Ali Il Idrissi

Driss Ouldhadda

Rabha Khatyr

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75Approche analytique de la convection forcéedes fluides de Bingham dans un tubeRabha Khatyr, Driss Ouldhadda, Ali Il IdrissiUFR d’energétique et instrumentation, Faculté des sciences Ben M’Sik, BP 7955, Sidi Othmane, Casablanca,MarocReçu le 28 juin 2001 ; accepté après révision le 8 novembre 2001Note présentée par Sébastien Candel.Résumé Le comportement asymptotique de la convection forcée laminaire des fluides de Binghamen écoulement dans un tube circulaire soumis à une densité de flux de chaleur à la paroivariable est étudié analytiquement. La dissipation visqueuse est prise en considérationtandis que la conduction axiale est supposée négligeable. Le profil de températureasymptotique et le nombre de Nusselt asymptotique sont déterminés pour différentesdistributions de la densité de flux de chaleur à la paroi. Ces distributions permettentl’existence d’une région thermique établie. Les résultats obtenus montrent une diminutiondu nombre de Nusselt asymptotique lorsque le nombre de Brinkman et le rayon critiquedu corps plastique augmentent. Des comparaisons avec les résultats de la littérature dansle cas des fluides Newtoniens montrent la validité de la présente analyse.Pour citer cetarticle : R. Khatyr et al., C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75.  2002 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASmécanique des fluides / fluide de Bingham / convection forcée laminaire / compor-tement asymptotique / dissipation visqueuse / densité de flux de chaleur à la paroivariableAnalytical approach for forced convection of Bingham fluids in a tubeAbstract The asymptotic behaviour of laminar forced convection for Bingham fluid in a circulartube subjected to an axially varying wall heat flux is studied analytically. The effect ofviscous dissipation is taken into account while the axial heat conduction in the fluid isconsidered as negligible. The asymptotic temperature profile and the asymptotic Nusseltnumber are determined for various axial wall heat flux distributions which yield a thermallydeveloped region. The results obtained show a diminution in asymptotic Nusselt numberwhen the Brinkman number and the dimensionless radius of the plug flow region increase.Comparisons with the results in the literature for Newtonian fluids show the validity of thepresent analysis.To cite this article: R. Khatyr et al., C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SASfluid mechanics / Bingham fluid / laminar forced convection / asymptotic behaviour /viscous dissipation / variable wall heat fluxAbridged English versionThe present paper aims to study analytically the fully developed laminar forced convection for a Binghamfluid at constant properties in a circular tube. The wall tube is subjected to a variable wall heat flux yieldingAdresse e-mail :rkhatyr@hotmail.com (R. Khatyr). 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1631-0721(02)01422-5/FLA 69R. Khatyr et al. / C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75a thermally developed region. The viscous dissipation is considered and the axial heat conduction in thefluid is neglected. Under these assumptions and after introducing appropriate non-dimensional variables,equations (8) and (9) then govern the problem. The asymptotic behaviour of the dimensionless temperaturedistribution (R, X) is determined analytically for many axial distributions of wall heat flux, whichsatisfies the conditions (12) and (13). For example, these conditions are satisfied by a uniform wall heat flux,by a linearly varying wall heat flux, and by polynomial functions or by quotients of polynomials, whosenumerator has a degree greater than that of the denominator (equation (14)). The solution of equations (8)and (9), for large values ofX, can be given by equation (15). However, a new functionf (R) is calculated bya simple integration, and taking into account the fact that the bulk value of functionf (R) must be zero andthe continuity property of (R) at R = a. The asymptotic temperature profile∞(R) and the asymptoticNusselt numberNu∞ are expressed by equations (20) and (21) respectively.Figures 1a–cshow that atthe centerline of the duct (R = 0), the asymptotic temperature field increases with asymptotic BrinkmannumberBr∞, while at the vicinity of wall (R = 1), the value of∞(R) decreases withBr∞, for a givenvalue of the dimensionless radiusa of the plug flow region. Indeed, if the radiusa increases then theasymptotic temperature profile tends to be the same for larger values ofBr∞ (figure 1c). Equation (21)shows that the asymptotic Nusselt number depends only on the asymptotic Brinkman numberBr∞ and thedimensionless radiusa of the plug flow region. Ifa = 0 (Newtonian fluid), equation (21) coincides withequation (1) which has been obtained in the case of uniform wall heat flux [2,4]. As shows infigure 2, thevalue ofNu∞ increases with radiusa whenBr∞ = 0. On the other hand, if the value ofBr∞ increases,the value ofNu∞ decreases witha. Finally, note that the value ofNu∞ always remains lower to 4.36 forBr∞ > 0.1. IntroductionLes fluides à comportement non-Newtonien se trouvent dans de nombreux secteurs industriels tels que lesprocessus chimiques, l’agroalimentaire, le secteur pétrolier et traitement des polymères. Parmi ces fluides,on s’intéresse au fluide de Bingham qui présente une contrainte seuil d’écoulementτc.Les études de transfert de chaleur dans les conduites circulaires en présence de fluides Newtoniensont fait l’objet de plusieurs travaux dont une revue bibliographique a été faite par Shah et London [1].Le problème de la convection forcée laminaire des fluides Newtoniens en régime dynamique établi et àpropriétés physiques constantes fut le cas le plus étudié. Parmi les travaux relatifs à ce sujet, on citeraceux effectués par Basu et Roy [2] qui ont étudié l’effet de la dissipation visqueuse sans conduction axialedans le cas de paroi isotherme et densité de flux de chaleur constant à la paroi. La valeur asymptotique dunombre de Nusselt dépend du nombre de Brinkman lorsque la paroi est soumise à une densité de flux dechaleur constante (equation (1)). Récemment, Barletta et Zanchini [3] ont déterminé la condition nécessaireet suffisante sur le comportement asymptotique de flux de chaleur à la paroi pour avoir une région établiethermiquement avec un nombre de Nusselt non nul :Nu∞ = 22Br + 11/24 (1)Dans le cas des fluides non-Newtoniens à loi de puissance, le problème asymptotique a été étudié parBarletta [4] pour plusieurs distributions de la densité de flux de chaleur variable à la paroi. Pour les fluidesde Bingham, Johnston [5] a étudié le problème de Graetz en tenant compte de la conduction axiale. Ilconclue que la conduction axiale est négligeable lorsque le nombre de Peclet est supérieur à 1000. Min etal. [6] ont étudié le régime établi et le problème de Graetz à l’aide des méthodes analytiques de Frobeniuset de séparation des variables. Très récemment, Olek [7] a développé une méthode analytique générale pour70Pour citer cet article : R. Khatyr et al., C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75obtenir le profil de température dans la région d’entrée thermique d’une conduite circulaire ou de plaquesparallèles avec conditions aux limites convectives. La solution d’Olek est vérifiée même si la conductionaxiale est non négligeable et peut être utilisée quel que soit le profil de vitesse établi.L’analyse bibliographique citée ci-dessus montre qu’il n’existe pas de travaux consacrés au fluide deBingham dans une conduite circulaire avec densité de flux de chaleur variable à la paroi. Le but de cetravail est d’étudier analytiquement le comportement asymptotique du champ de température et du nombrede Nusselt pour les fluides de Bingham avec dissipation visqueuse et une distribution de densité de flux dechaleur à la paroi variable.2. Analyse théoriqueConsidérons un fluide non-Newtonien de Bingham en écoulement dans une conduite circulaire derayonr0 avec une densité de flux de chaleur à la paroi variable,qw(x), suivant la coordonnée axialex.L’écoulement est supposé permanent laminaire et les propriétés physiques sont considérées constantes. Enrégime dynamique établi, le profil de vitesse pour un fluide de Bingham est exprimé par [6,8] :u(r) =um2(1− (r/r0)2 − 2a(1− r/r0))1− 4a/3+ a4/3 si rc  r  r0um2(1− a)21− 4a/3+ a4/3 si 0 r  rc(2)où a = τc/τp = rc/r0 est le rayon du corps plastique,τp la contrainte à la paroi,τc la contrainte decisaillement critique,rc le rayon critique,um la vitesse moyenne débitante etr la coordonnée radiale.L’équation de l’énergie et les conditions aux limites, sont données par :ρcpu∂T∂x= λr∂∂r[r∂T∂r]+ µp(dudr)2− τc dudr(3)T (r, x = 0) = T0, ∂T∂r∣∣∣∣r=0= 0, ∂T∂r∣∣∣∣r=r0= qw(x)λ(4)où T0 est la température à l’entrée,λ et ρ sont respectivement la conductivité thermique et la massevolumique de fluide,cp la chaleur spécifique etµp la viscosité plastique pariétale.La condition du transfert thermique établi pour l’écoulement laminaire dans un tube est définie par [9] :Limx→+∞Tw(x) − T (r, x)Tw(x) − Tm(x) = Limx→+∞(r/r0, x/2r0Pe) = ∞(r/r0) (5)où Tw(x) et Tm(x) sont respectivement les températures pariétale et moyenne,Pe= 2umr0ρcp/λ est lenombre de Peclet et∞(r/r0) représente le champ de température adimensionnel asymptotique, qui estune fonction continue et dérivable der.Lorsque la relation (5) est vérifiée, la valeur asymptotique du nombre de NusseltNu∞ existe ; elle estdonnée par [9] :Limx→+∞ Nu= 2r0 Limx→+∞(∂T /∂r)|r=r0Tw(x) − Tm(x) = −2r0d∞dr∣∣∣∣r=r0= Nu∞ (6)En introduisant les paramètres adimensionnels suivants :X = x2r0Pe, R = rr0, U(R) = u(r)um, θ = λT − T0µpu2m(7)L’équation de l’énergie et les conditions aux limites associées deviennent :71R. Khatyr et al. / C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75∂∂R[R∂θ∂R]= RU4∂θ∂X+ 4a1− 4a/3+ a4/3RdUdR− R(dUdR)2(8)∂θ∂R∣∣∣∣R=0= 0, ∂θ∂R∣∣∣∣R=1= 12Br(X)(9)oùBr(X) est le nombre de Brinkman local donné par :Br(X) = µpu2m(2r0)qw(x)(10)L’intégration de l’équation (8), pour 0 R  1, compte tenu de (9) donne :∂θm∂X= 4Br(X)+ 321− 4a/3+ a4/3 (11)où θm(X) est la valeur moyenne deθ(R, X).3. Comportement asymptotique du champ thermiqueDans cet article, le champ de température asymptotique et le nombre de Nusselt asymptotique sontévalués en considérant plusieurs cas de la fonctionBr(X) qui assurent l’existence d’une région thermiqueétablie asymptotiquement, avec :LimX→+∞ Br(X) = Br∞ (12)etLimX→+∞dBr(X)dX= 0 (13)oùBr∞ est le nombre de Brinkman asymptotique.Les conditions (12) et (13) sont vérifiées, à titre d’exemple, par des distributions de densité de flux dechaleur à la paroi de la forme :qw(X) = P (X)Q(X)(14)avecP (X) et Q(X) sont des polynômes tels que d◦(P )  d◦(Q).Lorsque les relations (12) et (13) sont vérifiées, une région établie du champ de température existe et lasolution des équations (8) et (9), pour des valeurs larges deX, s’exprime par :θ(R, X) = θm(X) + f (R)Br(X)(15)oùf (R) est une fonction continue et dérivable deR.La substitution de (15) dans (8) et (9) en tenant compte des équations (11), (12) et (13) donne :∂∂R[R∂f∂R]= RU(1+ 8Br∞ω)+(4aωRdUdR− R(dUdR)2)Br∞ (16)∂f∂R∣∣∣∣R=0= 0, ∂f∂R∣∣∣∣R=1= 12(17)oùω = 1− 4a/3+ a4/3.72To cite this article: R. Khatyr et al., C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75L’intégration de l’équation (16), en tenant compte de la continuité def (R) en R = a et de la valeurmoyenne nulle def (R), donne :f (R) =1− 2a2ω(1+ 8Br∞ω)R2 + 4a9ω(1+ 12Br∞ω)R3− 18ω(1+ 16Br∞ω)R4 + a46ωln(R) + C1 si a  R  112ω(1+ 8Br∞ω)((1− a)2R2 − a46)+ a46ω(ln(a) − 712)+ C1 si 0 R  a(18)où :C1 = − a418ω2ln(a) − Br∞ω2(1− 4a3+ a43)− 1ω2(748− 257a630+ 38a2135− a48+ 5a527+ a615− 2a715− 13a81008)Les équations (5), (7), (15) et (18) donnent :∞(R) = f (1) − f (R)f (1)avecf (1) = 1ω2(1148+ ωBr∞)− a818ω2ln(a) + aω2(− 245+ 62a135+ a34− 10a427− a515+ 2a615+ 13a71008)(19)d’où :∞(R) =1−[1− 2a2ω(1+ 8Br∞ω)R2 + 4a9ω(1+ 12Br∞ω)R3− 18ω(1+ 16Br∞ω)R4 + a46ωln(a) + C1][f (1)]−1 si a  R  11−[12ω(1+ 8Br∞ω)((1− a)2R2 − a46)+ a46ω(ln(a) − 712)+ C1][f (1)]−1si 0 R  a(20)Les équations (6) et (20) donnent la valeur asymptotique du nombre de Nusselt :Nu∞ = −2d∞dR∣∣∣∣R=1= 1f (1)(21)L’équation (21) montre que la valeur asymptotique du nombre de NusseltNu∞ dépend uniquement dela valeur asymptotique du nombre de BrinkmanBr∞ et du rayon du corps plastiquea. Pour les fluidesNewtoniens (a = 0), l’équation (21) se réduit à l’équation (1) [2,4] dans le cas d’une densité de flux dechaleur constante à la paroi. Lesfigures 1a–creprésentent l’évolution du profil de température asymptotique∞(R), pour différentes valeurs dea et Br∞. Ces figures montrent que, au centre de la conduite (R = 0),la température augmente avec le nombre de Brinkman, tandis qu’au voisinage de la paroi de la conduite(R = 1), la valeur de∞(R) diminue en fonction deBr∞ pour un rayon critiquea donné. On constatequ’au fur et à mesure que le rayon critique augmente, le champ de température tend à être le mêmepour les grandes valeurs deBr∞ (figure 1c). La figure 2 représente l’évolution du nombre de Nusselt73R. Khatyr et al. / C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75Figure 1. Evolution de∞(R) pour différentesvaleurs deBr∞ et du rayona du corps plastique.(a) a = 0 ; (b) a = 0,4 ; (c) a = 0,8.Figure 1. Evolution of∞(R) for various valuesof Br∞ and radiusa of plug core.(a) a = 0;(b) a = 0.4; (c) a = 0.8.Figure 2. Evolution deNu∞ en fonction du rayona ducorps plastique.Figure 2. Evolution of Nu∞ versus radiusa of plugcore.asymptotiqueNu∞ en fonction du rayon critique du corps plastiquea pour différentes valeurs du nombrede Brinkman asymptotiqueBr∞. Elle montre queNu∞ augmente aveca lorsqueBr∞ = 0 (dissipationvisqueuse négligeable). Par contre, si la valeurBr∞ croit, le nombre de Nusselt asymptotiqueNu∞ est unefonction décroissante dea. Notons finalement que la valeur deNu∞ reste toujours inférieure à 4.36 pourBr∞ > 0.4. ConclusionLa convection forcée laminaire établie pour les fluides de Bingham en écoulement dans une conduitecylindrique a été étudiée analytiquement avec des distributions de densité de flux de chaleur à la paroivariables. Les effets de la dissipation visqueuse et de la contrainte seuil sur les profils de températureasymptotique et le nombre de Nusselt asymptotique sont analysés dans le cas où la valeur asymptotique dela densité de flux de chaleur à la paroiqw(x) est non nul avec(1/qw(x))(dqw(x)/dx) tendant vers zéro.La valeur asymptotique du nombre de Nusselt est différente de zéro et dépend uniquement du nombre deBrinkman asymptotiqueBr∞ et du rayon critiquea du corps plastique. Cependant, la dissipation visqueuse74Pour citer cet article : R. Khatyr et al., C. R. Mecanique 330 (2002) 69–75et le phénomène de seuil jouent un rôle prédominant dans la détermination des caractéristiques du transfertde chaleur de l’écoulement établi thermiquement.Références bibliographiques[1] Shah R.K., London A.L., Laminar Flow Forced Convection in Ducts, Academic Press, New York, 1978.[2] Basu T., Roy D.N., Laminar heat transfer in a tube with viscous dissipation, Int. J. Heat Mass Transfer 28 (1985)699–701.[3] Barletta A., Zanchini E., The existence of an asymptotic thermally developed region for laminar forced convectionin a circular duct, Int. J. Heat Mass Transfer 39 (1996) 2735–2744.[4] Barletta A., Fully developed laminar forced convection in circular ducts for power-law fluids with viscousdissipation, Int. J. Heat Mass Transfer 40 (1997) 15–26.[5] Johnston P.R., Axial conduction and the Graetz problem for a Bingham plastic in laminar tube flow, Int. J. HeatMass Transfer 34 (1991) 1209–1217.[6] Min T., Yoo J.Y., Choi H., Laminar convective heat transfer of a Bingham plastic in a circular pipe – I. Analyticalapproach – thermally developed flow and thermally developing flow (the Graetz problem extended), Int. J. HeatMass Transfer 40 (1997) 3025–3037.[7] Olek S., Heat transfer in duct flow of non-Newtonian fluids with axial conduction, Int. Comm. 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