Satgé, Ph.

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

AstérisquePH. SATGÉQuelques résultats sur les entiers qui sont sommedes cubes de deux rationnelsAstérisque, tome 147-148 (1987), p. 335-341<http://www.numdam.org/item?id=AST_1987__147-148__335_0>© Société mathématique de France, 1987, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Société Mathématique de France Astérisque 147-148 (1987), p. 335-341. QUELQUES RESULTATS SUR LES ENTIERS QUI SONT SOMME DES CUBES DE DEUX RATIONNELS Ph. SATGÉ 0. INTRODUCTION Le problème de la décomposition d'un entier en somme de deux cubes rationnels, c'est-à-dire la recherche des points rationnels de la courbe plane X +Y =D ou D est un entier, est un vieux problème sur lequel beaucoup de travail reste à faire. Par exemple, la célèbre conjecture de Sylvester : "tout nombre premier congru à 4, 7 ou 8 modulo 9 est la somme des cubes de deux rationnels", énoncée à la fin du siècle dernier, est toujours un problème ouvert. L'auteur a récemment obtenu les deux résultats suivants, voisin de la conjecture de Sylvester : " si p est un nombre premier impair congru a 2 modulo 9, alors 2p est la somme des cubes de deux rationnels" et "si p est un nombre premier congru à 5 modulo 9, alors 2 p est la somme des cubes de deux rationnels". Il ne semble pas que, à l'heure actuelle, on connaisse d'autres familles infinies d'entiers D (sans cubes) décomposables en la somme des cubes de deux rationnels. Pour démontrer ces résultats nous utilisons une idée introduite par Heegner dans [6] ; essentiellement, en calculant certaines valeurs spéciales de fonctions modulaires, nous prouvons l'existence de points ra-tionnels sur des espaces homogènes obtenus par descente à partir de la courbe 3 3 . . , X +Y =D qui nous interesse, et nous en déduisons que cette courbe possède une in-finité de points rationnels. Ce papier comprend deux parties. Dans la première partie, nous rappelons l'ar-gument de descente qui permet le calcul des espaces homogènes qui nous intéressent ; nous montrons aussi que cette descente fait apparaître la conjecture de Sylvester, et même certaines généralisations de cette conjecture, comme un cas particulier d'une conjecture de Cassels et Selmer concernant l'ordre du groupe de v Tate-Safarevich. Dans la deuxième partie, nous donnons les grandes lignes de la dé-monstration des deux résultats énoncés plus haut, résultats prévus par la générali-sation de la conjecture de Sylvester discutée dans la première partie. Le détail de ces démonstrations nécessite des développements techniques assez importants et se-ront publiés prochainement. 335 P. SATGÉ I. REMARQUES SUR LA CONJECTURE DE SYLVESTER. Nous désignons par D un entier rationnel sans cube. La courbe projective plane d'équation projective X +Y = DZ est une courbe de genre 1 définie sur le corps $ des nombres rationnels. En choisissant le point rationnel (1,-1,0) comme origine, on munit cette courbe d'une structure de variété abélienne de dimen-sion 1 sur Q. La forme de Weirstrass de cette variété abélienne est la courbe el-liptique Ê  d'équation projective Y Z = X -27(4D) Z . Ainsi un entier D est la somme des cubes de deux rationnels si et seulement si le groupe des points de Ep rationnels sur (Q est non trivial. Nagell [9] a démontré que le groupe Ê (Q) est sans torsion si D^1,2. Un entier D^1,2 est donc la somme des cubes de deux rationnels si et seulement si le groupe E (Q) est infini. Rappelons que E (<Q) est le groupe à 3 éléments et que E„(Q) est le groupe à 2 éléments, donc les solutions évidentes 1+0=0+1=1 et 1+1=2 sont les seules décomposi-tions possibles de 1 et 2 en somme des cubes de deux rationnels. Le quotient de la courbe Ê  par son sous-groupe d'ordre 3 engendré par le point (0,12Dv̂ 3,1) est la courbe Ê  d'équation projective Y2Z= X3+(4D)2Z3, et la projection naturelle de Ê  sur Ê  est une isogénie de degré 3 définie sur Q qui apparaît souvent dans la littérature (par exemple dans le travail de Selmer [12]). Nous notons X cette isogénie et X' sa duale. On a : LEMME 1.1.- Les quotients E (̂Q)/X'(E (̂Q)) et Ê (Q)/X(ED(Q)) sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur le corps à 3 éléments ; nous notons respective-ment t̂  et t̂  leurs dimensions. Si r̂  désigne le rang sur Q de la courbe elliptique E ,̂ on a l'égalité r̂  = t̂ +t̂ -1 si D^1. Démonstration.- La première assertion est claire. D'autre part, Ê  étant isogène sur Q à Ep, son rang sur G} est rQ ; de plus le point de coordonnées projec-tive (0,4D,1) est un point d'ordre 3 de E (̂Q), donc la dimension de Ê ((Ç) /3Ê (Q) sur le corps à 3 éléments est r̂ +1 . Ce quotient s'insère naturelle-ment dans la suite exacte 0 —> X(ED(Q))/3Ê (Q) —> Ê (<Q)/3Ê (Q) —> Ê  (<Q) /X (ED (Q) ) —> 0 d'espaces vectoriels sur le corps à 3 éléments. On conclut en remarquant que le morphisme surjectif de ED W /X ' (Ê (Q)) vers X (Ê  (<Q) ) /3Ê  (Q) induit par X est aussi injectif puisque, comme nous l'avons rappelé plus haut, Ê (Q) ne possède pas de points non triviaux tués par une puissance de 3 si D ^ 1. 336 ENTIERS QUI SONT SOMME DES CUBES DE DEUX RATIONNELS Désignons par S et S1 les groupes de Selmer des isogénies À et À', par JJL et _Hlf les groupes de Tate-Safarevich de et de Ê , et par -UL[A] et les sous-groupes de _UL et ill' formés des éléments tués par À et À1. Les deux suites de descente (1) 0 —> E¿(Q)/A(ED((0)) —> S —> ilL [X] —> 0 (D 0 —> ED(Q)/A,(ET(Q»-> S' —> JIL'U1] —> 0 sont des suites exactes d'espaces vectoriels sur le corps à 3 éléments. Notons d(S), d(S'), _LLL et -UL' f les dimensions des espaces S, S',Jli[X], et JlL'U']. Le lemme 1.1 et les suites exactes (1) et (1') donnent immédiatement l'égalité suivante : (2) rD = d(S) + d(S') - 1 - ÜLA - Jli^ La conjecture de Cassels-Selmer affirme que J1L •+ ILL' , est pair, donc que r̂  £ 0 si d(S) +d(S') est pair, et donc que D peut s'écrire comme la somme des cubes de deux rationnels dans ces cas. Les groupes de Selmer S et S' ont été cal-culé explicitement dans [11] (théorème 2.9). Ces calculs montrent que la conjecture de Sylvester est conséquence de la conjecture de Cassels-Selmer, et ils permettent des généralisations aisées. Illustrons ce point en dressant la liste des D divi-sibles par 1 ou 2 facteurs premiers qui, en accord avec la conjecture de Cassels-Selmer, doivent être la somme des cubes de deux rationnels, c'est-à-dire la liste de ces D pour lesquels d(S) +d(S') est pair. Le théorème 2.9 de [11] don-ne Proposition 1.2.- Si D = pr avec p premier et r €{1,2}, alors d(S) +d(S') est pair si et seulement si p = 4,7,8 mod 9 ou si D = 9 ; dans ces cas on a d(S) = d(S') = 1 . r s Proposition 1.3.- Si D= p q avec p et q premiers distincts et r,s £{1,2}, alors d(S) +d(S') est pair si et seulement si, quitte à intervertir p et q, on est dans l'un des 5 cas suivants : I) p = 1 mod 3, q = -1 mod 3, et D E ±1 mod 9 II) pE-1 mod 3, q E -1 mod 3, et D t ±1 mod 9 III) p E 1 mod 3, q E 1 mod 3, et D f ±1 mod 9 IV) pr = 3, et q E -1 mod 3 V) pr = 9, et q E 1 mod 3. 337 P. SATGÉ De plus, on a d(S) =2 et d(S') =0 dans les cas II) et IV) ; on a d(S) = d(Sf) = 1 dans le cas I) sauf si p = 1 ,mod 9 et q = -1 mod 9, et dans le cas V) sauf si q - 1 mod 9 et 3 est un cube mod q ; dans tous les cas qui restent, on a d(S) = d(S') = 2. Dans la partie suivante, nous indiquons comment, en s1 inspirant des idées de Heegner [6], nous pouvons prouver que r̂  = 1 lorsque D =2p et p est un premier congru à 2 modulo 9, et lorsque D =2p̂  et p est un premier congru à 5 modulo 9 ; on remarquera que ces deux cas sont des cas particuliers du cas II) de la proposi-tion 1.3. Les deux familles infinies de courbes elliptiques de rang 1 sur Q exhi-bées ici s'ajoutent au petit nombre de familles dé courbes elliptiques de rang 1 dé-jà connues et dont une liste exhaustive semble être contenue dans les travaux de Heegner [6], Birch [1], [2], Birch-Stephens [3], Gross [4], [5] et Mazur [7], [8]. Il serait intéressant d'exhiber d'autres familles de ce type ; le cas IV de la propo-sition 1.3 semble attaquable par les méthodes décrites au paragraphe suivant. II. LES GRANDES LIGNES DE LA DEMONSTRATION. Nous nous plaçons dans le cas II) de la proposition 1.3, c'est-à-dire dans le cas D = prqS, D ±̂1 mod 9, p et q premiers distincts congrus à -1 mod 3, et r, s € {1 ,2}. On a S - et S' = {0}. Dans [ 11] , on a associé à chaque élément non trivial de S un corps cubique défini à conjugaison près, deux élé-ments distincts de S étant associés au même corps si et seulement si l'un de ces éléments est le carré de l'autre. Ainsi il y a 4 corps cubiques associés aux élé-ments non triviaux de S dans le cas que nous considérons ici ; le théorème 2.6 de [il] montre que ces 4 corps sont les corps purs fl)(vpq ) avec a et b entiers rationnels non simultanément divisibles par 3 (un tel corps ne dépend, bien entendu, que de la valeur du couple ±(a,b) modulo 3). A un tel couple dTentiers (a,b) nous i • i n if.* • . TT3 a 3TT3 y êTT3 associons la cubique plane ^ d'équation projective W = p q U - p q v ou a, 3 , Y> <5 £{0,1,2} sont définis par les congruences a = 2r+a, 3 = 2s+b, Y e 2r+2a, 6 = 2s+2b modulo 3. Au début du §4 de [10] 9 on donne la caractérisation suivante de l'image de (Q)/À(Ê (Q)) par l'injection de la suite exacte de descente associée à X (i.e. la suite (1) du paragraphe précédent) : Proposition 2.1.- Les deux assertions suivantes sont équivalentes : Va b I) Les deux éléments de S associés au corps cubique Q(vp q ) appartiennent à l'image de Ê (Q)/A(E (Q)) par l'injection de la suite exacte de descente. II) La courbe ^ possède un point rationnel. 338 ENTIERS QUI SONT SOMME DES CUBES DE DEUX RATIONNELS Rappelons que le point (0,4D,1) de Ê (Q) est d'ordre 3 et n'appartient pas à X(E (Q)) (puisque D̂ 1) ; l'image de la classe de (0,4D,1) modulo X(ED(Q)) par l'injection de la suite exacte de descente est l'élément de S associé au corps cubique (Q( ̂ D) = Q(/p q ), donc la proposition 2.1 affirme l'existence d'un point rationnel sur la courbe C (on peut remarquer que l'équation de C est W = U -p q V et que cette courbe possède le point rationnel évident (1,0,1)). Deux cas sont alors possible : ou bien C est la seule des 4 courbes à posséder un point rationnel, et l'image de Ê  (Q)/X (Ê  (Q) ) par l'injection de la suite exacte de descente est isomorphe à ou bien l'une au moins des courbes distinctes de ^ possède un point rationnel, et l'image de (Q)/X (Ê (Q)) par l'injection de la suite exacte de descente est isomorphe à ÇZ/3Z)̂  i.e. est S tout entier, et donc toutes les courbes C . possèdent de points rationnels. Dans le premier cas Ê (Q) est un groupe de torsion et r̂  =0, dans le deuxième cas Ê (Q) est de rang 1 et r̂  = 1 ; conjecturalement, on est dans le deuxième cas. Explicitons les deux cas D =2p et D =2p̂  i.e. les cas q = 2, r=1,2, et s=1. Dans le premier de ces cas, les quatre courbes C sont 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 a' W = U - 2p V , W = p U - 2p V, W =4U -4pV et W =2U - pV ; dans le deu-3 3 ? 3 3 3 3 3 2 ? 3 3 2 3 3 xieme cas W = U -2p W W = pu -2pV , W = p U - 2 V et WJ = 4p U - 4V ; dans les deux cas on a placé en premier la courbe g. Pour démontrer les deux résultats annoncés, il suffit donc de montrer que, dans le premier cas si p E 2 mod 9, et dans le deuxième cas si p = 5 mod 9, l'une des 3 dernières courbes possè-de un point rationnel (il est agréable de remarquer qu'il est clair sur les équa-tions que dès que l'une de ces 3 courbes possède un point rationnel, alors les 3 en possèdent, résultat prévu par la théorie générale). Cela termine la partie géomé-trique de la démonstration. Nous devons maintenant introduire quelques fonctions modulaires de niveau 6. Nous désignons par j l'invariant modulaire classique, et par y la fonction mo-. . . 2 . dulaire de niveau 2 caractérisée par = j - 1728 et par le fait que le dévelop-pement à l'infini de ^(z) commence par e 7112 ; ces notations sont celles de Weber dans [13]. Posons p = e ; alors " (̂p) = -1728, et on vérifie sans mal que y0(p) = 24i/3 et y (- -) = -24i/3 où /3 est le nombre positif dont le carré vaut 3. Avec un peu plus de travail, on établit la proposition suivante : Proposition 2.2.- Il existe deux fonctions modulaires iK et \p« de niveau 6 qui vérifient les équations 1/̂  = ŷ  - 24i/3 et ip^ = ŷ  + 24i/3. On normalise iĵ  et ij^ en imposant que les développements à l'infini de 339 P. SATGÉ 2îTi 6~Z iĵ  (z) et de ^2(z) commencent par e ; les coefficients de ces développe-ments à l'infini sont dans le corps des racines 6ème de l'unité i.e. (Q(/-3) ; les fonctions ^ et sont liées par l'équation ^ = ̂  - 48i/3. Dans la suite, nous posons = 1̂ /21/3* et f2 = ̂ 2/2i/3 ; les fonctions et f2 sont donc deux fonctions modulaires de niveau 6 dont le développement à l'infini est à coef-ficients dans Q(/-3), et qui sont liées par l'équation f3 = f3+2. Notons R^ le corps des classes de l'ordre quadratique imaginaire de discriminant -3p ; le nombre premier p étant congru à -1 modulo 3, le corps R^ est une extension abélienne de Q(y/~3) de degré Par des arguments assez généraux de la théo-rie de la multiplication complexe, on montre assez facilement que les deux nombres f̂ (pp) et f2(pp) appartiennent au corps R^ $2 ,̂ p) , corps abélien sur Q(/-3) . La partie la plus délicate de la démonstration consiste à calculer précisément l'action du Frobenius de certains idéaux premiers de Q(/-3) d'une part sur f̂  (pp) et f2(pp), et d'autre part sur et p̂" ; de ce calcul on tire la propo-sition suivante : Proposition 2.3.-I) Si p=2 mod 9, les quotients f,(pp)/̂ 5~ et f?(pp)/3/2p sont dans le corps R . II) Si p=5 mod 9, les quotients f̂  (pp) /h et f2(pp)/%p2 sont dans le corps R^ . , 3 3 Les fonctions et f2 étant liées par 1 équation f̂  = f2+2, on a en par-ticulier l'égalité f̂ (pp) = f3(pp)+2 que l'on peut réécrire sous les deux formes suivantes : 4(f1 (pp)/?4)3 = 2p(f2(pp)/^)3+2 4(f1(PP)/̂ 4)3 = 2p2(f2(pp)/?2p2)3+2. En multipliant ces deux égalités par 2, on déduit que les points de coordon-nées projectives ( 1 ,-f (pp) /?2p,2f (pp) /̂ 4) et (f (pp) /^p2 ,-1 ,2f (pp) /̂ 4) ap-3 3 3 3 2 3 3 . . partiennent respectivement aux courbes W = 4U - 4pV et W = 4p U - 4V . Ainsi la proposition 2.3 montre que si p = 2 mod 9 (resp. p = 5 mod 9) la première (resp. la seconde) de ces courbes possède un point rationnel sur le corps R^ dont le degré absolu 2 est premier à 3. D'autre part, ces deux courbes possèdent clairement des points rationnels sur des corps cubiques. On sait qu'une courbe de genre 1 qui possède des points rationnels sur deux corps de degré absolu premiers 340 ENTIERS QUI SONT SOMME DES CUBES DE DEUX RATIONNELS entre eux possède un point rationnel sur Q. Ainsi, si p = 2 mod 9 (resp. 5 mod 9). 3 3 3 3 2 ^ /) la courbe W = 4U - 4pV (resp. W = 4p U - 4V ) possède un point rationnel sur Q. Comme nous l'avons noté plus haut, cela achève la démonstration des résultats annoncés. [I] Birch, B.J., Elliptic curves and modular functions, Symp. Math. Inst. Alta Math., 4 (1970), 27-32. [2] Birch, B.J., Heegner points of elliptic curves, Symp. Math. Inst. Alta Math., 15 (1975), 441-445. [3] Birch, B.J. et Stephens, N.M., Heegner's construction of points on the curve 2 3 3 y = x -1728 e , Séminaire de théorie des nombres, Paris 1981-82, Birkhaüser, 1-19. [4] Gross, B.H., On the Fermât cubic, Proceeding of a conference et Maryland, A.M.S., (1982). [5] Gross, B.H., Heegner points on Xq(11), Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, 1981-82, 34.01-34.05. [6] Heegner, K., Diophantische Analysis und Modulfunktionen, Math. Z., 56 (1952), 227-253. [7] Mazur, B., Modular curves and the Eissentein ideal, Publ. Math. IHES, 47 (1978), 33-186. [8] Mazur, B., On the arithmetic of special values of L-functions, Invent. Math., 55 (1979), 207-240. [9] Nagell, T., Solutions de quelques problèmes dans la théorie arithmétique des cubiques planes du premier genre, Skifter Vid. Akad. Oslo, I, Mat. nat. kl. (1935), 1-25. [10] Satgé, Ph., Une généralisation du calcul de Selmer, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1981-82, Birkhaüser, 245-265. [II] Satgé, Ph., Groupes de Selmer et corps cubiques, J. Number Theory, à paraître. 3 3 3 [12] Selmer, E.,S., The diophantine equation ax +by +cz = 0, Acta Math. 85 (1951), 203-362. [13] Weber, H., Lehrbuch der Algebra, Dritter Band, Chelsea Publishing Company, N-Y-> (1908)- Ph. SATGE Université de CAEN Département de Mathématiques 14032 CAEN CEDEX FRANCE 341 

Quelques résultats sur les entiers qui sont somme des cubes de deux rationnels

http://www.numdam.org/item/AST_1987__147-148__335_0.pdf

Quelques résultats sur les entiers qui sont somme des cubes de deux rationnels

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques