En esta primer parte de una serie de art&iacute;culos sobre el Porismo de Poncelet, se presentan algunas pruebas elementales de casos particulares del resultado y se propone el problema de hallar cuadril&aacute;teros bic&eacute;ntricos racionales. El material est&aacute; dirigido a estudiantes de geometr&iacute;a y c&aacute;lculo elementales. Se construy&oacute; un sitio web de libre acceso: https://sites.google.com/view/juan-garza/nigromante/poncelet para ilustrar algunos ejemplos interesantes

Ledesma, Juan

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El Porismo de PonceletParte IJuan Salvador Garza Ledesma1˚1Facultad de Ciencias, UNAM˚ Correo electrónico: juan.garza@ciencias.unam.mxResumenEn esta primer parte de una serie de art́ıculos sobre el Porismo de Poncelet, se presentan algunaspruebas elementales de casos particulares del resultado y se propone el problema de hallar cuadriláterosbicéntricos racionales. El material está dirigido a estudiantes de geometŕıa y cálculo elementales. Seconstruyó un sitio web de libre acceso:https://sites.google.com/view/juan-garza/nigromante/ponceletpara ilustrar algunos ejemplos interesantes.Palabras clave: Porismo de Poncelet; Problema de Fuss; Poĺıgonos Bicéntricos.IntroducciónEl Porismo de Poncelet o Gran Teorema dePoncelet, fue descubierto por el ingeniero y ma-temático francés Jean-Victor Poncelet durante susaños de encarcelamiento en la prisión de Saratoff(1813-1814). Poncelet estuvo bajo el mando deNapoleón en su campaña contra Rusia.Para enunciar el resultado es conveniente in-troducir la siguiente definición (véase Figura 1):Definición 1. Sean C, D dos cónicas no singula-res en R2. Un n-ágono de Poncelet respecto al parordenado pC,Dq es un poĺıgono (de n lados/vérti-ces, n P N, n ě 3) cuyos vértices son puntos de Cy cuyos lados son segmentos de rectas tangentesa D. De existir, decimos que pC,Dq admite unn-ágono de Poncelet.En su versión más sencilla, el Porismo de Pon-celet dice lo siguiente (ver la Figura 2):Figura 1: Un pentágono de Poncelet respectoa pC,Dq.Figura 2: El Porismo de Poncelet para n “ 3.Teorema 1.1. Sea pC1, C2q un par de circunfe-rencias en R2. Si existe un n-ágono de Ponce-let respecto a pC1, C2q, entonces existe una infi-nidad. Más todav́ıa, si C2 está en el interior deldisco definido por C1, entonces todo punto en C1es vértice de un n-ágono de Poncelet respecto apC1, C2q1.El Porismo de Poncelet para circun-ferencias en R2Comenzaré dando una prueba del Teorema1.1 en el caso en que tenemos un par de circunfe-rencias pC1, C2q en R2, con C2 estrictamente con-tenida en el interior del disco cuya frontera es C1.La geometŕıa de la configuración que nos interesaestudiar está completamente determinada por losradios de las circunferencias y la distancia entresus centros. Por lo tanto no hay pérdida de gene-ralidad si suponemos que las ecuaciones de C1 yC2 son las siguientes:C1 : x2 ` y2 “ 1, (1a)C2 : px ´ dq2 ` y2 “ r2, (1b)donde d ě 0 y r ą 0 son un par de números realesque satisfacen además d ` r ă 1 (ver Figura 3).Los pasos de la prueba son los siguientes:1Dualmente, toda tangente a C2 contiene un lado de un n-ágonode Poncelet respecto a pC1, C2q.Figura 3: El par de circunferencias pC1, C2q1. Se asociará una función f : r0,8q Ñ R alpar de circunferencias pC1, C2q que mediráqué tan rápido recorremos la circunferenciaC1 en sentido positivo (esto es, en sentidocontrario de las manecillas del reloj) al tra-zar tangentes a C2.2. Se impondrán condiciones a la n´ésima ite-ración de f para garantizar la existencia deun n-ágono de Poncelet respecto a pC1, C2q.3. Se mostrará que si un punto satisface lascondiciones del inciso anterior, entonces lomismo es válido para cualquier punto de C1.Paso 1: La función fPensemos en los puntos P P C1 como imáge-nes del mapeo ϕ : r0,8q ÝÑ R2 dado porϕptq :“ pcos t, sen tq, (2)es decir, estamos recorriendo la circunferencia C1en sentido opuesto a las manecillas del reloj co-menzando en el punto p0, 1q “ ϕp0q. Por cual-quier punto P “ ϕptq pasan dos cuerdas tangen-tes a C2 (ver segmentos PQ1 y PQ2 en la Figura4).Sea Q1 el punto más cercano a P recorrien-do C1 en el sentido antes mencionado. DefinimosFigura 4: Construyendo la función f .fptq como el número mı́nimo que satisface:ϕpfptqq “ Q1. (3)Obsérvese que cualquier número de la forma fptq`2mπ con m P N es mapeado bajo ϕ en Q1, deaqúı el requerimiento de minimalidad para la de-finición de fptq.Paso 2: Construyendo n´ágonos dePonceletPor construcción, la existencia de un n´ágonopn ě 3q de Poncelet respecto a pC1, C2q es equi-valente a que exista un t0 ě 0 tal quef ˝npt0q “ t0 ` 2πm, (4)para algún m P N. Geométricamente, la ecuación(4) dice que después de trazar n tangentes man-teniendo la orientación, volvemos al punto inicialP “ ϕpt0q (ver Figura 5).Determinar expĺıcitamente la regla de corres-pondencia que define a la función f es complica-do. Como veremos enseguida, resulta más conve-niente trabajar con su derivadadfdt. El hecho deque f sea derivable se sigue de que las circun-ferencias son curvas no singulares. CalcularemosFigura 5: Un caso en que f ˝3pt0q “ t0 ` 2π.dfdtdirectamente, tomando el ĺımiteĺımhÑ0fpt ` hq ´ fptqh. (5)Sean P1 :“ ϕptq, P2 :“ ϕpt ` hq; Q1 :“ ϕpfptqq,Q2 :“ ϕpfpt`hqq. Por construcción, los númerosfpt ` hq ´ fptq y h son las medidas de los arcosde circunferencia comprendidos entre los puntosQ1, Q2 y P1, P2 respectivamente. Denotaré talesmedidas con ŐQ1Q2 y ŐP1P2.Sea O :“ P1Q1 X P2Q2. Para calcular el ĺımi-te (5), observemos que los triángulos ∆P1P2O y∆Q2Q1O son semejantes (ver Figura 6).Figura 6: ∆P1P2O „ ∆Q2Q1O.Por lo tanto|Q1Q2||P1P2|“ |Q1O||OP2|, (6)donde |¨, ¨| denota la longitud del segmento co-rrespondiente. Cuando h tiende a 0, o equivalen-temente P2 tiende a P1, el cocienteŐQ1Q2ŐP1P2tiendea (6), ambas cuerdas tangentes se sobreponen yel punto O tiende al punto de tangencia con C2.Por lo tanto si tomamos una cuerda tangente PQcon punto de tangencia T , tenemosdfdt“ |TQ||PT |(ver Figura 7).Figura 7: El ĺımite h Ñ 0.Las longitudes |PT | y |TQ| pueden calcularseen función de los radios de la circunferencias, 1 yr y la distancia entre sus centros, d de la siguientemanera (ver Figura 8):Figura 8: Construcciones auxiliares.Denotaré con M y N los centros de C1 yC2 respectivamente. Por construcción |MQ| “ 1,|MN | “ d y si P “ ϕptq, el ángulo =QMN midefptq. Por la ley de cosenos tenemos:|NQ|2 “ 1 ` d2 ´ 2d cospfptqq (7)y por el Teorema de Pitágoras aplicado al triángu-lo ∆TQN tenemos:|TQ| “a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cospfptqq. (8)Análogamente uno calcula:|PT | “a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cosptq. (9)Por lo tanto:dfdt“a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cospfptqqa1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cosptq, (10)o bien:1a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cospfptqqdfdt““ 1a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cosptq.(11)Consideremos la funcióngpxq :“ 1a1 ` d2 ´ r2 ´ 2d cospxq. (12)Por construcción g es estrictamente positiva ycontinua. Por lo tanto existe una función inyecti-va G tal quedGdx“ gpxq. (13)Afirmo que existe una constante ω tal que paratodo t ě 0:Gpfptqq ´ Gptq “ ω. (14)En efecto, por (13) y la regla de la cadena:ddtpGpfptqqq “ gpfptqqdfdt(15)combinando esta última ecuación con (13) y (11)tenemos:ddtpGpfptqq ´ Gptqq “ 0. (16)De aqúı se sigue (14).Aplicando (14) para t “ f ˝jptq con j desde 1hasta n´ 1 y sumando las n ecuaciones resultan-tes, tenemos:Gpf ˝nptqq ´ Gptq “ nω. (17)Por lo tanto la existencia de un n´ágono de Pon-celet respecto a pC1, C2q equivale a la existenciade un t0 ě 0 y un natural m tales que:Gpt0 ` 2πmq ´ Gpt0q “ nω. (18)Paso 3: Independencia respecto alvértice inicialEl paso final de la prueba consiste en observarque la condición impuesta por la ecuación (18) nodepende de t0. Esto es consecuencia de que G esuna antiderivada de una función 2π´periódica.La condición impuesta por (18) para la existenciade un n´ágono de Poncelet consiste precisamenteen que la integral en un intervalo formado por mperiodos concatenados de una función periódicasea igual a nω. Es bien sabido que el valor dedicha integral no depende de la elección de los mperiodos concatenedos. En otras palabras, si (18)se cumple para t0, entonces se cumple para todot ě 0. Esto demuestra el resultado de Poncelet.¿Por qué porismo?El resultado de Poncelet es llamado porismoporque no resuelve el problema de hallar poĺıgo-nos de Poncelet respecto a un par de circunferen-cias. Poncelet dedujo la existencia de una infini-dad de poĺıgonos interinscritos siempre que existaal menos uno.El Problema de Fuss para triángu-losEl problema de Fuss consiste en dar una so-lución expĺıcita al Porismo de Poncelet para cir-cunferencias en un plano. Como veremos a conti-nuación, tal solución está dada por una ecuaciónalgebraica en los parámetros que determinan laposición relativa de las circunferencias: sus radiosy la distancia entre sus centros. La complejidadde estas ecuaciones crece considerablemente jun-to con el número n de lados de los poĺıgonos bus-cados. En esta primera parte, estudiaremos loscasos n “ 3, 4 de forma elemental.Proposición 1. Consideremos un par de circun-ferencias coplanares C1, C2 de radios R y r res-pectivamente tales que la distancia entre sus cen-tros d satisface d ă R ´ r (en otras palabras, C2está contenida en el interior del disco cuya fron-tera es C1). Supongamos que existe un triángulo∆ABC de Poncelet respecto a pC1, C2q. Enton-ces:R2 ´ d2 “ 2Rr. (19)Figura 9: Probando la Proposición 1.Prueba: En la Figura 9, O e I son los centrosde C1 y C2 respectivamente. ProlongamosAI has-ta intersecar de nuevo C1 en J . PQ y JK son losdiámetros de C1 que contienen a los segmentosIO y JO respectivamente. S es el punto de tan-gencia de C2 con AB.Es claro que los triángulos ∆API y ∆IJQson semejantes. Luego |AI| ¨ |IJ | “ |PI| ¨ |IQ|. Esdecir:|AI| ¨ |IJ | “ pR ´ dqpR ` dq. (20)Falta probar que |AI| ¨ |IJ | “ 2Rr. Para ello ob-servamos que los triángulos ∆ASI y ∆KJC sonsemejantes: =ASI es recto porque su vértice esla intersección de un radio y una tangente de C2.=JCK es recto por subtender un diámetro deC1. Por otro lado =IAS “ =CAJ porque AJes bisectriz de =CAB y =CAJ “ =CKJ porsubtender la misma cuerda. De aqúı se sigue que:|AI| ¨ |JC| “ |KJ | ¨ |SI| “ 2Rr. (21)Finalmente |JC| “ |IJ |, pues =CIJ “ =JCI(ambos ángulos son iguales a 12p=CAB`=BCAq).De aqúı y (20) obtenemos el resultado. Q.E.D.El rećıproco de la Proposición 1 también esválido:Proposición 2. Sean C1 y C2 dos circunferen-cias coplanares de radios R y r respectivamente.Sea d la distancia entre sus centros. Supongamosque R2 ´ d2 “ 2Rr. Entonces existe un triángulode Poncelet respecto a pC1, C2q (y por el Porismode Poncelet, una infinidad).Figura 10: Recuperando un triángulo de Pon-celet.Prueba: Tomemos un punto A1 en C1. SeanA1B1 y A1C 1 las cuerdas tangentes a C2. Prolon-guemos A1I hasta intersecar a C1 de nuevo enJ 1. Prolonguemos también J 1O hasta obtener eldiámetro J 1K 1. Sea S 1 el punto de tangencia deA1B1 con C2. Al igual que en la prueba de la Pro-posición 1, tenemos|A1I| ¨ |IJ 1| “ R2 ´ d2 (22)pero R2 ´ d2 “ 2Rr. Por lo tanto|A1I| ¨ |IJ 1| “ 2Rr. (23)Como los triángulos ∆A1S 1I y ∆K 1J 1C 1 son se-mejantes, tenemos|A1I| ¨ |J 1C 1| “ 2Rr. (24)De (23) y (24) se sigue que |IJ 1| “ |J 1C 1|. Por lotanto=C 1IJ 1 “ =J 1C 1I. (25)Ahora =C 1IJ 1 “ =IC 1A1 ` =C 1A1I y=J 1C 1I “ =B1C 1I ` =J 1C 1B1. Pero=J 1C 1B1 “ =J 1A1B1 por subtender la misma cuer-da y =J 1A1B1 “ =C 1A1I por ser A1I bisectriz delángulo en A1. Por lo tanto=IC 1A1 “ =B1C 1I. (26)De aqúı se sigue que I es incentro de ∆A1B1C 1.En particular B1C 1 es tangente a C2. Q.E.D.Cuadriláteros bicéntricosRecordemos que un cuadrilátero es llamadobicéntrico si es de Poncelet respecto a un parde circunferencias pC1, C2q. A continuación en-contraremos una condición necesaria para la exis-tencia de cuadriláteros bicéntricos análoga a laobtenida en la Proposición 1.Proposición 3. Sean C1 y C2 dos circunferen-cias coplanares de radios R y r respectivamentetales que la distancia entre sus centros d satis-face d ă R ´ r. Supongamos que existe un cua-drilátero ABCD de Poncelet respecto a pC1, C2q.Entonces:pR2 ´ d2q2 “ 2r2pR2 ` d2q. (27)Prueba: Sean O, I los centros de C1 y C2 res-pectivamente. Prolonguemos AI y CI hasta in-tersecar a C1 en los puntos L y M . Sean J y Klos puntos de tangencia de C2 con los lados ABy BC respectivamente (ver Figura 11).Figura 11: Problema de Fuss para cuadriláte-ros.Como ABCD es ćıclico, =DAB ` =BCD “ π.De aqúı se sigue que=IAB ` =BCI “ π2(28)y como |IK| “ |IJ | “ r, existe un triángulorectángulo con catetos de longitudes |CI| y |IA|e hipotenusa de longitud |AJ | ` |KC|. El dobledel área de este triángulo puede calcularse de dosmaneras obvias, dando lugar a la siguiente igual-dad:|CI| ¨ |IA| “ r p|AJ | ` |KC|q . (29)Por el Teorema de Pitágoras:p|AJ | ` |KC|q2 “ |CI|2 ` |IA|2. (30)De (29) y (30) se sigue que:|CI|2 ¨ |IA|2 “ r2`|CI|2 ` |IA|2˘, (31)o equivalentemente:1|IA|2 `1|CI|2 “1r2. (32)Observemos ahora que los puntos L, O y M soncolineales, porque =MOD “ 2=MCD, =DOL “2=DAL y =MCD ` =DAL “ π2. De aqúı se si-gue que OI es mediana del triángulo ∆ILM . Porlo tanto:|LI|2 ` |IM |2 “ 2|OI|2 ` |LM |22“ 2pR2 ` d2q.(33)AL, CM y el diámetro de C1 que contiene a OIson cuerdas con un punto en común. Entonces:|LI| ¨ |IA| “ |CI| ¨ |IM | “ R2 ´ d2. (34)Usando (33) y (34) tenemos:1|IA|2 `1|CI|2 “2pR2 ` d2qpR2 ´ d2q2 . (35)De (32) y (35) concluimos que:pR2 ´ d2q2 “ 2r2pR2 ` d2q. (36)Q.E.D.El lector interesado puede probar como ejer-cicio que la ecuación (36) es también una condi-ción suficiente para la existencia de cuadriláterosbicéntricos.Proyecto numéricoEn esta sección se propone un proyecto condos objetivos: que el lector interesado reafirmeel material expuesto e introducir algunas de lasideas que se utilizarán en las siguientes partes deeste trabajo.Un problema numérico interesante es encon-trar configuraciones de circunferencias para lascuales se cumpla el Porismo de Poncelet y ta-les que los parámetros que las definen (los ra-dios y la distancia entre sus centros) sean núme-ros racionales. El problema no es trivial inclusopara un número de lados relativamente chico delos poĺıgonos. Por ejemplo, si uno considera cua-drados regulares, digamos de lado de longitud 2,tendremos que el radio del circunćırculo R seráR “?2.Una solución en el caso de cuadriláteros, es lasiguiente:1. Considere un triángulo rectángulo ∆ABCcon catetos de longitudes ℓ1 :“ |AB| y ℓ2:“ |BC|. Supongamos ℓ1 ă ℓ2. Sea D la re-flexión de B respecto a la hipotenusa CA.Es fácil probar que ABCD es bicéntrico.Uno calcula los radios de las circunferenciascircunscrita e inscrita,R y r respectivamen-te, aśı como la distancia d entre sus centrosen términos de ℓ1 y ℓ2:R “ 12bℓ21 ` ℓ22, r “ℓ1ℓ2ℓ1 ` ℓ2,d “ R ´aℓ21 ` ℓ221 ` ℓ2ℓ1(37)2. Del punto anterior, se sigue que si ℓ1, ℓ2 P N,entonces R, r, d P Q. Por lo tanto, basta re-solver el problema numérico clásico de en-contrar todas las ternas pitagóricas enteras.3. Muestra que, realizando los pasos anterio-res, uno obtiene una infinidad de configura-ciones esencialmente distintas de pares decircunferencias que cumplen el Porismo dePoncelet para n “ 4 (observa que podŕıapasar que todos los parámetros obtenidosde esta manera fueran proporcionales en-tre śı respectivamente, de forma que unoobtuviera una sola configuración y copiashomotéticas de la misma).En la Parte II de esta serie, explicaré la rela-ción entre el proyecto anterior y un famoso teore-ma de Faltings, (anteriormente conjetura de Mor-dell).AgradecimientosLe agradezco al Profesor Pablo Barrera Sánchezpor haberme dado a conocer el Porismo de Pon-celet durante mi tiempo como estudiante de li-cenciatura en la UNAM y por sus comentariosy sugerencias para mejorar este trabajo. Muchasgracias también al grupo de trabajo del Labora-torio de Cómputo Cient́ıfico del Departamento deMatemáticas de la UNAM por brindarme todaslas facilidades para la elaboración de este mate-rial.Referencias[1] Garza Ledesma, J. S., Curvas de Poncelet. Te-sis de Licenciatura, UNAM. 2011.[2] Garza Ledesma, J. S., Sitio web:https://sites.google.com/view/juan-garza/nigromante/poncelet[3] IGI, GeoGebra. Software interactivo disponi-ble en: http://www.geogebra.org

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