Christophe Felder

Constantin Oltean

Michel Buès

Mikhail Panfilov

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

ele–Shawxtensionainsi que leuvertureion dépendinthe fluidonstratedn tensor istésbybeC. R. Mecanique 332 (2004) 223–229Dispersion de Taylor généralisée à un fluide à propriétésphysiques variablesChristophe Felder, Constantin Oltean, Mikhail Panfilov, Michel BuèsLaboratoire environnement, géomécanique et ouvrages – ENSG – INPL, rue du Doyen Marcel Roubault,BP 40, 54501 Vandoeuvre-lès-Nancy, FranceReçu le 30 septembre 2003 ; accepté après révision le 7 janvier 2004Présenté par Charles-Michel MarleRésuméCette étude porte sur la dispersion engendrée par un soluté non-réactif, injecté verticalement dans une cellule Hinitialement saturée par un fluide au repos. L’application d’une méthode de développement asymptotique a permis l’edu modèle classique de Taylor à la situation où, dans la zone de mélange, la masse volumique, la viscosité dynamiquecoefficient de diffusion moléculaire varient en fonction de la concentration. L’évolution des variables moyennées sur l’ode la cellule est alors décrite par une équation de convection–dispersion dans laquelle le nouveau tenseur de dispersde la concentration.Pour citer cet article : C. Felder et al., C. R. Mecanique 332 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractGeneralized Taylor dispersion for heterogeneous fluid.The investigation of non-reactive miscible solute dispersiona vertical Hele–Shaw cell is considered. An asymptotic method is used to extend Taylor model to the case ofdensity, the dynamic viscosity and the molecular diffusion coefficient are solute concentration-dependent. It is demthat the averaged variables over the gap are governed by a convection–dispersion equation in which the dispersioconcentration-dependent.To cite this article: C. Felder et al., C. R. Mecanique 332 (2004). 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés : Mécanique des fluides ; Dispersion ; Homogénéisation ; Méthode asymptotique ; Cellule de Hele–Shaw ; Fluides à propriéphysiques variablesKeywords: Fluid mechanics; Dispersion; Homogenization; Asymptotic method; Hele–Shaw cell; Heterogeneous fluidsAbridged English versionWe consider the displacement of a non-reactive miscible solute into a Hele–Shaw cell. Let us noteb i sopening andH its length, such as, ifε = b/H , thenε  1. A double-scale expansion method [4] can thenAdresse e-mail : michel.bues@ensg.inpl-nancy.fr (M. Buès).1631-0721/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crme.2004.01.002224 C. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229le soluteer words,rize thes solutepond toquations,ns fromispresented(26) areersionthose ofne classicalstrationusionogène,sitoires ded’analyserque et dedevraitn milieudentiquesd’unemélangesi que lantésiquée auymétrieused in order to substitute the system of dimensionless equations (1) to (4), characterizing the micro-scadisplacement, for another one which describes, at the macro-scale, an equivalent phenomenon. In othwhat are, to the macroscopic scale, the global velocity and the dispersion tensor form which characteconvection–dispersionphenomenon when: (i) density, dynamic viscosity and molecular diffusion vary versuconcentration; and (ii) both Péclet and Reynolds numbers are of order 1/ε?The response of this question is obtained by using a classical asymptotic development to orderε2. Eq. (9)is introduced in the basic equations (2) and (5)–(8). The two first equations, i.e., (5) and (6), correshomogeneous equations obtained by an averaging procedure applied to Eqs. (1) and (3). The last two ei.e., (7) and (8), are obtained by the difference between (5)–(1) and (6)–(3) and represent the deviatiothe mean values. By identifying the terms of the same power inε, a succession of problems to be solvedobtained having as unknowns the terms of the asymptotic developments. The most important results arein Section 3. Thus, the transient, advection and diffusion terms of the convection–dispersion equationobtained by summing, term by term, Eqs. (21), (24) and (25) multiplied respectively by 1,ε andε2. The globalvelocity is given by a relationship equivalent to Darcy’s law (30) while the terms of the hydrodynamic disptensor are given by the relation (33). It is easy to see that the components of the diffusion tensor andthe hydrodynamic dispersion tensor present the same magnitude order equal toε. Moreover, the global dispersiotensor (34), that depends on the solute concentration distribution, can be considered as an extension of thTaylor dispersion [1,2].1. IntroductionLors du transport d’un soluté non-réactif entre deux plaques planes distantes deb avec un profil des vitessedu type Poiseuille, Aris [1], en généralisant les travaux de Taylor [2], montre que l’évolution de la concenmoyennée sur l’ouvertureb est décrite par une équation de convection-diffusion avec un coefficient de diffeffectif. Bien que cette approche ait été établie pour un écoulement unidimensionnel d’un fluide homelle est généralement adoptée pour les études portant sur des écoulements bidimensionnelles et tranfluides hétérogènes où les hypothèses de Taylor ne sont pas forcément vérifiées. Nous nous proposonsthéoriquement le phénomène de convection–dispersion dans le cas d’un contraste de masse volumiviscosité dynamique et d’une diffusion moléculaire fonction de la concentration en soluté. Ce modèlecompléter les travaux antérieures [3] et valider, en terme de transport, l’analogie entre la dispersion eporeux et la dispersion en cellule de Hele–Shaw.2. Formulation du problèmeConsidérons une cellule Hele–Shaw constituée de deux plaques planes parallèles de dimensions iL × H . Notons parb l’espace entre les deux plaques, initialement saturé par un fluide au repos. A l’aideaiguille de diamètreφ < b, injectons verticalement à vitesse constanteVinj un soluté de fraction massiqueCinj .Le problème considéré consiste alors à déterminer la forme du tenseur de dispersion dans la zone deformée par le déplacement induit, à l’intérieur de laquelle la masse volumique, la viscosité dynamique aindiffusion moléculaire varient en fonction de la fraction massique du soluté.L’existence de deux échelles de longueurs séparées – l’une, microscopique ou locale, repérée parx3 et l’autremacroscopique, repérée parx1 et x2, oùxi (i = 1, . . . ,3) sont les coordonnées d’un système orthonormé oriesuivant les directions : verticale descendante(i = 1), horizontale(i = 2) et ouverture du canal(i = 3) –, nous aconduit à rechercher la solution à l’aide d’une méthode asymptotique [4,5]. Cette méthodologie a été applsystème d’équations (Navier–Stokes, continuité, bilan de soluté, conditions aux limites et condition de sC. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229 225formes(‘inj’).ort auxtecellule. Ensationpar rapport àb/2) décrivant le transport d’un soluté à travers le chenal d’écoulement. Ecrit sous laadimensionnelle, il vient :∂ρ̄∂ t̄+ ∂(ρ̄Vk)∂x̄k+ 1ε∂(ρ̄V3)∂x̄3= 0 (1)ε2ρ̄ Re∂Vi∂t̄+ ε2ρ̄ Re(Vk ∂Vi∂x̄k+ 1εV3∂Vi∂x̄3)+ ∂ P∂x̄kδik + 1ε∂ P∂x̄3δi3 = ε2µ̄(∂2Vi∂x̄k∂x̄k+ 1ε2∂2Vi∂x̄23)+Gρ (2)∂(ρ̄Cm)∂t̄+ ∂(Vkρ̄Cm)∂x̄k+ 1ε∂(V3ρ̄Cm)∂x̄3= 1Pe[∂∂x̄k(Dmρ̄ ∂Cm∂x̄k)+ 1ε2∂∂x̄3(Dmρ̄ ∂Cm∂x̄3)](3)Vi∣∣x̄3=0 = Vi∣∣x̄3=1 = 0,∂Cm∂x̄3∣∣∣∣x̄3=0= ∂Cm∂x̄3∣∣∣∣x̄3=1= ∂Cm∂x̄3∣∣∣∣x̄3=0.5= 0 (4)avec :x̄k = xkH(k = 1,2), x̄3 = x3b, P = b2µaVinjH(P − ρagx1), t̄ = V∗Ht, ρ̄ = ρρa, Vi = ViV ∗µ̄= µµa, Cm = CmCinj, ρ = ρ − ρaρinj − ρa ,Dm = DmDm∞et P [ML −1T−2] la pression, g [LT−2] l’accélération de la pesanteur,t [T] le temps,V ∗ [LT−1] la vitessecaractéristique de l’écoulement (e.g.,V ∗ = Vinj), Vi [LT−1] les composantes du vecteur vitesse,Cm [-] laconcentration massique,Dm [L 2T−1] le coefficient de diffusion moléculaire,Dm∞ [L 2T−1] le coefficient dediffusion moléculaire à dilution infinie,ρ [ML −3], µ [ML −1T−1], ρa, µa, ρinj et µinj les masses volumiqueet les viscosités dynamiques à l’intérieur de la zone de mélange, du fluide ambiant (‘a’) et du fluide injectéPe= V ∗H/Dm∞ représente le nombre de Péclet, Re= ρaV ∗H/µa le nombre de Reynolds,G = Vg/V ∗ avecVg = (ρinj − ρa)b2gi/µa un nombre caractérisant l’importance relative des forces de pesanteur par rappforces visqueuses etδik le symbole de Kronecker(k = 1,2). Afin de simplifier l’écriture, l’élément attaché à touvariable adimensionnelle, i.e., «− », sera omis dans les paragraphes suivants.3. MéthodologieLes équations homogénéisées sont obtenues en moyennant les Éqs. (1) et (3) selon l’épaisseur de lautilisant les conditions imposées par l’Éq. (4) on obtient :∂〈ρ〉∂t+ ∂〈ρVk〉∂xk= 0 (5)∂〈ρCm〉∂t+ ∂〈ρVkCm〉∂xk= 1Pe∂∂xk〈Dmρ∂(Cm)∂xk〉(6)où on note〈•〉 = ∫ 10 •dx3. En soustrayant l’Éq. (5) à (1) et (6) à (3), les oscillations induites par homogénéis’expriment alors :∂(ρ − 〈ρ〉)∂t+ ∂(ρVk − 〈ρVk〉)∂xk+ 1ε∂(ρV3)∂x3= 0 (7)∂(ρCm − 〈ρCm〉)∂t+ ∂(VkρCm − 〈VkρCm〉)∂xk+ 1ε∂(V3ρCm)∂x3= 1Pe[∂∂xk(Dmρ∂Cm∂xk−〈Dmρ∂Cm∂xk〉)+ 1ε2∂∂x3(Dmρ∂Cm∂x3)](8)226 C. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229ecesonditionss len. Dans lease seronttrementparoisx.Postulons ensuite l’existence d’un développement asymptotique pour toute fonctionf définie dans le domaind’étude, i.e. :∀f, f (x, t, ε)= f0(x, t)+ εf1(x, t)+ O(ε2)(9)avecx(x1, x2, x3) le vecteur position etfn les quantités perturbées à l’ordren. En outre, si la fonctionf dépendde la fraction massique (e.g.,ρ µ et Dm), alors un développement de type Taylor peut être utilisé. Dansconditions :f0 = f (Cm0) et f1 = Cm1 dfdCm∣∣∣∣Cm=Cm0(10)Considérons également que le déplacement du soluté à travers l’ouverture de la cellule satisfasse les csuivantes : Pe et Re sont du même ordre et soit 1/ε cet ordre. Introduisons le développement (9) dansystème d’Éqs. (2) et (5)–(8). En identifiant les termes de même puissance enε, on obtient une successiode problèmes à résoudre dont les inconnues sont les termes des développements asymptotiquesparagraphe suivant, uniquement les développements intervenant dans la résolution du système de bdétaillés.4. Développement asymptotique• Approximation à l’ordre 1/εA cet ordre, les Éqs. (2), (7) et (8) peuvent être mises sous la forme :∂P0∂x3= 0 (11)∂(ρ0V03)∂x3= 0 (12)∂(V03ρ0Cm0)∂x3= 1εPe∂∂x3(Dm0ρ0∂Cm0∂x3)(13)L’Éq. (11) montre que les variations de pression se font essentiellement à l’échelle macroscopique. Audit, la pressionP0 ne dépend que dex1 et x2 :P0 = P0(y, t) (14)où y(x1, x2) représente le vecteur position. En outre, l’Éq. (12) couplée aux conditions d’adhérence aux(Éq. (4)), entraîne :V03(x, t)= 0 (15)ce qui permet de simplifier l’Éq. (13) et de l’écrire comme :∂∂x3(Dm0ρ0∂Cm0∂x3)= 0 (16)En multipliant cette dernière relation parCm0, en appliquant l’opérateur〈•〉 et en utilisant les conditions aulimites, on obtient :Cm0 = Cm0(y, t) (17)ce qui montre que les variations de la fraction massiqueCm0 se font essentiellement à l’échelle macroscopiqueC. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229 227ertiels(6), (7)membre,chelle• Approximation à l’ordre 1La condition Re∼ 1/ε, permettant de négliger dans l’Éq. (2) le terme transitoire ainsi que les termes inaussi bien à l’échelle macroscopique que microscopique (Éq. (15)), conduit à :∂P0∂xk= µ0∂2V0k∂x23+Gρ0 et P1 = P1(y, t) (20)Tout commeP0, le champ de pressionP1 ne dépend que des variables macroscopiques. SiG ∼ ε ou G ∼ ε2 lavariation de la masse volumique dans l’Éq. (20) peut être négligée. Par contre, siG∼ 1/ε ouG∼ 1/ε2, la vitessecaractéristique doit être redimensionnée à l’ordre deVg (carVg  V ∗).De même, l’utilisation des Éqs. (10), (15) et (17) permet de simplifier et de réécrire les développementset (8) sous la forme :∂(ρ0Cm0)∂t+ ∂(〈V0k〉ρ0Cm0)∂xk= 0 (21)ρ0∂V13∂x3+ ∂[ρ0(V0k − 〈V0k〉)]∂xk= 0 (22)∂[ρ0Cm0(V0k − 〈V0k〉)]∂xk+Cm0ρ0∂V13∂x3= 1εPe∂∂x3(Dm0ρ0∂Cm1∂x3)(23)• Approximation à l’ordre εL’Éq. (6) donne, quant à elle :∂[Cm0〈ρ1〉 + ρ0〈Cm1〉]∂t+ ∂[ρ0〈V0kCm1〉 +Cm0〈V0kρ1〉 + ρ0Cm0〈V1k〉]∂xk= 1εPe∂∂xk(Dm0ρ0∂Cm0∂xk)(24)•Approximation à l’ordre ε2Le terme diffusif de l’Éq. (6) peut s’exprimer comme :· · · = 1εPe∂∂xk(〈Dm1〉ρ0 ∂Cm0∂xk+Dm0〈ρ1〉∂Cm0∂xk+Dm0ρ0∂〈Cm1〉∂xk)(25)5. Équation de transport homogénéiséeLes termes de l’équation de transport homogénéisée sont maintenant obtenus en sommant, membre àles résultats des produits par 1 (resp.ε et ε2) des Éqs. (21) (resp. (24) et (25)) :∂(〈ρ〉〈Cm〉)∂t+ ∂(〈Vk〉〈ρ〉〈Cm〉)∂xk= ∂∂xk(〈ρ〉Dkj ∂〈Cm〉∂xj)+ o(ε2) (26)où les termesDkj représentent les composantes du tenseur de dispersion :Dkj =Ddkj +Dhkj avecDdkj =〈Dm〉Peδkj etDhkj = −ε(1+ d〈ρ〉d〈Cm〉〈Cm〉〈ρ〉)〈V0kψj 〉 (27)avec Ddkj (resp.Dhkj ) les termes du tenseur de diffusion (resp. de dispersion hydrodynamique) à l’émacroscopique etψj (j = k = 1,2) des fonctions symétriques par rapport àx3 = 0.5, définies comme :∂2ψj∂x23= εPeDm0(V0j − 〈V0j 〉)avec∂ψj∂x3∣∣∣∣x3=0= ∂ψj∂x3∣∣∣∣x3=1et 〈ψj 〉 = 0 (28)228 C. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229) et (23),sersnouveaure, si onpartsionpersion dendeur, lace casCes fonctions permettent d’estimer la solution de l’équation linéaire obtenue par les développements (22i.e.,Cm1 =ψk(x, t) ∂Cm0∂xk+Cm10(y, t) (29)L’expression finale du tenseur de dispersion implique la connaissance deV0k etψj . Comme les variations de masvolumiqueρ0 et de viscosité dynamiqueµ0 ne dépendent que des variables macroscopiques (Éq. (10)), aloV0kpeut être déterminée par intégration de l’Éq. (20) :V0k = 12µ0(∂P0∂xk− δk1Gρ0)(x23 − x3)(30)En moyennant cette expression selonx3, on obtient une relation analogue à la loi de Darcy généralisée :〈V0k〉 = − 112µ0(∂P0∂xk− δk1Gρ0)(31)En utilisant, dans l’Éq. (28), les expressions (30) et (31), les fonctionψk prennent alors la forme :ψk = εPe24µ0Dm0(∂P0∂xk− δk1Gρ0)[x23(x3 − 1)2 −130](32)Dans ces conditions, la forme finale deDhkj est :Dhkj = ε2Pe210〈Dm〉(1+ d〈ρ〉d〈Cm〉〈Cm〉〈ρ〉)〈Vk〉〈Vj 〉 (33)Injectée dans l’expression (27), cette dernière relation (33) permet alors d’obtenir les composantes dutenseur de dispersion :Dkj = 〈Dm〉Peδkj + ε2 Pe210〈Dm〉(1+ d〈ρ〉d〈Cm〉〈Cm〉〈ρ〉)〈Vk〉〈Vj 〉 (34)L’analyse du terme courant nous permet de noter que, si la condition imposée initialement, i.e., Pe∼ 1/ε, estrespectée, alors les contributions des termes diffusif et dispersif sont tout à fait comparables. En outconsidère le cas particulier :(i) le soluté injecté ne modifie la masse volumique de la zone de mélange(d〈ρ〉/d〈Cm〉 = 0),(ii) le coefficient de diffusion moléculaire reste constant(〈Dm〉 = 1),(iii) l’écoulement est unidirectionnel(〈V2〉 = 0 avec une vitesse constante〈V1〉 = 1),alors :(i) la condition Pe∼ 1/ε, réécrite sous la forme Pe 1/ε2 devient alors consistante avec celle imposéeTaylor [2] pour la validité de son modèle(b2V /HDm  1 , avecV la vitesse moyenne de l’écoulement ebetH les caractéristiques géométriques d’un tube de section droite circulaire),(ii) la composante longitudinaleD11 du tenseur de dispersion (34) est identique au coefficient effectif de diffude Taylor [2] exprimé sous sa forme adimensionnelle.Sous ces conditions, l’expression (34) doit être considérée comme la forme généralisée du tenseur de disTaylor pour un fluide à propriétés physiques variables.On note également que, si le nombre de Péclet à l’échelle macroscopique diminue d’un ordre de graforme du tenseur de dispersion, obtenue par un développement asymptotique de toute fonction «f » (9) jusqu’àl’ordre ε2, reste identique à la relation (34). Les effets induits par le terme dispersif deviennent dansnégligeables devant le terme diffusif.C. Felder et al. / C. R. Mecanique 332 (2004) 223–229 229e–Shawun fluidenstantessenté parnseur demettent de–203.7–226.lin, 1980.volution6. ConclusionsL’application d’une méthode de développement asymptotique par rapport à l’épaisseur d’une cellule Hela permis la généralisation du modèle classique de Taylor, rigoureusement valide pour le déplacement d’considéré comme « homogène », i.e., masse volumique, viscosité dynamique et diffusion moléculaire coà l’échelle spatio–temporelle, au cas d’un fluide à propriétés physiques variables. Le modèle est repréune équation de convection–dispersion portant sur les variables moyennées où la nouvelle forme du tedispersion dépend de la concentration. Les équations obtenues et injectées dans un code de calcul perdécrire de façon satisfaisante l’infiltration d’une solution saline dans une cellule de Hele–Shaw [6].Références[1] R. Aris, On the dispersion of a solute in a fluid flowing through a tube, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 235 (1956) 67–77.[2] G.I. Taylor, Dispersion of a soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 219 (1953) 186[3] J.L. Auriault, P.M. Adler, Taylor dispersion in porous media: Analysis by multiple scale expansions, Adv. Water Res. 18 (1995) 21[4] E. Sanchez-Palencia, Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, in: Lecture Notes in Phys., vol. 127, Springer-Verlag, Ber[5] H. Brenner, D.A. Edwards, Macrotransport Processes, Butterworth–Heinemann, London, 1993.[6] C. Otean, Ch. Felder, M. Panfilov, M.A. Buès, Transport with a very low density contrast in Hele–Shaw cell and porous medium: eof the mixing zone, Transport in Porous Media 55 (2004) 339–360.

Dispersion de Taylor généralisée à un fluide à propriétés physiques variables

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