Jean Piquet

Piquet, J.

Hal-Diderot

L'équation de la stropholyse

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

e exige deelle-ci, lesOn formefermetureuiresdirectlyisites forynsionalalositionssssionC. R. Mecanique 331 (2003) 569–574L’équation de la stropholyseJean PiquetLaboratoire de mécanique des fluides, UMR 6598 CNRS, École centrale de Nantes, 44321 Nantes cedex, FranceReçu le 4 mars 2003 ; accepté après révision le 6 juin 2003Présenté par Pierre PerrierRésuméOn montre dans cette Note que la modélisation des écoulements turbulents homogènes rotationnels en moyennconsidérer, à coté des effets liés au nombre de composantes de la fluctuation de vitesse et à la dimensionalité de ceffets directement liés à la rotation moyenne de l’écoulement à travers un tenseur du troisième ordre, la stropholyse.l’équation pour la partie complètement symétrique de cette stropholyse et on discute les prérequis nécessaires à lades termes qui interviennent dans cette équation.P ur citer cet article : J. Piquet, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractThe stropholytic equation. It is shown that the modelling of homogeneous turbulent flows with mean rotation reqthe consideration of stropholytic effects, besides componentality and dimensionality effects. Stropholytic effects arerelated to the mean-flow rotationality. The equation for the purely symmetric stropholysis is established and prerequthe closure of terms involved in this equation are discussed.To cite this article: J. Piquet, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés :Turbulence ; StropholyseKeywords:Turbulence; Stropholytic effectsAbridged English versionThe homogeneous turbulence modelling of the pressure-strain tensor,Tij , is usually based on the Lumledecomposition [1]. The rapid-part modelling problem amounts to determining the fourth-order tensorMijpqdefined by (2) as a functional of tensorial arguments, the anisotropy of Reynolds stresses,b – this single termis sufficient in the case of mean irrotational flows – and other tensorial arguments: the so-called dimeanisotropy,y, defined from (5b) and the so-called stropholysis,Qijk , which is responsible for mean rotationeffects, and measures the sensitivity of pressure-strain to mean vorticity. By virtue of the canonical decomp(12)–(14) of third- and fourth-order tensors, only the purely symmetrical part,Q∗ijk , of Qijk is required, besideb andy, for a complete description ofM, as shown by a comparison with rapid-distorsion theory (see discuAdresse e-mail :Jean.Piquet@ec-nantes.fr (J. Piquet).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droitsréservés.doi:10.1016/S1631-0721(03)00123-2570 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 569–574ch asments.censpiet,ême danselsnèresesdelqueset deof §1). This Note gives Eqs. (15), (16) satisfied byQ∗ under the homogeneity assumption and reduces as mupossible their associated modelling problems, using realisability (§4) and Cayley–Hamilton-type (§5) argu1. IntroductionLa modélisation du tenseur des corrélations pression-déformationTij est un enjeu important en turbulenhomogène. Celle-ci s’effectue à travers la décomposition de Lumley [1] en partie lente,T (s)ij , et partie rapideproportionnelle au gradient,V (a)p,q , de vitesse moyenne absolue. On est alors conduit classiquement à :Tij := ρ−1p(ui,j + uj,i )= T (s)ij + 2(Mipqj +Mjpqi)V (a)q,p (1)Le problème de fermeture se pose alors pourT (s)ij et pour le tenseur du quatrième ordreMijpq , défini comme uneintégrale sur tous les nombres d’ondek dans l’espace spectral, oùΦij (k) est le tenseur spectral des corrélatiodoubles de vitesse :Mijpq :=∫kpkqk2Φij (k)dk (2)On suppose alors queT (s)ij etMijpq sont des fonctionnelles isotropes du tenseur adimensionnel d’anisotrobdéfini en fonction du tenseur des corrélations doubles de vitesseRij parbij :=Rij /2K − δij /3. Malheureusemensi cette hypothèse s’avère justifiée dans le cas des écoulements moyens irrotationnels, il n’en va pas de mle cas des écoulements rotationnels. Il est facile de montrer qu’alors :Tij = T (s)ij + 2(Mipqj +Mjpqi)Spq − (Qijk +Qjik)W(a)k (3)où W(a) est la vorticité absolue de l’écoulement moyen. Le tenseurQijk qui est responsable des effets rotationnest le tenseur de stropholyse [2] défini par :Qijk := −ujψi,k = εipqMjqpk (4)Dans (4),ψ désigne le potentiel vecteur (fonction de courant) des fluctuations de vitesseu. Il st remarquablequ’en turbulence homogène, le tenseurQ s’annule pour toutes les contractions d’indice possibles et qu’il géles tenseurs du second ordre suivants :εimpQmjp = uiuj =∫Φij (k)dk (5a)εimpQpmj = Yij :=ψk,iψk,j =∫kikjk2Φkk(k)dk (5b)εimpQjpm =Xij :=ψi,kψj,k (5c)Laissons de coté le tenseurXij donné par (5c). Il peut être éliminé parce qu’en turbulence homogène,Rij +Xij +Yij = 2Kδij . A coté deb (d’invariants II:= −b2.ii/2 et III := b3.ii/3) caractéristique du nombre de composanteuide la fluctuation de vitesse (un écoulement est 2C si  b := 1 + 9 II + 27 III  0 s’annule, il a deux composantégales si a := 4 II3 + 27 III2  0 s’annule), il apparait un tenseurY caractéristique de la dimensionalitéla turbulence (donnant en particulier les directionsxi de variation deψ). De ce tenseur de trace 2K, introduitdans [3], on peut extraire un déviateur de dimensionalitéyij := Yij /2K − δij /3 (d’invariants IIy et IIIy , tels que y := 1+ 9 IIy + 27 IIIy  0 s’annule pour des écoulements 2D). Afin de tenir compte de la relation (2), queauteurs [2–5] ont tenté de modéliserM comme une fonctionnelle isotrope deb et dey. Les conditions de symétri(Mijpq = Mjipq = Mijqp), d’incompressibilité(Mippq = 0) et de normalisation(Miipq = Ypq, Mijpp = Rij )spécifient complètement la partie linéaire deM[b,y] [2–6]. Malheureusement, dans le cas d’un écoulemenJ. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 569–574 571n outre,trerée que laépendantestions nonuit à desduisantes ondesu’auuelisationes – poure par saidentifiersushodees et:erotation pure, tout modèle de la formeM[b,y] conduit, comme d’ailleurs tout modèleM[b], à la stationaritédes invariants d’anisotropie II et III, en contradiction flagrante avec les théories de distorsion rapide. Ele modèle linéaireM[b,y] ne peut, comme son homologueM[b], être réalisable. Enfin, nous avons pu monque dans le cas d’un écoulement moyen de cisaillement pur, un modèleM[b,y] ne pouvait être, et a fortioriM[b],consistant avec la théorie de distorsion rapide qu’au premier ordre en temps. La relation (3) indique d’emblstropholyse est ce qui manque dans la modélisation. Kassinos et Reynolds [5] ont montré qu’un modèle dde la stropholyse totalement symétriséeQ∗ et « tout linéaire »M[b,y,Q∗] permettait de retrouver une réponse dcontraintes de Reynolds à une rotation pure rapide. Malheureusement, un tel modèle conduit à des oscillaamorties de l’anisotropie dans la direction de la rotation [5,6] alors que la théorie de distorsion rapide condoscillations amorties. L’amortissement n’a pu être provoqué [4] que par l’introduction d’un terme ad-hoc prola « randomisation rotationnelle » voulue en raison du mélange de phase dû à la dispersivité anisotrope dd’inertie. Enfin, le modèle « tout linéaire » [5]ne peut être consistant avec la théorie de distorsion rapide qpremier ordre en tempscar le terme linéaire enQ∗ dansM ne peut contribuer à sa partie totalement symétriq,M∗. Enfin, certaines conditions nécessaires de réalisabilité ne sont pas satisfaites par ce modèle.2. La modélisationLes considérations qui précèdent indiquent qu’il n’y a que peu d’espoir de progresser dans la modédes écoulements fortement rotationnels, et en particulier de retrouver les propriétés des solutions exactΦij (k) – de distorsion rapide [7], quand elles existent, sans prendre en compte le terme de stropholyspropre équation. C’est à cet effort que l’auteur de la présente Note s’attache. La première étape est d’les équations de travail qui accompagneront une modélisation de typeM[b,y,Q∗]. Il nous faut évidemment leéquations pourb, y, et Q∗. Nous laissons celles pourb et y qui sont classiques (voir par exemple [5–8]) et nonous concentrons sur l’équation pourQ∗ qui, elle, ne l’est pas, suivant en cela la voie ouverte dans [5]. La métla plus expéditive [7, p. 253], est de partir de l’équation pourMijpq [8] :d̄Mijpqdt= T (S)ijpq −Eijpq + 2V (a)m,n(M(6)inpqmj +M(6)njpqmi) − Ṽm,n(Minpqδjm +Mnjpqδim)+ 	Vm,n(2M(6)ijpqmn −Mijmpδnq −Mijmqδnp)(6)où la notationV (a)m,n = 	Vm,n − εmnpΩp ; Ṽm,n = 	Vm,n − 2εmnpΩp désigne respectivement les vitesses absolu« tiltées » etΩ la vitesse angulaire du repère mobile. Les vorticités correspondantes se déduisent alors deW̃m := εmqrṼr,q =Wm + 2εrqmεrqpΩp =Wm + 4Ωm, W(a)m =Wm + 2ΩmOn remarque dans l’éq. (6) que trois fermetures sont nécessaires, pour le terme linéaire (rapide)M(6)ijpqmn :=∫kpkqkmknk4Φij (k)dk (7)pour le terme lentT (S)ijpq et pour la destruction par effets visqueuxEijpq . On déduit alors (plus facilement qudans [5], éq. (E1.38)) de l’éq. (6) :d̄Qijkdt= εits(T(S)sj tk −Esjtk) − 23{S}Qijk + 2W(a)wq εitsM(6)sqtkwj −Wwq(Qijwδqk + εiqsMsjwk)− W̃rq(Qiqkδjr + εitrMqjtk)+ 2S∗wqεitsM(6)sqtkwj − S∗rq (Qiqkδjr + εitrMqjtk)+ S∗wq(2εitsM(6)jstkwq −Qijwδqk − εiqsMsjwk)(8)572 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 569–574constateent, etisation dees [5,7,etes enstoùSpq = {S}δpq/3+S∗pq . Suivant en cela [5,6], on réduit ensuite la présence du tenseur d’ordre 6,M(6), au moyende l’identité :2S∗wqεitsM(6)sqwjtk = 2S∗wqεitsM(6)sjwqtk − 2εitsS∗sj Ytk + 2S∗jqQiqk − 2εitjS∗wq(Y(4)wqtk +Mwqtk)+ 2εitqS∗wq(Y(4)jwtk +Mjwtk)(9)si bien que (8) devient :d̄Qijkdt= εits(Φ(S)sj tk −Esjtk) − 23{S}Qiqk +RQijk +DQijk (10)où :DQijk := S∗mjQimk − S∗mkQijm + εitqS∗wq(Mjwtk +Mjtwk)− 2εitsS∗sj Ytk − 2εitjS∗wq(Y(4)wqtk +Mwqtk)+ 2εitqS∗wqY (4)jwtk + 4S∗wqεitsMsjwqtk (11a)RQijk := 12(εjqmW̃mQiqk + εkmqWmQijq )−W(a)m(Ykj δmi − Y (4)mkij −Mmikj)+ 12(W̃mMijmk +WmMmjik) (11b)La forme (10), (11a) corrige l’éq. (E1.41) de [5] dont les traces partielles ne se contractent pas à zéro. Onqu’à coté des effets « lents », il existe trois sources de nature différente dans cette équation. La sourceRQijk (donnéedans [6] pour le casΩ = 0) qui dépend des vorticités moyennes (absolue, relative ou « tiltée ») linéairemla sourceDQijk , qui dépend linéairement du taux de distorsion de l’écoulement moyenS∗. Enfin, un terme decompression moyenne est présent. Le principal avantage de (10), (11) par rapport à (8) est que la modélM(6) n’intervient plus qu’en une seule place, et ce dansDQijk .3. Les décompositionsPour étudier séparément chaque contribution, il convient d’introduire les décompositions canoniqupp. 251, 252] deM et deQ en leurs parties totalement symétrique (notées∈ Sym), partiellement symétriquou antisymétrique, et totalement antisymétrique. Pour les tenseurs nous concernant :Qimk = 16εimkq̄2 + 13[εikpRpm + εmipYpk − εkmp(Ypi +Rpi)] +Q∗imk (12)Mijkl =M(ijkl) + 12(εzkjQ∗zil − εzilQ∗zkj) + 16[2K(δkjδil + δlj δik − δklδij )+ 3(δlkRji + δij Ykl)+ (δlkYji + δijRkl)− δkj (Yli +Rli)− δil(Yjk +Rjk)− δlj (Yki +Rki)− δik(Yjl +Rjl)](13)oùM(ijkl) := 16〈Mijkl〉 avec〈Mijkl〉 :=Mijkl +Miklj +Miljk +Mkjil +Mljik +Mklij (14a)Q∗imk := 16〈Qimk〉 avec〈Qimk〉 :=Qimk +Qmki +Qkim +Qmik +Qikm +Qkmi (14b)L’avantage de la décomposition (12) est queQ∗ concentre, dans ses composantes indépendantes réduinombre par la symétrisation, l’information indépendante deR t deY si bien que l’obtention des fermetures etechniquement simplifiée. Aussi, la modélisation deT (r)ij se réduit à celle des composantes indépendantes deM( ).Additionnant les six éqs. (10) correspondant à chaque terme de (14b), il vient :d̄Q∗ijkdt= 〈εits(T (s)sj tk −Esjtk)〉 − 23{S}Q∗ijk +DQ∗ijk +RQ∗ijk (15)oùJ. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 569–574 573rjà donnéeequationstionnels,n. Leeresau moins[8]. Pour« nombret,uxs àos etDQ∗ijk = 4Q∗ijkwqS∗wq + 19[〈εimpS∗mj (Ypk − 2Rpk)〉 − S∗wp(Rmw + Ymw)〈δjkεimp〉]+ 23S∗wq〈εitq(M(jwtk) + Y (4)jwtk)〉(16a)RQ∗ijk =(Ωm − 16W(a)m)〈εjpmQ∗ipk〉 +W(a)m (Y (4)mkij + 2M(mkij))+ 19W(a)m〈δim(Rjk − Yjk)− δij (2Ymk +Rmk)〉(16b)où les crochets〈· · ·〉 désignent les parties complètement symétrisées eni, j, k (cf. éqs. (14)). Il est facile de vérifieque toutes les traces partielles de ces deux termes sont nulles. L’éq. (16a) est nouvelle, l’éq. (16b) a été dédans [5], mais sous une forme erronée, non symétrique par substitution circulaire enijk, t sans les effets dCoriolis.4. Problème de fermetureA coté des termes lents et des termes de destruction (modélisables simultanément, voir [8]), les éprécédentes exigent des fermetures pour les termes complètement symétrisés,M∗ijpq , Y(4)ijpq etQ(5)∗ijkwq où :Y(4)ijpq =∫kikjkpkqk′Φmm(k)dk (17a)Q(5)∗ijkwq := 16[εits(Mjstkwq +Mkstjwq)+ εjts(Mkstiwq +Mistkwq)+ εkts(Mistjwq +Mjstiwq)](17b)De telles fermetures doivent être compatibles avec la distorsion rapide, y compris pour les écoulements rotamieux qu’au premier ordre∀Ω , et matériellement indifférentes dans la limite d’écoulements de forte rotatioproblème irrotationnel à conditions initiales isotropes, est caractérisé parb = y. Dans ce cas, on peut montrque le problème de modélisation dégénèrecar Y (4)ijpq = 3M(ijpq). En outre, les fermetures doivent produire doscillations convenablement amorties dans le cas d’un écoulement de rotation pure et, si possible, restituerqualitativement les tendances à la destruction de l’axisymétrie par la rotation mises en évidence danscela, trois fonctionnelles doivent être construites en les retenant dépendantes simultanément des effetsde composantes », liés àb, de dimensionalité(y) et de stropholyse(Q∗). Enfin, et c’est le point le plus délicales fonctionnelles doivent être réalisables. Pour le termeM, par exemple, dans l’état limite 2C en axes principauxdeb :M1jkp[b,y,Q∗] = 0, b1k = −13δ1k et Qi1k = 0, (alorsQ2j3 =Q3j2), ∀y, b22,Q222 etQ333 (18)De même, dans l’état limite 2D,∂/∂x1 = 0 (si bien queT (r)11 = 0, T (r)22 = −T (r)33 ), nous avons, en axes principadey :Mij1q [b,y,Q∗] = 0 lorsquey1k = −13δ1k, Qij1 = 0, ŵ1 = 0, ∀b, y22,Q222 etQ333 (19)Du fait que les relations de trace s’écrivent :Q∗iik = 0; M(iipq) = 16(Rpq + Ypq), Y (4)iipq = Ypq (20)Il est possible d’écrireM( ) et Y(4) comme une somme de lamême forme a-prioride contribution à trace nulleM∗et d’une contribution inhomogène,Min ou Y(4)in satisfaisant (20) :Minijpq :=M(ijpq) −M∗ijpq = q̄2[ 145〈δij δpq〉 + 142〈δij (bpq + ypq)〉](21a)Y(4)inijpq := Y (4)ijpq −M∗ijpq = q̄2[ 115〈δij δpq〉 + 17〈δij ypq〉](21b)Les conditions seront toutes traduites surM∗ – qui concentre la totalité des informations utiles relativeT(r) – plutôt que surM et surY(4). On notera que le modèle linéaire (non réalisable) étudié par Kassin574 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 569–574itionrique dulementurir auxositionde laeformed12–824.ion, Dept.end. Acad.Reynolds se réduit àM∗ = 0, la dépendanceM[Q∗] n’étant autre que la contribution présente dans décomposcanonique (13). Enfin, dans le cas rotationnel général, les fermetures concrètesM∗ (di tinctes) des termesM( ) etY(4) sont largement dictées par les contraintes (distinctes) de réalisabilité.5. Dernières relationsNous aurons aussi besoin d’un théorème de Cayley–Hamilton pour le tenseur totalement syméttroisième ordreQ∗. FormonsZij :=Q∗ijkXk où X est un vecteur quelconque. Les invariants deZ sont :Zii = 0, IIZ = −12Q∗ikmQ∗kinXmXn; IIIZ = 13Q∗tmsQ∗lnsQ∗lt rXmXnXrLe polynôme de Cayley–Hamilton pourZ s’écrit alors pour toutX :XmXnXr[Q∗ikmQ∗klnQ∗ljr − 12Q∗kpmQ∗kpnQ∗ijr − 13Q∗tmsQ∗lnsQ∗lt rδij] = 0Soit :q(5)∗ijmnr − 12〈Q∗kpmQ∗kpnQ∗ijr〉 − 13 〈Q∗tmsQ∗lnsQ∗lt r 〉δij = 0 (22)où l’on a posé :q(5)∗ijmnr := 16(Q∗ikmQ∗klnQ∗ljr +Q∗iknQ∗klrQ∗lmj +Q∗ikrQ∗klmQ∗lnj +Q∗jkmQ∗klnQ∗lir +Q∗jknQ∗klrQ∗lmi+Q∗jkrQ∗klmQ∗lni)et où l’on a souligné les indices déterminant la partie complètement symétrique. La relation (22) est triviasatisfaite par lai − j trace,q(3)∗mnr := q(5)∗iimnr =〈Q∗tmsQ∗lnsQ∗lt r〉.Une autre relation utile, omise pour des raisons de concision, est aussi obtenue à partir de lamn-trace deq(5).D’autres conditions intéressantes sont obtenues par antisymétrisation partielle de (22).6. ConclusionEn conclusion, les apports principaux de cette note sont : (i) dans l’examen de la nécessité de recoéqs. (15), (16), pour partie, nouvelles, de la stropholyse symétrisée, (ii) dans l’utilisation de la décompcanonique et dans la réduction du problème de fermeture au rôle clé deM∗, avec la simple contrainteY(4) = 3M∗pour les écoulements moyens irrotationnels, (iii) du résultat technique (22). L’étude de la réalisabilitéfermeture pourM∗ fera l’objet d’une note ultérieure.Références[1] J.L. Lumley, Computational modeling of turbulent flows, Adv. Appl. Mech. 18 (1978) 123–176.[2] W.C. Reynolds, S. Kassinos, A one-point model for the evolution of the Reynolds stress and structure tensors in rapidly dhomogeneous turbulence, Proc. Royal Soc. London A 451 (1995) 87–104.[3] S. Kida, J.C.R. Hunt, Interaction between different scales of turbulence over short times, J. Fluid Mech. 201 (1989) 411–445.[4] C. Cambon, L. Jacquin, J.L. Lubrano, Toward a new Reynolds stress model for rotating turbulent flows, Phys. Fluids A 4 (1992) 8[5] S.C. Kassinos, W.C. 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