Tässä tutkielmassa esitetään ja todistetaan L’Hospitalin sääntö tapauksissa 0/0 ja ∞/∞. Ensin tutustutaan L’Hospitalin säännön historiaan, minkä jälkeen syvennytään tarkemmin raja-arvon määräämättömään muotoon sekä itse L’Hospitalin sääntöön.
Luvussa 2 perehdytään Guillaume de L’Hôpitalin historiaan sekä siihen, kuinka L’Hospitalin sääntö sai alkunsa. Samalla kerrotaan myös lyhyesti L’Hôpitalin opettajasta, Johann Bernoullista, ja siitä, miksi hän on tärkeä osa L’Hospitalin säännön historiaa.
Luvussa 3 esitetään valmistelevia raja-arvojen tuloksia. Jotta L’Hospitalin säännön voi todistaa, on siihen käytettävä muun muassa Cauchyn väliarvolausetta sekä Rollen lausetta. Lisäksi esitetään osamääräfunktion raja-arvotulos, jota hyödynnetään väliarvolauseiden lisäksi luvussa 4.
L’Hospitalin sääntöön syvennytään tarkemmin luvussa 4. Aluksi tarkastellaan määräämätöntä muotoa, ja perehdytään siihen, mitä se käytännössä tarkoittaa, keskittymällä tarkemmin määräämättömään muotoon 0/0. Alaluvussa 4.1 esitetään myös muita mahdollisia määräämättömiä muotoja. Ensiksi todistetaan, kuinka kahden samalla välillä määritellyn funktion osamäärän raja-arvo on olemassa, mikäli molemmat funktiot ovat derivoituvia. Seuraavassa alaluvussa todistetaan L’Hospitalin sääntö määräämättömälle muodolle 0/0. Tätä lausetta hyödynnetään alaluvun esimerkeissä.
Seuraavassa alaluvussa, 4.3, todistetaan L’Hospitalin sääntö määräämättömälle muodolle ∞/∞. Tässä hyödynnetään jälleen Cauchyn väliarvolausetta. Todistuksen jälkeen käydään vielä läpi kaksi esimerkkiä, joista toisessa raja-arvo tuottaa määrämättömän muodon ∞/∞ ja toisessa määräämättömän muodon 0/0
