Jean Piquet

Piquet, J.

HAL Descartes

Sur la fermeture des termes rapides pour les écoulements moyens rotationnels

Hal-Diderot

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

e. Mech. 18ions,conditionsntsanalealisabilityts].nC. R. Mecanique 331 (2003) 551–556Sur la fermeture des termes rapidespour des écoulements moyens rotationnelsJean PiquetLaboratoire de mécanique des fluides, UMR 6598 CNRS, École centrale de Nantes, BP92101, 44321 Nantes cedex, FrancReçu le 4 mars 2003 ; accepté après révision le 6 juin 2003Présenté par Pierre PerrierRésuméLa modélisation des écoulements turbulents homogènes rotationnels en moyenne, abordée dans Lumley (Adv. Appl(1978) 123–176), est effectuée sous la formeM∗ = M[b,y,Q∗] en fonction des anisotropies en composantes et en dimensb et y et de la stropholyse symétrisée. Une technique systématique de développement est mise en place. Desnécessaires de réalisabilité sont ensuite appliquées. Il est montré qu’aucune fonctionnelleM isotrope par rapport à ses argumen’est réalisable.Pour citer cet article : J. Piquet, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractOn the closure of rapid terms for rotational mean flows.The modelling of homogeneous turbulent flows with merotatio, considered in a previous Note, is handled under the formM∗ = M[b,y,Q∗] in terms of componental and dimensionanisotropies, and of the symmetrized stropholysis. A systematic technique of expansion is proposed. The necessary rconditions are then applied. It is shown that there exists no realisable functionalM which would be isotropic with respect to iarguments.To cite this article: J. Piquet, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.Mots-clés :Mécanique des fluides ; Turbulence ; Réalisabilité ; Pression-déformationKeywords:Fluid mechanics; Turbulence; Realisability; Pressure-strainAbridged English versionThe homogeneous turbulence modelling of the pressure-strain tensor,Tij , is usually based on the splitting [1This Note is concerned with the study of rapid term models based onMijpq as defined by (2) or, equivalently oits fully symmetrized partM ( ) as given by (3), under the formM ( ) = M[b, y, Q∗]. Besides the anisotropy,b ofReynolds stresses, other arguments are the dimensional anisotropy,y, and the purely symmetric stropholysis,Q∗.The general closure takes the form (7). Besides contributions which depend only onb or y, one can identify a thirdAdresse e-mail :Jean.Piquet@ec-nantes.fr (J. Piquet).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Publié par Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droitsréservés.doi:10.1016/S1631-0721(03)00124-4552 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 551–556pender withsceuotebreonnelleisotropiescontribution which does not depend onQ∗. A diagram technique is presented to obtain contributions that desimultaneously onb, y, Q∗, in an isotropic way. How the trace-free form,M∗, associated toM ( ), as deducedfrom the diagrams is shown on the expansion valid to the second order in terms of the small parameterh whichcharacterizes anisotropy. It is shown that componental realisability, which amounts to writing (12) togethM∗1jpq + Mg1jpq = 0 in principal axii ofb, whenb11 = −1/3, yields a polynomial expression forM∗1jpq in terms ofX := {b22, y11, y22, y12, y13, y23, Q∗222, Q∗333}. The condition that terms quadratic inX must vanish for all valueof X leads to the fact thatM∗1jpq is free from terms that are either linear inX or independent ofX. SinceMg1jpq isinvolved only with such terms, it follows that there is no isotropic functional of the formM∗ = M[b, y, Q∗] whichis realisable.1. IntroductionLa modélisation du tenseur des corrélations pression-déformationTij est un enjeu important en turbulenhomogène. Elle s’effectue à travers la décomposition [1] en partie lente,T (s)ij , et partie rapide proportionnelle agradient,V (a)p,q , de vitesse moyenne absolue. On est alors conduit classiquement à :2KTij := ρ−1p(ui,j + uj,i) = 2KT (s)ij + 4K(Mipqj + Mjpqi)V (a)q,p (1)Le problème de fermeture se pose alors pourT (s)ij et pour le tenseur du quatrième ordreMijpq , défini comme uneintégrale sur tous les nombres d’ondek dans l’espace spectral :2KMijpq :=∫kpkqk2Φij (k) dk (2)qui mesure la sensibilité au gradient de vitesse moyenne des corrélation linéaires pression-déformation.Φij (k) estle tenseur spectral des corrélations doubles de vitesse,K l’énergie cinétique de la turbulence. L’objet de cette Nest de formuler une loi de fermeture pour la partie,M ( ), totalement symétrisée deM ,M(ijpq) := 16〈Mijpq 〉; 〈Mijpq 〉 := Mipjq + Mipqj + Miqjp + Mpjiq + Mqjip + Mpqij (3)sous la formeM ( ) = M[b, y, Q∗] – les crochets〈· · ·〉 désignent l’opération de symétrisation totale, son nomde termes dépend des symétries partielles de la quantité avant symétrisation. Les arguments de la fonctiMmettent en jeu la stropholyse symétrisée [2] :Q∗ijk := 16〈Qijk〉 oùQijk := −uj ψik/2K = εipqMjqpk (4)où ψ désigne le potentiel vecteur des fluctuations de vitesseu. En turbulence homogène,Q a toutes sestraces partielles nulles, et il génère les tenseurs des corrélations doubles et de dimensionalité et les ancorrespondantesb et y en accord avec (5) :uiuj /2K = 13δij + bij =: εimpQmjp =∫Φij (k) dk/2K (5a)Yij /2K := ψk,iψk,j /2K =: 13δij + yij = εimpQpmj =∫kikjk2Φkk(k) dk/2K (5b)Nous avons vu dans [3] qu’il était plus simple d’étudier la fermeture sous la formeM∗ = M[b, y, Q∗], dans lamesure où toutes les traces partielles deM∗ sont nulles :M∗ijpq := M(ijpq) −[ 145〈δij δpq〉 + 142〈δij (bpq + ypq)〉](6)J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 551–556 553s ense estfixéedentsntropies.uitdesélisation2. La fonctionnelle symétriséeM[b,y,Q∗]Nous nous restreignons au cas d’une fonctionnelleM isotrope de ses arguments et nous la développonpuissances d’un (petit) paramètre h caractéristique de l’anisotropie,b = O(h), y = O(h), Q∗ = O(h), sous laforme :M∗ijpq ≡ Mijpq = M(0)ijpq [b] + M(0)ijpq [y] + Mxijpq [b, y] + M(1)ijpq [b, y, Q∗] + M(2)ijpq [b, y, Q∗]+ M(3)ijpq [b, y, Q∗] + M(4)ijpq [b, y, Q∗] + · · · (7)où l’indice supérieur (i) désigne l’ordre en stropholyse. La limitation au quatrième ordre en stropholyconsistante avec la limitation retenue àh4 du développement de la fonctionnelle. Cette particularisation estpour éviter d’avoir à tenir compte des développements enb, y d’ordre supérieur à deux. A cause du théorèmeCayley–Hamilton appliqué àb + Λy (∀Λ) – voir Appendice A –, les déviateursb et y génèrent un ensemble,L2,de 12 tenseurs indépendants du second ordre d’extension deux, un ensemble,L3, de deux tenseurs indépendad’extension trois et un ensemble,L4, de quatre tenseurs indépendants d’extension quatre [4]. Par exemple :L2 := {b, y, b2, y2, by, yb, b2y, yb2, by2, y2b, b2y2, y2b2}L3 := {b2yb, y2by}, L4 := {byby, ybyb, byb2y2, yby2b2} (8)Notons enfinSkw(2) l’ensemble des tenseurs antisymétriques du second ordre etLin(2) son complément,Sym(2)l’ensemble des tenseurs symétriques du second ordre.Les deux premiers termes (unidépendants) de (7) se composent de trois contributions. Par exemple :M(0)ijpq (b) = C(0)1(〈bij bpq〉 − 27〈δij b2.pq〉 − 435 II〈δij δpq〉) + C(0)2 (〈bij b2.pq 〉 + 67 II〈δij bpq〉 − 435 III 〈δij δpq〉)+ C(0)3(〈b2.ij b2.pq〉 − 27 III 〈δij bpq〉 + 2 II〈bij bpq〉)(9)La forme (9), dite forme unidépendante, est la seule contribution à laquelle se réduitM dans le cas d’un écoulememoyen irrotationnel. Elle dépend de trois scalaires,C(0)a , a = 1, 2, 3, fonctions des invariants deb, II := −{b2}/2,III := {b3}/3, où {.} désigne l’opération trace. Le troisième terme est un terme d’interaction entre anisotSi l’on considère deux tenseurs différents arbitraires,B & C ∈ Sym(2), la contribution à traces nulles du prodBij Cpq à Mxijpq est nécessairement de la forme (10) :〈Bij Cpq〉 − 27〈δij (BkpCkq + CkpBkq)〉 + 25(27{BC} − {B}{C})〈δij δpq〉 (10)Il suffit alors restreindreB et C à l’ensembleSym(2) ∩ L2 dans la mesure où les parties symétriquesextensions d’ordre plus élevé ne sont pas indépendantes. Il est alors facile de vérifier que la modMijpq = M(0)ijpq (b) + M(0)ijpq (y) + Mxijpq(b, y) n’est pas réalisable, ce qui justifie la présence des termesM (i), i  1,dépendant deQ∗. Ecrivons pour cela la contrainte de réalisabilité dimensionnelle surM . Le point de départ est :M1jpq = 0 si b1k = −δ1k/3 en axes principaux deb, ∀Q tel queQi1k = 0, Q2j3 = Q3j2, ∀y (11)Utilisant la décomposition canonique deQ, nous trouvons que la limite 2C impose que :Q∗1ik = − 118ε1ik − 13[ε1ipypk − ε1pk(ypi + bpi)]en axes principaux deb (12)Ainsi, deux composantes indépendantes seulement deQ∗ restent arbitraires dans la limite 2C, q2 := Q222 etq3 := Q333. Les autres composantes indépendantes valent, en axes principaux deb :Q111= 0, Q∗112= −13y13, Q∗113= 13y12, Q∗122= −23y23, Q∗123= − 118 + 13(y11 + 2y22 + b22)(13)554 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 551–556ntredeuxdeirir la basementsentaque typeOn vérifie que la réalisabilité dimensionnelle résulte deQ∗1jk[b1 = −13, y]b= −Q∗1jk[y1 = −13, b]yChaque coté est pris en axes propres deb or y indiqués par la notation[ ]b or [ ]y , respectivement. La décompositiocanonique pourM ( ) donne :Mijpq = M∗ijpq + Mgijpq avec (14a)Mgijpq = 12(εzpjQ∗ziq − εziqQ∗zpj) + M(0)ijpq + 145〈δij δpq〉 + 142〈δij (bpq + ypq)〉(14b)M(0)ijpq = 16[13(2δpqδij − δpjδiq − δqj δip) + 3(δqpbji + δij ypq) + (δqpyji + δij bpq) − δpj (yqi + bqi)− δiq(yjp + bjp) − δqj (ypi + bpi) − δip(yjq + bjq)](14c)si bien que la réalisabilité « en composantes » pourM∗, traduite parM∗1jpq = −Mg1jpq = −Mg1pjq (15)met en jeu les composantes indépendantes de la stropholyse :Mg1111= 2105 + 17y11; Mg1112= 114y12; Mg1113= 114y13; Mg1122= 170 − 17(y11 + y22 + b22);Mg1123= −17y23; Mg1222= 12q3 + 114y12; Mg1223= 12q2 − 17y13 (16)Les conditions de trace nulle fixent les autres composantes deM∗ devant s’annuler. Il en résulte que siM∗ nedépend pas deq2 et q3 (en repère principal deb) et donc deQ∗, la réalisabilité en composantes ne peut êsatisfaite. Nous avons donc démontré la nécessité deM(i).3. La technique de diagrammes et l’absence de fonctionnelle isotrope réalisableIntroduisons maintenant une méthode de diagrammes pour construire les termesM(i). Nous notons tout d’aborles tenseursBij ∈ Sym(2) par une barrei j, et les tenseursBij ∈ Lin(2) par une barre orientéei →−j .L’alternateur et la stropholyse symétrisée sont identifiés par les diagrammes ci-dessous :εijk = i Q∗ijk = W(B)i := Q∗ijkBjk = (17)Alors que la representation diagrammatique deM(0) et deMx est triviale (elle consiste en un ensemble de dbarres), les représentations pour les termesM(i) ne le sont pas. On constate tout d’abord qu’il n’existe pasdiagramme O(h) et qu’il existe un seul diagramme O(h2) alors qu’il existe cinq diagrammes d’ordre trois (voAppendice B) et douze diagrammes d’ordre quatre (omis pour des raisons de place) :〈εkimQ∗pqkBmj〉 ∼ (18a,b)A partir de chaque diagramme – tel (18b) – et de son générateur associé – tel (18a) –, il est possible d’obtenfonctionnelle définissant chaque contributionM(i). Pour ce faire, le générateur est combiné avec des groupetensoriels renfermant desδ – voir par exemple les termes [· · ·] dans (19) – de façon à obtenir un groupemtotalement symétrique dont toutes les traces sont nulles. La dernière étape est de construire à partir de chJ. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 551–556 555enddonc 21ts9)–onstantsepasgumentLumley,rope paroncernerpossiblemeconvenable, le développement complet. Détaillons à titre d’exemple la procédure sur l’ordreh2. La forme adéquatcorrespondant au générateur (18a) s’écrit :M(1)ijpq [B] :=〈εkimQ∗pqkBmj〉 − 27[εkrmBmr 〈δij Q∗pqk〉 − Bmr〈δij (εkpmQ∗krq + εkqmQ∗krp)〉](19)si bien qu’il existe deux termes dans le développement correspondant respectivement àB = b et B = y. La mêmeprocédure peut être utilisée pour calculer les termes quadratiques enQ∗. Un seul diagramme existe, il correspoau générateur〈q(4)ijpq 〉 où l’on a défini :q(4)ijpq := Q∗ijkQ∗pqk; q(2)ij := Q∗imkQ∗jmk − 13Q∗2δij ; Q∗2 := Q∗imkQ∗imkLe seul groupement quadratique enQ∗ s’écrit :M(2)ijpq [Q∗] :=〈q(4)ijpq〉 − 27〈δij q(2)pq〉 + 215〈δij δpq〉Q∗2 (20)Le modèle complet au second ordre, qui dépend de six fonctions scalaires des invariants deb et dey, s’écrit alors :Mijpq = Cb(0)1[〈bij bpq〉 − 27〈δij b2.pq〉 − 435II〈δij δpq〉] + Cb(1)1 M(1)ijpq [b]+ Cy(0)1[〈yij ypq〉 − 27〈δij y2.pq〉 − 435IIy〈δij δpq〉] + Cy(1)1 M(1)ijpq [y]+ Cb(0)1[〈bij ypq〉 − 27〈δij (bkpykq + bkqykp)〉 + 435{by}〈δij δpq〉] + CQ0 M(2)ijpq [Q∗] (21)A l’ordre h3, on trouve 21 termes indépendants résultant des diagrammes donnés dans l’Appendice B (etfonctions scalaires des invariants, conjoints ou non) et 142 termes à l’ordreh4 (c rtains sont toutefois redondanen raison du théorème de Cayley–Hamilton [3] pourQ∗). Si nous substituons (12), (13) dans les Éqs. (1(21), nous obtenons pourM∗ijpq un polynome du second degré par rapport aux variables indépendantesX :={b22, y11, y22, y12, y13, y23, q2, q3}. Pour que la condition (15) soit satisfaite∀X, les termes quadratiques enXd’un tel polynome doivent être tous nuls. A elle-seule, cette contrainte impose ipso-facto que les termes cou linéaires par rapport àX dansM∗1jpq s’annulent tous en axes principaux deb. Ce résultat, obtenu à l’aidde MAPLE©, est valable pour les trois fonctionnellesM jusqu’à l’ordreh4 inclus. A l’ordreh2, (21) conduit enparticulier à :Cb(0)1 = Cb(1)1 = Cy(0)1 = Cy(1)1 = Cb(0)1 = CQ0 = O(%p) (22)CommeMg1jpq est linéaire enX, il s’en suit que la condition (15) ne peut être satisfaite et donc qu’il n’existede fonctionnelleMijpq , isotrope par rapport à ses arguments, qui soit componentalement réalisable. L’arreste également valable si l’on exige seulement la condition (moins exigeante) de réalisabilité au sens deM∗11pq = 0 en axes principaux deb, dans la limiteb11 = −1/3 (condition nécessaire pour que db11/dt = 0).4. ConclusionNous avons établi dans cette Note une méthode systématique d’expansion d’une fonctionnelle isotrapport à plusieurs arguments, au moyen d’une technique diagrammatique. La réalisabilité apparaît cdeux conditions distinctes, dites « en composantes » et dimensionnelle. Contrairement à ce qu’il estde démontrer dans le cas unidépendant,M = M[b], une fonctionnelle multidépendante isotrope de la forM∗ = M[b, y, Q∗] ne peut être réalisable.556 J. Piquet / C. R. Mecanique 331 (2003) 551–556s autresceteurs.ier a la14.Appendice A. Théorème de Cayley–HamiltonSi l’on applique le théorème de Cayley–Hamilton àb+Λy (∀Λ), le résultat est un polynome d’ordre trois enΛqui doit être identiquement nul. Il en résulte la condition :bqnynkbkp + b2.qkykp + b2.pkykq = {by}bqp − IIypq + {b2y}δpq (A.1)On trouve par prémultiplication de (A.1) parbiq que :b2.inynkbkp + biqyqkb2.kp = {by}b2.ip + {b2y}bip − III yip (A.2)qui montre que l’une des deux extensions du troisième ordre dans (A.2) s’exprime en fonction de l’autre. Lerelations nécessaires se déduisent de façon analogue de (A.1) en remplaçantb ou y par un autre tenseur de tranulle (par exemple,b parb2 + 2II δ/3) ou par échange deb et dey (et donc de II et de IIy := −{y2}/2).Appendice B. Diagrammes d’ordre troisConsidérons tout d’abord lestermes linéaires enQ∗. Cinq diagrammes peuvent être formés. Le vecV(B)i = εijkBjk , B ∈ Skw(2), remplacé parW(B)i = Q∗ijkBjk , B ∈ Lin(2), fournit un diagramme d’ordre troiquadratique enQ∗. L’invariant {B∗C} := εijkQ∗pqkBipCjq est un invariant conjoint O(h3), linéaire en stropholyse〈Q∗ijkV(B)i〉 ∼ Ckl 〈εlmiQ∗pqkBmj 〉 ∼〈Q∗pnkCnqεkmiBmj〉 ∼ εimk 〈Q∗pqkBmj Cni 〉 ∼Bkl〈Cij Q∗pjmεmlq〉 ∼ {B∗C} :=Les termes quadratiques enQ∗ mettent en jeu quatre diagrammes, dont les générateurs sont omis. Le dernmême forme que le premier des diagrammes quadratiques.Il existe un seul diagramme cubique en stropholyse. Il est donné par (18b) avecB = q(2).Références[1] J.L. Lumley, Computational modeling of turbulent flows, Adv. Appl. Mech. 18 (1978) 123–176.[2] S.C. Kassinos, W.C. Reynolds, M.M. Rogers, One-point turbulent structure tensors, J. Fluid Mech. 428 (2001) 213–248.[3] J. Piquet, L’équation de la stropholyse, C. R. Mecanique 331 (2003) sous presse.[4] G.F. Smith, On isotropic functions of symmetric tensors, skew-symmetric tensors and vectors, Intern. J. Eng. Sci. 9 (1981) 899–9