A, A

Lechuga, Antonio

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Puntos conjugados. Ecuación de JacobiAntonio Lechuga Álvaro, Dr. Ing. de Caminos, Canales y Puertos, Académicocorrespondiente de la RAMZ.1. IntroducciónPara estudiar la segunda variación en el cálculo variacional una estrategiade las más completas es aplicar la llamada ecuación de Jacobi y determinar lospuntos conjugados.Desde un punto de vista práctico vamos a aplicar elprocedimiento a algunos casos que clarificarán e ilustrarán la potencia de lateoŕıa de Jacobi y su extensión a otros campos afines. Comenzaremos con lastrayectorias parabólicas de un cuerpo en el campo gravitatorio.2. Trayectorias parabólicasEl problema variacional se expresa como,I =∫ ba√(u2 − 2gy)√(1 + y′2)dxLa solućıón es,y = tag(α)x− g2u2(1 + tag2(α))x2Esta es la solución que parte del origen de coordenadas con una velocidad ,u , y ángulo α y pasa por un punto,B(xb, yb)Aplicamos la teoŕıa de Jacobi, calculando la envolvente de todas las trayec-torias,que consiste en derivar la solución por α,y eliminar α,entre esta y laderivada, obteniendo,y =u22g− g2u2x2En general, para cada dos puntos A y B, hay dos parábolas que resuelven laecuación de Euler y hay que usar la condición de Jacobi. Esta teoŕıa dice quedado el punto inicial, A,tenemos que encontrar su punto conjugado. Este puntoconjugado es precisamente el punto de tangencia de cada parábola con la envol-vente calculada. Por tanto aquella parábola cuyo punto, B,se encuentre antes detocar a la envolvente cumple la condición de mı́nimo. si el punto,B, se encuentramás allá de la tangencia , no la cumple. En otra palabras: El punto conjugadode uno de los extremos debe estar fuera del intervalo, AB.3. CatenariaEl problema variacional de la catenaria se escribe como,I =∫ bay√1 + y′2dxLa solución de la ecuación de Euler correspondiente es,y = c cosh(x− bc)En general en catenarias con la misma directrix hay dos soluciones de la ecuación1de Euler que pasan por un mismo punto.En este caso las tangentes a las catenar-ias en los puntos conjugados se cortan en la directrix, por lo tanto la catenariade mayor, c , cumple la condición de Jacobi.Anaĺıticamente la ecuación de Jacobi tiene como solución,u = sinh(a− xc)− (x− ac) sinh(x− bc) sinh(a− bc)Sin olvidar que, u ,no debe de tener otro cero salvo en los puntos de apoyo.4. Pandeo en columnas esbeltasEn columnas esbeltas la disminución de la enerǵıa potencial,U = Pσ = Pl −∫ l0cosϕds,que ha de compensarse con la enerǵıa de flexión,U1 =∫ l0EI2(dϕds)2dsPara pequeños valores de ϕcos(ϕ) = 1− 12ϕ2, y también, ds ' dxObtenemos, por tanto,I =∫ l0(EIϕ′2 − Pϕ2)dxLa ecuación de Euler se escribe,ϕ′′+ α2ϕ = 0siendo, α2 =PEILa solución de esta ecuación diferencial, como sabemos es,ϕ = C1 sin(αx) + C2 cos(αx)La ecuación de Jacobi se expresa como,Fϕϕu+ Fϕϕ′u′ − ddx(Fϕϕ′u)−ddx(Fϕ′ϕ′u′)En nuestro caso ,Fϕ′ϕ′ = 2EI, Fϕϕ = −2P, Fϕϕ′ = 0La ecuación de Jacobi es por tanto,u′′+ α2u = 0u = A sin(αx)Ahora bien, el punto conjugado del origen es el siguiente cero de u. Para queno haya puntos conjugados a lo largo de l, ha de ser l ≤ παo lo que es lo mismo,α2 <π2l2,luego P <EIπ2l2que es la carga critica de Euler.5. Problema isoperimétrico¿Cuál es la superficie de mayor área envuelta por una curva de longitud, 2L , yel eje de las x entre los puntos 0 y 2a?La función variacional es,I =∫ 2a0(y − λ√i+ y′2dxLa ecuación de Euler después de una primera integración es.2− y′√1 + y′2=x− c1λLa solución es,(x− c1)2 + (y − c2)2 = λ2 ,es decir un arco de circunferencia.La ecuación de Jacobi se escribe,Fyyu+ Fyy′u′ − ddx(Fyy′u+ Fy′y′u′) = 0en dondeFyy = 0, Fyy′= 0, y, Fy′y′ =−λy′√1 + y′2y es,(x− a)dudx= CLa solución de esta ecuación diferencial es,u = C ln(x− aa)En uno de los extremos, u(2a) = 0 y es un punto conjugado. sin embargoentre 0 y 2a no haypuntos conjugados con lo que estamos ante un máximo.6. Lineas geodésicasEn una esfera, usando coordenadas esféricas,x = R cosϕ sin θy = R sinϕ sin θz = R cos θla función variacional que da la mı́nima distancia entre dos puntos se escribe,I = R∫ θ1θ0√1 + sin2 θϕ′2dθLa solución de la ecuación de Euler correspondiente es,sin2 θϕ′√1 + sin2 θϕ′2= C1ϕ+ β = arccos(tanαtan θ)que es un arco de circulo máximo. La ecuación de Jacobi es,Fϕϕu+ Fϕϕ′u′ − ddx(Fϕϕ′u)−ddx(Fϕ′ϕ′u′) = 0La solución se puede escribir como,∂ϕ∂α(∂ϕ∂β)θ0 − (∂ϕ∂α)θ0∂ϕ∂β= 01√tan2 θ − tan2 α=1√tan2 θ0 − tan2 αque solo se cumple para ,θ = θ0 + nπEs decir, el punto conjugado del inicial se encuentra al otro lado del diámetrodel circulo máximo, por lo que la geodésica es un mı́nimo solo si el arco es menorque un semićırculo.3

− 2gy) (1 + y )dx La soluc´íon es, y = tag(α)x −g 2u (1 + tag (α))x Esta es la solución que parte del origen de coordenadas con una velocidad , u , yángulo α y pasa por un punto,B(x

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− 2gy) (1 + y )dx La soluc´íon es, y = tag(α)x −g 2u (1 + tag (α))x Esta es la solución que parte del origen de coordenadas con una velocidad , u , yángulo α y pasa por un punto,B(x

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