle en régime, Thèse de doctorat, Université de ReimsChampagne-Ardenne, 2000.184

Convection naturelle transitoire le long d'une surface verticale soumise à une densité de flux périodique

https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/item/10.1016/S1631-0721(02)01446-8.pdf

Convection naturelle transitoire le long d'une surface verticale soumise à une densité de flux périodique

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Comptes Rendus Mécanique (CRM)