The structure of the translationally-invariant diagrammatic perturbation theory for one polaron is examined on the 1D discrete lattice described by the Holstein Hamiltonian. The latter is characterized by the electron hopping t, the phonon frequency ω0 and the electron-phonon coupling g. It is shown that the polaron localization (and translation) properties are contained in the electron propagator of one electron, intermittently added to the lattice, and/or in the phonon correlation function with one electron permanently present in the lattice. The order by order analysis in g/ω0 shows that the expansion of the irreducible electron self-energy corresponds to the expansion of the phonon correlation function, rather than of the irreducible phonon self-energy. The range of polaronic correlations is determined in this way. For small t/ω0 and already to the second order g/ω0 small, the electron-lattice correlation becomes very short ranged, i.e. the polaron is already localized to one site, although the overall translational symmetry remains unbroken. For large t/ω0, the second order result is meaningful up to large g/ω0 ≈ (t/ω0) 1 4 , where it becomes degenerate with the results for the large adiabatic Holstein polaron. This suggests that the translationally invariant perturbation theory crosses then over smoothly, without symmetry breaking, into the adiabatic, continuous quantum limit, as rigorously demonstrated in the companion paper. Thus the quantum theory of the large adiabatic Holstein polaron provides a simple, instructive example of the quantum crossover which replaces the behavior in the quantum critical point.Istraživali smo strukturu translacijski invarijantne dijagramske perturbacijske teorije jednog polarona na 1D diskretnoj rešetki opisanoj Holsteinovim hamiltonijanom. Taj je hamiltonijan karakteriziran elektronskim preskokom t, fononskom frekvencijom ω0, i elektron-fononskim vezanjem g. Pokazali smo da su lokalizacijska (i translacijska) svojstva polarona sadržana u propagatoru jednog elektrona, privremeno dodanog rešetki, i/ili u fononskoj korelacijskoj funkciji s jednim elektronom stalno prisutnim u rešetki. Analiza po potencijama od g/ω0 pokazuje da razvoj elektronske ireducibilne vlastite energije odgovara razvoju fononske korelacijske funkcije, a ne razvoju fononske ireducibilne vlastite energije. Na taj je način određen doseg polaronskih korelacija. Za mali t/ω0, već u drugom redu po g/ω0 elektronreetka korelacija postaje vrlo kratkodosena, odnosno polaron je lokaliziran na jedno čvorište rešetke, iako opća translacijska simetrija ostaje sačuvana. Za veliki t/ω0 rezultat računa u drugom redu ostaje primjenjiv do velikih g/ω0 ≈ (t/ω0) 1/4 , gdje postaje degeneriran s rezultatom za veliki, adijabatski Holsteinov polaron. To naznačuje da translacijski invarijantna perturbacijska teorija tada prelazi glatko, bez loma simetrije, u adijabatsku kontinuiranu kvantnu granicu, što e biti rigorozno dokazano u članku-pratitelju. Kvantna teorija velikog adijabatskog Holsteinovog polarona, dakle, predstavlja jednostavan i poučan primjer kvantnog križanja koje zamjenjuje ponašanje u kvantnoj kritičnoj točki
