Jean-Philippe Carlier

Philippe Ackerer

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

nce) pour lanamiquecomparéslimites surnalytiquesi.dn infinitehe resultsoundariespared toC. R. Mecanique 331 (2003) 693–698Solution analytique pour le transfert de masse entre puitsen milieu poreux hétérogèneJean-Philippe Carliera,b,∗, Philippe Ackereraa Institut de mécanique des fluides et des solides, UMR 7507 CNRS-ULP, Strasbourg, Franceb LUMEN-LEMTA, ESSTIN, Université Henri Poincaré, Nancy 1, 2, rue Jean Lamour, 54519 Vandoeuvre les Nancy cedex, FraReçu le 12 décembre 2002 ; accepté après révision le 8 avril 2003Présenté par Évariste Sanchez-PalenciaRésuméLa solution analytique développée par Dagan et Indelman (Water Resources Res. 35 (12) (1999) 3639–3647modélisation du transport d’un traceur en milieu poreux hétérogène de dimensions infinies et sous condition hydrodyd’un dipôle est généralisée par la prise en compte de conditions aux limites à flux nul. Les résultats obtenus sontà ceux correspondants au domaine infini ce qui permet de mettre en évidence une influence importante de cesl’élution au puits de pompage et de souligner les effets des paramètres de l’hétérogénéité du milieu. Les résultats asont enfin comparés à des données expérimentales de laboratoire et présentent une bonne adéquation avec ceux-cPour citercet article : J.-P. Carlier, P. Ackerer, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractAnalytical solution for mass transfer between wells in heterogeneous porous media. The analytical solution developeby Dagan and Indelman (Water Resources Res. 35 (12) (1999) 3639–3647) for modelling the transport of a tracer in aheterogeneous porous media in a dipole flow is extended by accounting for the presence of no flow finite boundaries. Tobtained are compared to those corresponding to the infinite domain, emphasizing the important influence of the bon the elution at the pumping well and the effect of the medium’s heterogeneity. The analytical results are then comexperimental data and provide good matching.To cite this article: J.-P. Carlier, P. Ackerer, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés :Milieu poreux ; Transfert de masse ; Conditions limites ; Stochastique ; DipôleKeywords:Porous media; Mass transfer; Limit conditions; Stochastic; Dipole* Auteur correspondant.Adresse e-mail :jean-philippe.carlier@esstin.uhp-nancy.fr (J.-P. Carlier).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droitsréservés.doi:10.1016/S1631-0721(03)00149-9694 J.-P. Carlier, P. Ackerer / C. R. Mecanique 331 (2003) 693–698ake the, amongof greatole flownalyticalrviousrandomand ofns at thetoction offirst tof travelfluencehroughvalue ofdeasingonductedm, andpollutionmet dea chargefonctionde plansdomainesoublet ennce dess obtenusAbridged English versionA stochastic approach of flow and transport equations in porous media is a convenient way to theterogeneity of local properties into account; thus it requires numerous hypothesis and simplificationswhich an unbounded flow domain and uniform mean velocity. For concrete applications, it is neverthelessinterest to study more specific geometries, and specifically bounded domains.The present work generalises a result obtained by Dagan and Indelman [3] for the particular case of dipin an heterogeneous porous medium with an investigation on the impact of no flow boundaries on the aexpression of the elution concentration.We will study flow and transport in a vein of porous medium of constant thickness bounded by two impeplanes where an injection and a pumping well are located (Fig. 1). Logconductivity is considered as aspace function of known mean〈Y 〉 = lnKG, varianceσ 2Y and autocorrelation axisymetric functionρY (R). Witha first order approach, a set of partial derivatives equations constituted of stochastic forms of Darcy’s lawmass conservation equation can be written. This system is then to be solved assuming zero flux conditiowalls and prescribed heads at both wells.If we now consider resident concentration at the pumping well,C(x, t), and assume the initial concentrationbe zero in the whole domain, and a given concentration at the injection wellC = C0(t), it can be shown thatC(x, t)can be expressed as the integral of the injection concentration times the marginal probability density funtravel time of a particle between the two wells.To evaluate this probability density function, the corresponding flow field in homogeneous medium hasbe calculated. Using a curvilinear system of coordinates, the values of the two first statistical moments otime can be simply deducted, leading to a semi-analytical expression of resident concentration.The elution curve plotted in Fig. 2 for a step injection in homogeneous medium emphasizes the large inof the existence of boundaries on the arrival time which decreases quickly as the channel tightens.In addition to this effect, heterogeneities in the logconductivity distribution result in an anticipated breaktat the pumping well and a smoother shape of the elution curve. This influence is all the more acute as theσ 2Y becomes large (within the limit of first order stochastic theories, assumed to beσ2Y < 1), and can be explaineby the setting of preferential flow path of low logconductivity.Similarly, a decreasingIY causes a larger spreading of the elution curve that can be explained by an incrnumber of heterogeneities encountered by a particle between the two wells.These theoretical results are finally compared to a set of experimental data obtained from eight tests con the MARCEAUS model [1], a large size laboratory device packed with a weakly heterogeneous mediushow a very good agreement in terms of breakthrough time and shape of the elution curve.1. IntroductionLe dispositif du dipôle pompage-injection connaît de nombreuses applications dans le domaine de la déde sols contaminés ou l’identification de paramètres [1]. L’utilisation d’une approche stochastique perprendre en compte l’hétérogénéité du milieu et d’obtenir les moments statistiques de la vitesse et de lautour d’un puits [2] ou d’accéder à une expression analytique de la concentration au puits de pompagede la concentration d’injection [3].Nous nous intéressons ici à l’extension du champ de cette solution analytique par la prise en compteimperméables limitant le domaine, ce qui permettra son application à des modèles de laboratoires dont lessont de faibles dimensions.Dans cette Note, nous présentons dans un premier temps la méthode de résolution du problème du dprésence de conditions aux limites simples et étudions l’impact de celles-ci sur la courbe d’élution. L’influeparamètres quantifiant l’hétérogénéité du milieu est ensuite mesurée. Nous appliquons enfin les résultatJ.-P. Carlier, P. Ackerer / C. R. Mecanique 331 (2003) 693–698 695lides dee de milieueesaux données expérimentales issues de MARCEAUS’ de l’Institut de Mécanique des Fluides et des SoStrasbourg (UMR CNRS–Univ. Strasbourg I 7507) [1].2. Calcul de la solution analytiqueOn utilise un système de coordonnées cartésiennes dans l’espace. L’écoulement se situe dans une veinporeux d’épaisseur constante entre deux puits d’injection et de pompage situés respectivement àx2 = −a/2, x1 = 0et x2 = +a/2, x1 = 0 (Fig. 1). On considère la logconductivitéY = lnK comme une fonction aléatoire dl’espace dont on connaît la moyenne〈Y 〉 = lnKG, la varianceσ 2Y et la fonction d’autocorrélation axisymétriqustationnaireρY (R) avecR2 = [(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2]/I2Y + (x3 − y3)2/I2v oùIY etIv sont les échelles intégralehorizontales et verticales, respectivement, définissant l’anisotropie statistique du milieue = Iv/IY . On décomposela logconductivité suivantY = 〈Y 〉 + Y ′, soit la somme d’un terme moyen et de fluctuations.On cherche alors à résoudre le système d’équations aux dérivées partielles suivant :– Conservation de la masse :∇ · V = f (1)avecf terme puits/source.– Conservation de la quantité de mouvement (loi de Darcy) :V = −KGnexp(Y ′)E (2)oùE = ∇H etn est la porosité supposée constante.– Avec les conditions limites suivantes :H =Hw pourx21 +(x2 + a2)2= r2w et H = −Hw pourx21 +(x2 − a2)2= r2w∇H(x)= 0 pourx2 = ±a/2, a étant la largeur du domaine.Fig. 1. Domaine d’étude.Fig. 1. Domain of study.696 J.-P. Carlier, P. Ackerer / C. R. Mecanique 331 (2003) 693–698sion à:urdant ene infini,espageogène,ansportSi l’on considère la variableC(x, t) concentration résidente locale [4] et en négligeant les effets de la disperl’échelle des pores [3], l’équation du transport d’un traceur devient :∂C∂t+ V · ∇C = 0 (3)que l’on résout avec les conditions initiales et aux limites suivantes :C = 0 pourt = 0 et C = C0(t) pourx ∈A0, t > 0A0 étant l’enveloppe du puits d’injection.L’expression du temps de parcoursτ d’une particule entre les deux puits est déterminée par intégration dedτ = dsV (s, b); τ = 0, s = 0 (4)où s est une abscisse curviligne sur la ligne de courant étudiée etb l’origine de la ligne de courant considérée sA0.Si on note alorsg(Vr0, τ ) la fonction de densité de probabilité jointe deVr0(vitesse à une distancer0 du puitsd’injection) et deτ , etgV (τ, b)= (1/U0)∫ ∞0 Vr0g(Vr0, τ )dVr0 la densité de probabilité marginale deτ (U0 vitessemoyenne surA0), la concentration résidente au puits de pompage peut s’exprimer comme :Cf (t)= 1A0∫A0t∫0C0(t0)gV (t − t0;b)dt0db (5)Pour déterminerg(Vr0, τ ), il est dans un premier temps nécessaire de résoudre le problème corresponmilieu homogène. En utilisant une méthode analogue à celle utilisée par Koplik et al. [5] pour un domainon obtient l’expression de la vitesse moyenneU :|U| =U = Q√2na√cosh2φ + cos2θ (6)En émettant l’hypothèse d’un milieu fortement anisotrope (e < 0,2 [3]), nous pouvons obtenir l’expression ddeux premiers moments statistiques deτ , puis après intégration celles de la concentration au puits de pompour un milieu homogène :– En réponse à un DiracC0(t) =m0δ(t) :C(hm)f (t′) = m0Qsin2 θa2(sin2θ − 2θ cos2θ)∗H(t ′ − 1π2)(7)et t ′ = 2θ/(π2 sin2θ), t ′ temps réduit avect = (πnl/Q)t ′– En réponse à un échelon de HeavisideC0(t) = C0H(t) :C(hm)f (t′) = θ(t′)πC0 (8)où θ(t ′) est l’inverse de l’expression précédente (7).3. Résultats3.1. Influence des conditions aux limites ; cas du milieu homogèneL’examen de la courbe d’élution, données par la Fig. 2 pour une injection de type échelon en milieu hompermet de quantifier l’influence importante de la présence des limites à flux nul sur l’écoulement et le trd’un traceur conservatif.J.-P. Carlier, P. Ackerer / C. R. Mecanique 331 (2003) 693–698 697raignentlors plusuned’autantde typerentiels,vitessesnrticulesduisant, àle modèlediques depuits dedant à laonsidérernus. Onès proches,Fig. 2. Concentration d’élution en milieu homogène. Injection éche-lon.Fig. 2. Elution concentration in homogeneous medium. Step injection.Fig. 3. Concentration d’élution pour différentes valeurs deσ2Y.Injection impulsion.Fig. 3. Elution concentration for differentσ2Y. Impulse injection.La courbe montre une arrivée plus rapide du traceur au puits de pompage : les frontières contl’écoulement qui ne peut avoir lieu que dans une partie restreinte du domaine où les vitesses sont aimportantes. Ces résultats sont semblables à ceux obtenus pour d’autres configurations [1].3.2. De l’influence des paramètres de l’hétérogénéité du milieuL’hétérogénéité du milieu (en supposantσ 2Y < 1, limite de validité généralement admise) se traduit parapparition anticipée du traceur au puits de pompage et à un plus grand étalement de la courbe d’élutionplus marqués queσ 2Y est grand. Cet effet peut être mis en évidence aussi bien en réponse à une injectionDirac (Fig. 3) qu’à un échelon.Physiquement, ce phénomène s’explique par le fait de l’apparition de chemins d’écoulement préfésuivant lesquels la conductivité hydraulique est supérieure à la conductivité moyenne, entraînant deslocalement plus importantes.On peut de la même manière mettre en évidence l’influence de l’échelle intégraleIY qui caractérise l’extensiospatiale deρY (R). Plus l’échelle intégrale est petite par rapport aux dimensions du système, et plus les pade polluant rencontreront successivement un nombre élevé de valeurs de perméabilités différentes, se traσ 2Y fixé, par un « étalement » de la courbe d’élution.Tous ces résultats sont conformes à ceux obtenus pour un domaine infini [3].4. Comparaison à des résultats expérimentauxLes résultats précédents sont comparés à ceux obtenus lors d’une série d’expériences effectuées surMARCEAUS [1], dispositif expérimental de grandes dimensions(L× l × h= 6× 1× 1 m3) contenant un milieuporeux composé de trois sables de perméabilités différentes qui sont disposés par blocs parallélépipé40× 10× 10 cm3 de manière pseudo-aléatoire, en ménageant une direction préférentielle d’écoulement.La Fig. 4 représente la concentration réduite en fonction du temps réduit la concentration d’élution aupompage pour les huit expériences menées en modifiant la localisation des puits et la courbe corresponréponse théorique pour un milieu homogène. L’hétérogénéité du milieu n’étant pas très marquée, on peut cque les résultats théoriques pour un milieu homogène doivent s’approcher de ceux effectivement obteconstate en effet que les temps de percée des courbes expérimentales et de la courbe théorique sont trles valeurs expérimentales étant légèrement inférieures du fait de l’hétérogénéité.698 J.-P. Carlier, P. Ackerer / C. R. Mecanique 331 (2003) 693–698traceurlisée parettre ene tempsénéité dun modèleférenceuis Pasteur159–182.ifer, Water, Chem.Fig. 4. Courbes expérimentales d’élution en milieu faiblement hétérogène.Fig. 4. Experimental elution curves for weakly heterogeneous medium.5. ConclusionLa solution analytique développée par Dagan et Indelman [3] pour la modélisation du transport d’unen milieu hétérogène de dimensions infinies et sous condition hydrodynamique d’un dipôle a été générala prise en compte de conditions aux limites à flux nul. Cette nouvelle solution analytique permet de mévidence l’importance de l’influence de ces limites sur l’élution au puits de pompage, et notamment sur ld’apparition du polluant.Cette méthode permet également de souligner l’influence des différents paramètres régissant l’hétérogmilieu (σ 2Y et IY ) qui vient s’ajouter à celle des limites.Ces résultats ont montré une très bonne adéquation avec ceux obtenus expérimentalement à l’aide d’ude laboratoire de grandes dimensions.De par la possibilité de réduire la dimension du domaine d’application, cette solution peut servir de répour les travaux numériques et d’aide pour l’interprétation d’expériences de laboratoire.Références[1] J.-Ph. Carlier, Etude du transfert de masse en milieu poreux par approche stochastique, Thèse de Doctorat de l’Université LoStrasbourg I, 2002, p. 158.[2] P. Indelman, G. Dagan, Solute transport in divergent radial flow through heterogeneous porous media, J. Fluid Mech. 384 (1999)[3] G. Dagan, P. Indelman, Reactive solute transport in flow between a recharging and a pumping well in a heterogeneous aquResources Res. 35 (12) (1999) 3639–3647.[4] A. Kreft, A. Zuber, On the physical meaning of the dispersion equation and its solutions for different initial and boundary conditionsEngrg. Sci. 33 (1978) 1471–1480.[5] J. Koplik, S. Redner, E.J. Hinch, Tracer dispersion in planar multipole flow, Phys. Rev. E 50 (6) (1994) 4650–4671.

Solution analytique pour le transfert de masse entre puits en milieu poreux hétérogène

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