Points fixes de difféomorphismes symplectiques, intersections de sous-variétés lagrangiennes, et singularités de un-formes fermées

Abstract

This thesis consists of four distinct parts.In the first part, we give a proof of the Arnold conjecture for surfaces and a generalisation to some other symplectic manifolds, using the variational approach introduced by Conley and Zehnder for tori.In the second part, we show that the zero-section M ⊂ T*M, the cotangent bundle, can never be disconnected from itself by a Hamiltonian isotopy, and give a lower bound for the number of intersection points; the proof, which is elementary, uses generating functions for Lagrangian submanifolds. As an application, we give a much simpler proof of the Arnold conjecture.In the third part, we extend the problem studied in the second part to symplectic isotopies, using results on the Novikov homology associated to a cohomology class of degree one; in particular, we show that if disconnection is possible with dim M >= 6 et π1M = Z, then M carries a nonsingular closed one-form, and thus fibers over S1.In the fourth part, we study some properties of the Novikov homology, and prove the same result as in the third part for irreducible manifolds of dimension three.Cette thèse est formée de quatre parties distinctes.Dans la première partie, on donne une preuve de la conjecture d'Arnold pour les surfaces et une généralisation à certaines autres variétés symplectiques, en utilisant la méthode variationnelle introduite par Conley et Zehnder.Dans la seconde partie, on montre que la section nulle M ⊂ T*M du fibré cotangent ne peut jamais être disjointe d'elle-même par une isotopie hamiltonienne, et l'on minore le nombre de points d'intersection ; la preuve, qui est élémentaire, utilise les fonctions génératrices d'immersions lagrangiennes. Comme corollaire, on obtient une preuve beaucoup plus simple de la conjecture d'Arnold.Dans la troisième partie, on étend aux isotopies symplectiques le problème étudié dans la seconde partie, en utilisant l'homologie de Novikov associée à une classe de cohomologie de degré un ; en particulier, on montre que si la disjonction est possible avec dim M >= 6 et π1M = Z, alors M admet une un-forme fermée non singulière, et donc fibre sur S1.Dans la quatrième partie, on étudie quelques propriétés de l'homologie de Novikov, et l'on prouve le même résultat que dans la troisième partie si M est de dimension trois et irréductible