Bruno Després

Constant Mazeran

Comptes Rendus Mécanique (CRM)

oservationes, basedneralizedtestructuree classe deé d’exposé,space.commeespace,e systèmethéoriqueC. R. Mecanique 331 (2003) 475–480Symmetrization of Lagrangian gas dynamic in dimension twand multidimensional solversBruno Desprésa, Constant Mazeranba Laboratoire Jacques-Louis Lions, 175, rue du Chevaleret, Université de Paris VI, 75013 Paris, Franceb Commissariat à l’énergie atomique, 91680 Bruyères le Chatel, FranceReceived 28 February 2003; accepted after revision 19 May 2003Presented by Olivier PironneauAbstractWe propose a new formulation of multidimensional Euler equations in Lagrange coordinates as a system of conlaws associated with free-divergent constraints. This formulation leads to a natural class of entropic Lagrangian schemon a multidimensional node solver. For the sake of simplicity the study is done in 2D, but most of the ideas can be gein 3D. To cite this article: B. Després, C. Mazeran, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.RésuméSymétrisation de la dynamique des gaz en dimension deux et solveurs multidimensionnels. Nous proposons dans cetNote une nouvelle formulation de la dynamique des gaz multidimensionnelle en coordonnées lagrangienne sous lad’un système de lois de conservation associées à des contraintes de divergence nulle. Ce formalisme conduit à unschémas lagrangiens entropiques basé sur un solveur aux noeuds multidimensionnel. Pour des raisons de simplicitl’étude est présentée en dimension deux d’espace. La plupart des idées peuvent se généraliser en dimension trois d’ePourciter cet article : B. Després, C. Mazeran, C. R. Mecanique 331 (2003). 2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.Keywords:Computational fluid mechanics; Multidimensional Euler equationsMots-clés :Mécanique des fluides numérique ; Gaz multidimensionnelleVersion française abrégéeIntroduction. Les résultats présentés dans cette Note sont extraits de [1] et peuvent être considérésl’extension multidimensionelle non triviale de [9]. Nous restreignons la présentation à la dimension deux d’mais la plupart du matériel se généralise sans peine en dimension trois. En coordonnées eulériennes, lde la dynamique des gaz (1) est mathématiquement bien posé et a été longuement étudié sur le planE-mail addresses:despres@ann.jussieu.fr (B. Després), constant.mazeran@cea.fr (C. Mazeran).1631-0721/$ – see front matter 2003 Académie des sciences. Published by Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rightsreserved.doi:10.1016/S1631-0721(03)00112-8476 B. Després, C. Mazeran / C. R. Mecanique 331 (2003) 475–480vénientntinuitése dans sonproblèmess souffreespace,el dans leionnelles,u’aucun,10],rvative (2).sté prouvérdonnéesnouvellesphysiquese à ladans [3].lagrangienettre en. Le pointparties duclasseguident’entropiedegrés dermee(6) dèsnditionr acheveronservatiférer lesnœuds quimériques.om theor asociatedproachet numérique (voir par exemple [4] pour une référence générale). Toutefois au niveau numérique l’inconinhérent à ce système de coordonnées est d’introduire une diffusion excessive, régularisant les discophysiques. Au contraire le système de coordonnées lagrangiennes, dont le principe est de suivre la matièrdéplacement, s’affranchit de ce désavantage et se révèle, en théorie, particulièrement bien adapté auxde frontières libres. Il est cependant connu que la dynamique des gaz en coordonnées lagrangienneencore du manque d’un formalisme intrinséquement multidimensionnel. Au-delà de la dimension un d’le système d’équations a toujours été étudié sous une forme non conservative, avec opérateur différentirepère eulérien. Du point de vue numérique ceci se traduit par des méthodes essentiellement uni-dimensconstruites à partir d’un « splitting » directionnel et de solveurs de Riemann un-D. Force est de constater qsolveur réellement multidimensionnel, justifié sur la plan théorique, n’a été validé jusqu’à présent.Formalisme canonique et symétrisation.Notre idée de départ est d’exploiter la remarquable observation de [2consistant à écrire le système de la dynamique des gaz (1) dans le repère lagrangien sous la forme conseLe système obtenu peut-être vu comme un système de lois de conservationphysiquesetgéométriques, ces dernièretraduisant la correspondance entre repère eulérien et lagrangien. Le résultat frappant est que (2) a én’être que faiblement hyperbolique, alors que le système des équations d’Euler est hyperbolique en coeulériennes. Nous en déduisons que l’entropie physique n’est pas strictement concave en fonction desinconnues de (2). Nous savons par contre qu’elle est strictement concave en fonction de ses argumentsusuels [4]. En remarquant queS est une entropie pour (2) associée à un flux nul, notre idée est d’étendrdimension 2 la forme canonique des systèmes de lois de conservation avec flux d’entropie nul proposéeCette généralisation est en effet possible (Théorème 2.1) et donne au système de la dynamique des gazune structure multidimensionnelle canonique (4)–(6). Ce qui distingue notre approche de [2] est de mévidence et de considérer comme partie intégrante du formalisme les contraintes de divergence nulle (6)essentiel est que ce sont précisément ces contraintes différentielles qui permettent de découpler les deuxsystème (4), et de prouver que (4) est symétrisable.Construction d’un schéma multidimensionnel.Sur cette assise théorique, nous cherchons à construire unede schémas numériques de type volume-finis avec solveurs multidimensionnels. Trois principes naturelscette construction : conserver la masse de chaque cellule, satisfaire la condition locale de production det assurer au schéma d’être conservatif. La première question qui se pose est de savoir où placer lesliberté des inconnues. Nous choisissons de discrétiser les inconnuesgéométriquesur lesarêtesdes cellules, caelles satisfont à des conditions de divergence. Les variablesphysiquesétant quant à elles les inconnues du systède lois de conservation classique (4), elles sont approchées par leurmoyenne sur la cellule. Nous proposons undiscrétisation de la deuxième partie de (2) qui assure pour tout temps la condition de divergence nullelors qu’elle est vérifiée à l’instant initial (Proposition 3.1). La discrétisation de (4) est fondée sur une cosuffisante de conservation de la masse (Proposition 3.2) et conduit à la formulation aux nœuds (12). Poula définition du schéma nous construisons les flux aux nœuds sous les critères d’entropie et de caractère c(Proposition 3.3). Un fait remarquable est que la condition d’entropie, inspirée de [3], permet de reconsidsolveurs de Riemann aux faces utilisés classiquement et d’envisager toute une classe de solveurs auxsont adaptés au cas considéré. Afin d’illustrer cette nouvelle approche nous présentons deux exemples nu1. IntroductionThe results presented in this Note come from [1]. Gas dynamic in Lagrange coordinates still suffers frlack of an intrinsic multidimensional formulation, from both the theorical and numerical point of view. Flong time it has been usually written as a system of non-conservative PDEs with eulerian derivatives, aswith geometrical equations for displacement of the moving frame. At the numerical level, the traditional apB. Després, C. Mazeran / C. R. Mecanique 331 (2003) 475–480 477re localnormallacementmpatibilitysake ofm of gaslic (cf.Let usservationntropydesirebut totintconsists in solving 1D-Riemann problems on each edges of a triangulation, as if the problem was a puone-d problem. A drawback of such a method is that the Riemann solver provides only face-centeredcomponent velocities, whereas velocities are needed at nodes to move the mesh. Moreover this dispremains a problem, at least because usual techniques are not mass preserving. This can be seen as an incobetween node velocities and Riemann edges velocity.2. Canonical formalism and symmetrizationThe starting idea (see [2]) is that the Euler system for compressible gas dynamics∂t (ρ) + ∂x(ρu) + ∂y(ρv) = 0∂t (ρu) + ∂x(ρu2 + p) + ∂y(ρuv) = 0∂t (ρv) + ∂x(ρuv) + ∂y(ρv2 + p) = 0∂t (ρe) + ∂x(ρue + pu) + ∂y(ρve + pv) = 0(1)can be rewritten as a system of conservation laws in the initial Lagrangian frame. Let us assume for thesimplicity that the pressure law is given by the perfect gas approximationp = (γ − 1)ρ(e − 12u2 − 12v2) so that(1) is closed, but other choices are possible provided there are thermodynamically consistant. The systedynamics (1) can be rewritten:∂t (ρJ ) = 0∂t (ρJ u) + ∂X(pM) + ∂Y (−pB) = 0∂t (ρJ v) + ∂X(−pL) + ∂Y (pA) = 0∂t (ρJ e) + ∂X(puM − pvL) + ∂Y (pAv − pBu) = 0and∂tA − ∂Xu = 0∂tB − ∂Xv = 0∂tL − ∂Y u = 0∂tM − ∂Y v = 0(2)where the set(A,B,L,M) gives the entries of the Jacobian matrix∂(x,y)∂(X,Y )A = ∂Xx, B = ∂Xy, L = ∂Y x, M = ∂Y y (3)and J denotes its determinant. A drawback of (2) is that the system proves to be only weakly hyperbo[2,10]), which may appear as striking since it is well known that the Euler equations are hyperbolic.define the physical entropy with the fundamental law of thermodynamicsT dS = dε + p dτ , whereτ = ρ−1 ande = ε + (u2 + v2)/2. We deduce from the lack of hyperbolicity that the physical entropyS cannot be strictlyconcave in function of all unknowns(ρJ,ρJ u,ρJ v,ρJ e,A,B, L,M).We guess that (2) could probably be considered as an extension of the class of one-d system of conlaws with a zero entropy flux studied in [3]. We just recall that one-d system of conservation laws with zero eflux, Galilean invariance and reversibility for smooth solutions find a canonical formalism, see [3]. Since wethe physical entropy to be strictly concave in function of the unknowns of the system, it leaves little choicechooseU = (τ, u, v, e)T as the principal unknown. Then it is well known thatS(U) is strictly concave with respecto U [4]. Following [3] we defineΨ = (p,−u,−v)T and find the canonical structure of the system:Theorem 2.1. System(2) can be rewritten:ρ0∂tU + ∂X(BXΨ−12(Ψ,BXΨ ))+ ∂Y(BY Ψ−12(Ψ,BY Ψ ))= 0, given thatρ0 = ρ(t = 0, X, Y ), with (4)BX =( 0 M −LM 0 0−L 0 0)and BY =( 0 −B A−B 0 0A 0 0)(5)Both matrices are symmetric but nonconstant. However there are linked with the free divergent constra∂XBX + ∂YBY = 0 (6)478 B. Després, C. Mazeran / C. R. Mecanique 331 (2003) 475–480elaws withunov [5]namicssfystructurel, buthosenforteAs forchoosenereteProposition 2.2. Assume that the free divergence constraint(6) holds att = 0. Then the system of Eqs.(4) is wellposed in the sense that(4) is symmetrizable and the system∂tA − ∂Xu = 0∂tB − ∂Xv = 0∂tL − ∂Y u = 0∂tM − ∂Y v = 0(7)for the evolution of(A,B,L,M) is integrable and well posed.Actually (4)–(7) is decoupled, sinceU is the unknown of the symmetrizable system (4) and(A,B,L,M) is theunknown of the decoupled system (7) whose fluxes are linear function ofU . To our knowledge, it is the first timthat Euler equations written in Lagrange coordinate are considered as a hyperbolic system of conservationdifferential constraints. Let us quote, however, that this class of system as for long been considered by Godand Boillat [6]. Actually the canonical structure (4) is also shared by the system of ideal magnetohydrodyin dimension two and three [7]). We immediatly get:Lemma 2.3. Let p be a thermodynamically consistant pressure law. For all systems of the form(4)–(6) then theentropy flux is zero, that is smooth solutions of(2)–(7) satisfy∂t S = 0 whereas discontinuous solutions sati∂t S  0.3. Construction of a 2D solverThis section is devoted to the presentation of a a finite-volume scheme based upon the mathematicalof (4)–(6), (7). Let us consider a mesh in the(X,Y ) plane, whose current cell is notedj (its current neigbour isk). The surface of the cellΩj is sj . In most of practical calculations, cells are either triangular or quadrilaterathis is not important in this presentation. An edge between two cells is referred to with its cell numbersjk: as anexample the length of the edge between the cellΩj and the cellΩk is ljk . Similarly the outgoing normal fromΩjto Ωk is njk = (nXjk, nYjk). We also need a notation for the nodes. In order to simplify the notation, we have cto use the lettersr ands only for nodes: for example the edgejk connects necessarily two nodes, referred toexample as the node numberr and the node numbers. As A, B, L andM satisfy divergence equations, we locatheir degree of freedom on the edges and noteAjk,Bjk, . . . their approximate averaged on the edgejk at timet .This is a very important difference compared with [2] where this quantities are discretized inside the cell.U , since it is a classical unknown of a classical system of conservation law, its degrees of freedom areinside the cell; we noteUj the approximate averaged value ofU in the cellj at timet .3.1. Discretization of (6), (7)Let us define on each edgeCjk = nXjkMjk − nYjkBjk andDjk = nXjkLjk − nYjkAjk . The discrete free divergencconstraint can be expressed:∑kljkCjk =∑kljkDjk = 0 (8)Assuming that the velocity(ur , vr ) at each noder is a degree of freedom of the method, the natural discequation forC andD are∂tCjk = vs − vrljkand ∂tDjk = us − urljk(9)where(r, s) are the positive-oriented vertices of edgejk.Proposition 3.1. Assume that(8) holds at initial time. Then, whatever the node velocities(ur , vr ), it holds at alltime for all solutions of(9).B. Després, C. Mazeran / C. R. Mecanique 331 (2003) 475–480 479alizedteyertclass ofetety. Thelar cells.and wensionaletricalwall actsmesh.heas3.2. Discretization of (4)A natural continuous in time finite volume discretization of (4) issj ρ0j ∂t Uj +∑kljk[nXjk( BXjkΨjk−12(Ψjk,BXjkΨjk))+ nYjk( BYjkΨjk−12(Ψjk,BYjkΨjk))]= 0 (10)whereΨjk is still unknown. We have given in the introduction some reasons why we need a node locformulation; we first decide to construct some ‘fluxes’ on nodes under the conservation of mass criteria.Proposition 3.2. Let us rely the choice ofΨjk to the choice ofΨjr,s by Ψjk = (Ψjr + Ψjs)/2 and replace(Ψjk,BXjkΨjk) by12(Ψjr ,BXjkΨjr ) + 12(Ψjs,BXjkΨjs). Then the finite-volume method(10) is mass preserving. Leus introduceljr (a length) andθjr (an angle) such thatMjk = ljknXjkBXjk + ljknYjkBYjk, Njr =12Mjk+ + 12Mjk− = ljr( 0 cosθjr sinθjrcosθjr 0 0sinθjr 0 0)(11)In (11) k+ andk− refer to some edge numbers such that the edge-node-edge sequencejk−, r, jk+ is positivelyoriented. With these notations we get a fully node localized formulationsj ρ0j ∂t Uj +∑r(NjrΨjr−12(Ψjr,NjrΨjr ))= 0 (12)Since the velocity(ur, vr ) is needed to move the mesh andΨ = (p,−u,−v)T, it is reasonable to imposujr = ur andvjr = vr at each noder. We achieve to constructΨjr by two criteria: stability via entropy inequalitand conservativity.Theorem 3.3. There exist a local definition of fluxΨjr such that the scheme(12) is entropic and totally conservativ(see[1]): ∂tSj  0, and∂t (∑j sj ρ0j Uj ) = 0: heresj ρ0j = sj (t)ρj (t) is constant.This kind of property is based on the splitting of each symmetric matrixNjr into a symmetric non positive paand a symmetric non negative part [3]. Such a decomposition is, of course, non unique, which brings aentropic schemes. We do not give an explicit construction ofΨjr here, and refer the reader to [1] for a complpresentation. This in turn implies some positivity properties for both the internal energy and the densischeme is locally conservative for all variables.Proposition 3.4. The global scheme(9)–(12)written in the Lagrangian reference frame(X,Y ) has a completeinterpretation as a scheme written on a moving mesh in the Eulerian reference frame(x, y).We then study the 2D plane Sod shock tube, on a regular mesh composed of three layers with rectanguAs expected on such a symetric mesh, the scheme preserves the unidimensional character of the flowobserve that it exactly degenerates on a one-dimensional scheme. We provide in Fig. 1almost convergedsolutionsobtained with 3× 1000 cells, to illustrate the stability of the method. The node flux is onlye order. We thenrun the Saltzman test problem [8], which consists in solving a one-dimensional problem on a two-dimenonuniformly distorded mesh made with distorded quadrangular cells. It thus points out the purely geomerrors generated by Lagrangian codes. The problem consists of a rectangular box whose left-hand sideas a piston with a constant velocity. The one-dimensional symmetry is broken by an initial nonuniformFig. 2 illustrates the Lagrangian mesh at timet = 0.5 for an usual finite-volume method and new one’s. Ttradional approach fails at time 0.6 due to an excessively distorded mesh (0.8 for other codes, see [8]), where480 B. Després, C. Mazeran / C. R. Mecanique 331 (2003) 475–480fter threee veryration.(1999)ceedings,agation) 721–724.Fig. 1. 2D Sod shock tube at timet = 0.14; Almost convergedsolutions with the node solver approach.Fig. 1. Le tube à choc de Sod àt = 0,14 : les solutions « presque convergées » avec la nouvelles approche.Fig. 2. Saltzman test problem; Lagrangian mesh at time= 0.5.Fig. 2. Le problème de Saltzman ; la maille de Lagrange àt = 0,5.the new scheme almost preserves the unidimensional symmetry. It thus allows us to run the simulation areflections, untilt = 0.96. Preleminary numerical results, realized with a particular choice of scheme, arencouraging and will go on. Some of the ideas can be directly generalized in dimension three.References[1] B. Després, C. Mazeran, Symmetrization of multidimensional Lagrangian gas dynamics and multidimensional solvers, in prepa[2] W.H. Hui, P.Y. Li, Z.W. Li, A unified coordinate system for solving the two-dimensional Euler equations, J. Comput. Phys. 153 (2)596–637.[3] B. Després, Lagrangian system of conservation laws, Numer. Math. 89 (2001) 99–134.[4] E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer, New York, 1996.[5] S.K. 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Symmetrization of Lagrangian gas dynamic in dimension two and multidimensional solvers

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