Sbaï, Mohammed

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AstérisqueMOHAMMED SBAÏCocatégorie rationnelle d’un espace topologiqueAstérisque, tome 113-114 (1984), p. 288-291<http://www.numdam.org/item?id=AST_1984__113-114__288_0>© Société mathématique de France, 1984, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/M. SBAÏ COCATEGORIE RATIONNELLE D'UN ESPACE TOPOLOGIQUE SBAÏ Mohammed Dans toute la suite S sera un espace topologique, pointé, 1-connexe, à coho-mologie rationnelle de type fini (IL(U),8) le modèle minimal de Quillen de S. (AZ,D) le modèle filtré de S. I - DEFINITIONS. En dualisant (au sens Eckmann-Hilton) les deux définitions de CatQ(S) données par [F-H] et [L-s], nous obtenons deux définitions équivalentes de CocatQ(S). 1ère définition : Cocat (S) £ n <==> La projection canonique TT : 1L(U) -> lL(U) L>n(U) admet une rétraction homotopique (i.e.) a étant un modèle de TT, il existe 3 homomorphisme d'a.l.d.g. tel que : 3 0 a = IdL(U) 0L(U),3) (IL(U) L>n(u) ,3) («L(W),3f) (tL(U),3) . 2ème définition : Cocat (S) ̂  n <=*=> Il existe r homomorphisme d'a.d.g.c. o tel que le diagramme suivant commute (AZ,D) £ ^AZ < n,D) " ^ ^ ^ (AZ,D) io r = I dAZ • 288 COCATÉGORIE RATIONNELLE D'UN ESPACE TOPOLOGIQUE Exemples : (1) CocatQ(S) = 1 <=*=> H (S,Q) est une a.g.c. libre. (2) CocatQ((CPn) = Cocato(£^n) =2 et plus généralement si S est formel : CocatQ(S) = 2 <==> H (S,Q) est une intersection complète <==> dim Z 2 = 0. (3) Dans l'exemple précédent l'hypothèse de formalité est nécessaire, en effet, lfespace coformel qui admet pour algèbre de Lie d'homotopie 77 (ftS) 8 Q = l/ a ,^/^3 /, . avec |a| = |3| =2, n'est pas formel il est de CocatQ = 2 bien que dim ^ 0. II - Cocat (S) ET LES AUTRES INVARIANTS. o Comme dans le cas de CatQ(S), on peut approcher CocatQ(S) par des inva-riants en dualisant les invariants classiques : e Q(S) > "product lenght", dimension formelle de la cohomologie. Définitions : a) Soit une a.l.g. L et L = L ( 1 > 3 L ( 2 > 3 . . . 3 I > > 3 . . . sa suite centrale descendante, on définit : nil(L) = inf{p/L(p+1) = 0}. b) N = dimension formelle de ^(S) ® Q si ^(S) M ^ 0 E T TT^(S) ® Q = 0 pour i > N. c) La filtration en longueur des crochets, sur le modèle de Quillen ((L(U),8) engendre une suite spectrale de deuxième quadrant convergente, elle est de terme E 2 = T T ^ № f ) ® Q <=> Tr̂ (ftS) 8 Q. Ŝ  désigne l'espace formel associé à S. Posons alors £ Q(S) = sup{p ; E -p,* ̂ 0}. Remarquons que l'algèbre enveloppante de cette suite spectrale est la suite spectrale d'Eilenberg-Moore de l'espace S E 2 = TorR (S)(Q,Q) ==> H^(nS,Q). PROPOSITION : nil TT̂ (fìS)8Q < e 0( s) * CocatQ(S) ̂  dimension formelle de ^(S) 6 <Q. 289 M. SBAÏ si en outre S est formel ou coformel, on a : nil TT (fìS) 0 Q = e (S) = Cocat (S). n> O O III - LIMITE DE LA DUALITE. Le "mapping theorem" de FELIX-HALPERIN : "Etant donné f : S -*• S1 application continue telle que f* : TT*(s) ® Q ^ %( s') 0 Q soit injectif, alors catQ(S) «catQ(S'). " n'admet aucun énoncé dual. * . . . En effet, f étant 1 homomorphisme induit en cohomologie rationnelle f* : H*(S',Q) •+ H*(S,Q). Nous avons les quatre situations suivantes : f injectif Cocat (S) £ Cocat (Sf) o o Cocat (S) à Cocat (S) o o * f surjectif Cocat (S) < Cocat (S') o o Cocat (S) > Cocat (S') o o 5 2 5 P : S x$ — S Cocat = 2 o Cocat = 1 o s3x S3x$ 3 $ 6 V S 6 Cocat = 1 o Cocat = 0 0 n A(x,y,z) f* Q,a,bJ x.y < a y .z « b 3 3 3 3 £ V $ «—+ S x $ Cocat = o Cocat = 1 o S f 3 3 5 $ D ^ (S V S ) x S x Cocat = 1 o Cocat = 0 0 o avec [f > |a,3] + x. IV - PROBLÈMES OUVERTS. 1) montrer que CocatQ(S) = Cocat(S^) < Cocat(S) où Ŝ  et le Q-localisé de S et Cocat définie par Ganéa [G] . 2) Etudier le rapport entre CocatQ(S) et le nombre d'étages dans la décom-position de Postnikov de Ŝ  (cf. [j^-s] ) . 290 COCATÉGORIE RATIONNELLE D'UN ESPACE TOPOLOGIQUE REFERENCES [F-H] Y. FÉLIX, S. HALPERIN - Rational L.S. categorie and its applications, (A paraître, Trans, of A.M.S.). [G] T. GANÉA - Some problems on numerical homotopy invariants, Springer Lecture Notes № 249. [L-s] J.M. LEMAIRE et F. SIGRIST - Sur les invariants d'homotopie liés à la L.S. catégorie, Comment. Math. Helv. 56 (1981), 103-122. 291 

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