Las bases de expansion ortogonales son ampliamente utilizadas tanto en los algoritmos de procesamiento digital de se&ntilde;ales (DSP) como en el MOdulador-DEModulador (MODEM) de los sistemas de comunicaciones digitales. En el presente trabajo se explora desempe&ntilde;o de un par de esquemas de modulaci&oacute;n no-ortogonal Legendre-Fourier (LF) y Taylor Fourier (TF) y se eval&uacute;a su raz&oacute;n de error binaria (BER) en un canal de ruido blanco aditivo gausiano (AWGN)

Rocha, V.

Serna, J.

Scipedia

Modulación no-ortogonal mediante los modelosLegendre-Fourier y Taylor-FourierV. A. Trejo Rocha,1∗ J. A. de la O Serna11 Posgrado en Ingenieŕıa Eléctrica, FIME UANL∗ vidal.trejorc@gmail.comResumenLas bases de expansion ortogonales son ampliamente utilizadas tanto en los algoritmos de procesa-miento digital de señales (DSP) como en el MOdulador-DEModulador (MODEM) de los sistemas decomunicaciones digitales. En el presente trabajo se explora desempeño de un par de esquemas de modu-laciõn no-ortogonal Legendre-Fourier (LF) y Taylor Fourier (TF) y se evalua su razón de error binaria(BER) en un canal de ruido blanco aditivo gausiano (AWGN).Palabras clave: Bases no-ortogonales; Legendre-Fourier; Modulación no-ortogonal.1 IntroducciónEl objetivo fundamental de los sistemas decomunicaciones es transmitir y recibir informa-ción de un lugar a otro a travez de un medioanalógico llamado canal. Para esto, el moduladorsustituye la información binaria por un conjuntofinito de señales que son propagadas en el canal,el cual las distorsiona y les agrega interferencia yruido. El demodulador realiza la operación inver-sa estimando la información binaria de la señalrecibida.Los formatos de modulación digitales linea-les, como los esquemas QAM y PSK utilizan unconjunto de señales ortonormales φj(t) para elmapeo entre la cadena binaria I y las señaless(t), como se ilustra en la fig. 1. La sintesis deseñales se realiza mediante la combinación lineals(t) =N∑j=1αjφj(t) t ∈ I; (1)donde cada αj pertenece a un conjunto finito deamplitudes. El mapeo entre los bits y las ampli-tudes se realiza con un codificador. En caso deuna distorsión nula i.e r(t) = s(t), la estimaciónde los coeficientes se realiza en el demoduladorcon el producto puntoαj = 〈r(t), φj(t)〉 1 ≤ j ≤ N ; (2)El esquema de Multiplexación por Divisiónde Frecuencias Ortogonales (OFDM) es un ejem-plo notable del anterior patrón de diseño. OFDMusa la base de Fourier de la forma φm(t) = ej2πmf1tortogonal en el intervalo T = 1f1, lo que permi-te utilizar métodos de Transformada Digital deFourier (DFT) para implementar su modem [1].De manera similar, en muchos algoritmos DSPlas bases de descomposición ortogonales son pre-feridas sobre las no-ortogonales por la facilidaddel cálculo de los coeficientes de expansión conproductos punto. Ejemplos pueden ser encon-trados en las bases de las transformadas DFT,DWT y en el proceso de ortogonalización Gram-Schimdt.Sin embargo, desde el punto de vista algebráico,la independencia lineal es la condición necesariapara una representación uńıvoca en un espaciovectorial. En el caso no ortogonal y linealmenteModulador DemoduladorCod.×××...φ1(t)φ2(t)...φN(t)+I aα1α2αN×××...φ∗1(t)φ∗2(t)...φ∗N(t)∫∫∫Dec.α1α2αNa În(t)+s(t) r(t)Figura 1: Diagrama Modem digital lineal.independiente (LI), los coeficientes son estima-dos mediante de el uso de conjunto biortogonal[2] al conjunto LI. Tal conjunto es obtenido demanera numérica mediante mı́nimos cuadradostomando los renglones de la matriz pseudoinver-sa [3], y en casos matemáticamente tratables conel cálculo análitico de su forma cerrada [4].En el contexto de los sistemas de comunica-ciones han sido propuestas alternativas no-ortogonalesde OFDM para reducir el efecto de la distorsiónen canales de 2 rayos [5] y doblemente dispersi-vos [6].2 Modelos de señal LF y TF2.1. Tiempo continuoBasado en el modelo de señal en [7], la señalequivalente bandabase compleja [8] es generadamediante la suma del producto cartesiano de Mfunciones de armónicas y K polinomios y se ex-presa comos(t) =M−1∑m=0K−1∑k=0αm,kφm,k(t) − 1 ≤ t < 1. (3)donde αm,k ∈ C es la amplitud compleja de laarmónica m y el polinomio k y φm,k(t) es el ele-mento base tomado del modelo LF ó TF. Loselementos ambos modelos son mostrados en latabla 1.TF 1√εktkej2πmf1t − 1 ≤ t <1LF 1√εklk(t)ej2πmf1t − 1 ≤t < 1Tabla 1: Elementos de la base de expansiónφm,k en L2(R).El par de bases difieren sólo por el termino multi-plicativo Taylor ó Legendre. En ambos caos εk esun factor de normalización y la primera frecuen-cia armónica es elegida como un múltiplo enterodel rećıproco del intervalo temporal [−1, 1] comof1 = P12. De esta manera se tienen tres variablesde diseño M , K y P . Las señales base LF, mos-tradas en la fig. 2 , se caracterizan por que lostérminos Legendre definen una envolvente parael grupo de armónicas. Lo anterior ocurre tam-bien con la base LF.Las bases TF y LF son no-ortogonales da-do que el producto punto entre un par de suselementos〈φm1,k1, φm2,k2〉 =∫ 1−1pk1(t)pk2(t)e−j2πf1(∆m)tdt,(4)donde pk(t) corresponde al término Taylor o Po-linomio de Legendre de orden k y ∆m = m2−m1la diferencia armónica, es distinto a cero cuandom1 6= m2 y k1 6= k2 si el número de polinomiosincluidos es mayor a uno (K > 1).−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−101k=0−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−202k=1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−202k=2−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−202k=3t  m=0m=1m=2m=3Figura 2: Señales base (parte real) del modelo LF. M = 4, K = 4 y P = 82.2. Tiempo discreto e implemen-tación matricialAplicando una frecuencia de muestreo comomúltiplo entero Q de la primera portadora fs =Qf1, las bases discretizadas se expresan comoen la tabla 2 con N = PQ muestras. El factor2Ncumple la función de nomalización en tiempodiscreto.TF√2εkN(2Nn)kej2πQmnLF√2εkNlk(2Nn)ej2πQmnTabla 2: Elementos de la base de expansiónφm,k en ℓ2(Z).Organizando las muestras de los elementosbase en las columnas de una matrizΦ ∈ MN×MKy de manera similar las amplitudes αm,k en elvector columna a ∈ CMK la ec. 1 es expresadacomos = Φa (5)donde s ∈ CN son las muestras de la señal gene-rada. La estimación de los coeficientes de pon-deración bajo el criterio de mı́nimos cuadradospuede ser calculadoâ = Φ†s (6)donde Φ† =(ΦHΦ)−1ΦH es la matriz pseudo-inversa izquierda. Las columnas de Φ son orto-gonales a los renglones de Φ† i.e I = Φ†Φ, por loque los elementos en ambas matrices puede serasociados a un par de bases biortogonales.3 Simulación computacionalLos esquemas LF y TF fueron evaluados con-siderado un modelo de canal AWGN, el cuálagrega muestras de un proceso de ruido blan-co de media nula y varianza σ2, con respuesta ala frecuencia ideal plana y no limitada en banda,además de sincrońıa entre transmisor y receptor.No son consideradas las distorsiones linales y noModulador DemoduladorCod. Φ +N (0, σ2)Φ† Dec.I a s r â ÎFigura 3: Diagrama de simulación de los es-quemas propuestos en condiciones de canalAWGN.lineales ocasionadas por las etapas de filtrado,translación frecuencial y amplificación.Tomando como referencia la fig.3, son utiliza-dos codificadores BPSK, que utilizan la corres-pondencia −1 si el bit entante es 0 y 1 si es un1. Para emular la salida del codificador a una se-cuencia binaria equiprobable, son generados vec-tores columna a cuyos elementos αj son varia-bles aleatorias que toman los valores {−1, 1} demanera equiprobable. De manera similar, paraestimar la secuencia binaria Î el decodificadordecide por un bit 0 si α̂j ≤ 0 y por 1 si α̂j > 0.Las señales transmitidas son generadas conla multiplicación matricial Φa donde Φ contie-ne las muestras de la base vectorial selecciona-da. Para las pruebas se usaron las bases TF yLF con M = 4 armónicas y K = 4 polinomios.De manera similar la recepción se realiza con lamultiplicación con la pseudoinversa Φ†r, donder son las muestras de las señales recibidas afec-tadas por el canal.4 ResultadosLa secuencia recibida Î contiene una canti-dad promedio de bits erroneos dependiente dela enerǵıa del ruido y el esquema de modulaciónutilizado.La gráfica BER, en la fig. 4, muestra la razónentre el número de bits transmitidos y el núme-ro de bits erróneos como función de la relaciónde la enerǵıa de bit Eb y de ruido N0 = 2σ2.En ella puede ser observado que en el esque-ma TF se producen más errores que LF parala misma intensidad de ruido y la misma distan-cia interarmónica P = 4 y P = 8. Tambien, en−2 0 2 4 6 8 1010−610−510−410−310−210−1100Eb/ N0[dB]BERTF P=4TF P=8LF P=4LF P=8OFDM, 16 carrier−2 −1 0 1 2−2−1012In−Phase−2 −1 0 1 2−2−1012In−Phasea) b)a)b)Figura 4: Desempeño BER y diagramas dedispersión de α̂2,2 con varianza σ2 = 0,1 a)TF, P = 4 y b) LF, P = 8.ambos esquemas el incremento de la distanciainterarmónica reduce la cantidad de errores.Este comportamiento puede ser explicado dela siguiente manera. Dado que el operador pseu-doinversa es lineal, el vector recibido puede serdescompuesto como ã = a+ n donde n es lacontribución del ruido. La matriz de covarianzasse relaciona con la relación la base de expansiónpor medio de la matriz gramiana Cn = σ2G−1[9] definida como G = ΦHΦ para señales discre-tas. En el caso ortogonal se reduce a la matrizdiagonal Cn = σ2I. Las varianzas para cada di-mensión se encuentran en la diagonal de Cn.Se observa en la fig 5 que las varianzas 1) au-mentan por la inclusión de polinomios K > 1,lo que era esperado pues son los polinomios loque producen la no ortogonalidad de la base. 2)decrecen con el incremento de la distancia inter-armónica P , lo que indica una ortogonalizaciónpor separación frecuencial y un acercamiento aldesepeño de OFDM ortogonal. 3) Existen casosde muy alta varianza en P = 1, caracterizadospor un número de condición elevado en la gra-miana. Estos últimos constituyen casos de com-binaciones no recomendables.1 2 3 4 5 6 7 810010510101015Pmax(diag(G̃))  K=1K=2K=3K=4K=5K=6Figura 5: Máximo elemento de Cn con σ2 =1 como función variables de diseño K,P . Ba-se LF con M = 4.5 ConclusionesFueron propuestos un par de esquemas demodulación no-ortogonal utilizando los modelosTF y LF y simulados mediante técnicas matri-ciales. Fue evaluado su desepeño en un canalAWGN y fue observado que ciertas combinacio-nes de parámetros de diseño producen más erro-res en el receptor.Para las modulaciones no-ortogonales cuyano-ortogonalidad es producida por la selecciónde la base, el desempeño AWGN está directa-mente ligado al contenido de la inversa de la ma-triz gramiana. Lo que brinda un procedimientoanálitico para evaluar dicho desempeño para fu-turos diseños no ortogonales en los modems delos sistemas de comunicaciones.Referencias[1] S. B. Weinstein, P. M. Ebert, “Data transmissionby frequency-division multiplexing using the discre-te fourier transform,” IEEE Transactions on Com-munication Technology, vol. COM-19, no. 5, pp. 628-634, 1971[2] M. Vetterli, et al. Foundations of Signal Pocessing,1ra ed. Cambridge: Cambridge University Press, pp.86-90, 2014.[3] T. Ebrahimi, et al., “Video Coding Using a Pyra-midal Gabor Expansion” SPIE Visual Communica-tions and Image Processing, Vol. 1360, pp. 489-505,1990.[4] M. J. Bastiaans “Gabor’s expantions of a signal in-to gaussian elementary signals” Proceedings of theIEEE, Vol. 68, pp. 538-539, 1980.[5] Z. Cvetković. “OFDMwith biorthogonal demultiple-xing,” IEEE International Conference on Acoustics,Speech, and Digital Signal Processing, ICASSP, Vol.5, pp. 2517-2520, 2000.[6] W. Kozek, A. Molisch. “Nonortogonal Pulshapes forMulticarrier Communications in Doubly DispersiveChannels,” IEEE J. on Selected Areas in Commun.,Vol. 16 No. 8, pp. 1579-1589, 1998.[7] M. A. Platas-Graza, J. A. de la O Serna “Dynamicharmonic analysis through Taylor-Fourier Trans-form,” IEEE Transactions on instrumentation andmeasurement, vol. 60, No.3, pp. 804-813, 2011.[8] J. G. Proakis, M. Salehi. Digital communications,5ta ed. NY: McGraw-Hill Education, pp. 22, 2007.[9] S. M. Kay “Fundamentals of Statistical Signal Pro-cessing, Vol I: Estimation Theory”, Upper SaddleRiver, NJ: Prentice Hall, pp. 85-86, 1993.

Modulación no-ortogonal mediante los modelos Legendre-Fourier y Taylor-Fourier

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