Esta tesis se enmarca dentro del Análisis de Datos Funcionales (FDA) que adapta las técnicas estadísticas clásicas a situaciones en que los datos son funciones.
El objetivo general es aplicar métodos del Análisis de Datos Funcionales al estudio de problemas de geoposicionamiento. En cierta medida, el trabajo que se presenta, tiene un enfoque de carácter metodológico, que queda de manifiesto en el capítulo dedicado a la red SPINA. El aplicar técnicas FDA a datos GPS se justifica, desde un punto de vista conceptual, en que, dichas mediciones se corresponden con una monitorización de una magnitud cuya concreción matemática es una curva.
Al comienzo de la tesis se revisan los elementos básicos del FDA, desde la elección de la métrica, hasta la adaptación de las técnicas descriptivas del caso vectorial al funcional. Así, analizamos métricas y semimétricas funcionales en espacios de Hilbert, incluyendo la semimétrica basada en derivadas y la semimétrica basada en componentes principales funcionales. Se realiza un análisis detallado del proceso de suavizado a partir de las distintas bases de funciones. Se repasan los estadísticos sobre una función y los estadísticos sobre una muestra de funciones, teniendo especial interés la covarianza (y la correlación) entre dos muestras de funciones de dos variables. Se detallan los principales aspectos del Análisis Funcional de Componentes Principales y, finalmente, se hace una revisión de los métodos de clasificación no supervisada en el caso funcional.
A continuación, se analizan la naturaleza y las particularidades de los datos geodésicos, en general, y el "sistema de posicionamiento GPS", en particular. Una parte importante está dedicada a la identificación y tratamiento de los errores, tanto sistemáticos como aleatorios. También se detalla el esquema de "Procesado de las observaciones GNSS-GPS" mediante el software de procesamiento de datos geodésicos Bernese. Finalmente se trata la depuración de datos GPS y la posterior reconstrucción o imputación de los mismos mediante filtros Kalman.
La siguiente parte de este trabajo está dedicada al análisis de los datos de posicionamiento suministrados por la red geodésica SPINA (Sur de la Península Ibérica y Norte de áfrica). Como ya se ha comentado, es un trabajo con un enfoque claramente metodológico, donde se detallan todos los pasos a dar al aplicar técnicas FDA. El contenido de esta parte es una adaptación del artículo publicado en el año 2018 en la revista "Mathematical Geosciences" con el título "Analysis of a GPS network based on Functional Data Analysis". Es uno de los primeros trabajos publicados donde se tratan datos de carácter geodésico usando métodos FDA. Entre otras aportaciones, se hace una propuesta original de depuración de datos, para luego imputar en base al error en las mediciones aportado por el software Bernese.
"Relación funcional entre deformación y sismicidad en El Hierro", constituye también una aplicación del FDA, en este caso a un problema que combina los movimientos sísmicos y la deformación geodésica. Al igual que en el caso anterior se trata de la transcripción de un artículo que, a fecha de hoy, se encuentra en segunda revisión. Los datos proceden del suceso que tuvo lugar en la isla de El Hierro alrededor de octubre de 2011 y cuyo evento principal fue la erupción submarina ocurrida el 10 de octubre de dicho año. El objetivo principal fue relacionar la sísmica con la deformación registrada en la zona, al objeto de modelar un sistema de alerta. En este trabajo se incluye una de las aportaciones originales de la tesis, que es la introducción de una medida de correlación funcional.
Por último, se recogen las principales conclusiones del trabajo, las limitaciones del estudio y la exposición de las principales líneas de trabajo abiertas, que se pretenden abordar en un futuro inmediato.This thesis falls within the Functional Data Analysis (FDA), which adapts classical
statistical techniques to situations where data are functions. The general objective
of this work is to apply functional data analysis methods to the study of geolocation
problems. The work presented has a methodological approach, which is evident in
the chapter dedicated to the SPINA network. Applying FDA techniques to data from
GPS measurements is justi ed, from a conceptual point of view, because these measurements correspond to a monitoring process of a magnitude whose mathematical
concretion is a curve.
At the beginning of the thesis, the basic elements of the FDA are reviewed, from the
choice of the metric to the adaptation of the descriptive techniques of the vectorial
case to the functional case. Thus, we analyze functional metrics and semimetrics in
Hilbert spaces, including the semimetric based on the derivatives and the semimetric
based on the functional principal components. A detailed analysis of the smoothing
process is performed from the di erent function bases. The statistics on a function
and the statistics on a sample of functions are reviewed, with special interest in the
covariance (and the correlation) between two samples of functions of two variables.
The main aspects of the Functional Analysis of Principal Components are detailed
and, nally, a review of the unsupervised classi cation methods in the functional
case is made.
Next, the nature and particularities of geodetic data in general, and the GPS positioning system in particular, are analyzed. An important part is dedicated to the
identi cation and treatment of errors, both systematic and random. The scheme of
Processing of GNSS-GPS observations by using Bernese geodetic data processing
software is also detailed. Moreover, the cleaning of GPS data and the subsequent
reconstruction or imputation of the same by using a Kalman lter is treated.
The following part of the work is devoted to the analysis of the positioning data
provided by the SPINA geodetic network (South of the Iberian Peninsula and North
of Africa). As already mentioned, it is a work with a clearly methodological approach,
which details all the steps to be taken when applying FDA techniques. The content
of this part is an adaptation of the article published in 2018 in the magazine
Mathematical Geosciences with the title Analysis of a GPS network based on
Functional Data Analysis. It is one of the rst published works where geodetic
data is processed through FDA methods. Among other contributions, an original
proposal for data cleaning is made, and then imputed based on the measurement
error provided by the Bernese software
