Hellegouarch, Y.

Paysant-Le Roux, R.

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AstérisqueY. HELLEGOUARCHR. PAYSANT-LE ROUXInvariants arithmétiques des corps possédant uneformule du produit; applicationsAstérisque, tome 147-148 (1987), p. 291-300<http://www.numdam.org/item?id=AST_1987__147-148__291_0>© Société mathématique de France, 1987, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Société Mathématique de France Astérisque 147-148 (1987), p.291-300. INVARIANTS ARITHMÉTIQUES DES CORPS POSSÉDANT UNE FORMULE DU PRODUIT ; APPLICATIONS Y. HELLEGOUARCH, R. PAYSANT-LE ROUX Sommaire : On se propose de généraliser différentes notions de meilleures approximations (celle qui est liée à l'algorithme des fractions continues, celle d'E. Dubois, etc. .) et de donner une forme plus générale au théorème de Lagrange. Typiquement, on sera amené à faire correspondre à tout corps de nombres algé-briques K deux graphes finis C et "cS, étant un sous-graphe de (S, . Deux applications seront mentionnées : le rapport avec les "familles d'unités" et la détermination de courbes dont la jacobienne possède de la torsionQ I , NOTIONS THÉORIQUES 1) INTRODUCTION Rappelons que si a € 1R est un nombre quadratique dont le développement en fraction continue, est périodique de période TT : a = [a ,...,a . ] o T— 1 il lui correspond un n-uple de nombres quadratiques = a, ap,,.,a j définis par : 1 a. = a. + "î î a. . î+l En désignant par <1,a.> le Z-module engendré par 1 et OL, on a : <1,a. .> = a. .<1 ,a.> ' î+l î+l î ce qui entraîne que 0̂  ...a est une unité de l'ordre 0 des stabilisateurs de <1 ,a >. o 291 Y. H EL L EG OUAR CH, R. PAYSANT-LE ROUX D'autre part, si (^q~j est â sui-te des convergentes de a et si l'on pos x := p -q a, on trouve que : n *n nn M a = n+2 x n+1 et, compte-tenu de ce qui précède, on voit que x /x est une unité de 0 n+n n Ce que l'on cherche à définir, est l'analogue des nombres x .̂ On verra qu'à partir d'un corps de nombres K (analogue à Q(oO) et d'un ordre de K, on peut définir canoniquement des nombres qui jouent le rôle des x .̂ 2) GROUPE OPERANT SUR UN GRAPHE, GRAPHE QUOTIENT Soit un graphe simple r = (X,Y), non nécessairement fini, où Y est une 2 partie de X , on dira qu'un groupe G opère sur r ssi : i) G opère sur X par (g,x) > g(x) ii) pour tout g £ G, et pour tout (x,y) G Y, on a : (g(x),g(y)) € Y Soit X l'ensemble quotient /̂Q» alors on peut définir une partie Y de X par la relation : (x,y) € Y <=> 3x € x, 3y £ y tels que (x,y) E Y Il est clair que (X,Y) est un graphe simple et que ce graphe est connexe si (X,Y) est connexe. Définition.- On dira que T : = (X,Y) est le graphe quotient de T par G. 3) COMMAS, POINTS EXTRÉMAUX Dans toute la suite, K désigne un corps admettant une formule du produit pour une famille V de valeurs absolues normalisées : Vx e K*, n |x| = 1 Rappelons que = {x € K ; |x|h = 1, Vh € V} est soit le groupe des ra-cines de l'unité de K, soit le groupe multiplicatif k des constantes non nulles de K. 292 INVARIANTS ARITHMÉTIQUES Définition 2,- On dira que K est un "corps arithmétique" dans les deux cas sui-vants : i) K est un corps de nombres algébriques ii) K est un corps de fonctions algébriques à une variable dans lequel on se donne un anneau intégralement fermé A dont K est le corps des quotients et qui est tel que k p A p K. Remarque.- Cette définition permet de parler des entiers de K. Définition 3.- On dira qu'un sous-anneau unitaire ( 9 c K est un ordre de K si et seulement si : i) k c £P c A ii) le corps des quotients de & est K. On désignera par S la partie de V formée de toutes les valeurs absolues I|̂  telles que : r IL est archimédienne si K est un corps de nombres IL n'est pas bornée sur A si K est un corps de fonctions algébriques Définition 4.- Soit x € 0 MO}, on dira que [ 1 ] un comma x est \ un point extremal une face (ou une arete) de (0 ssi {y € (!? MO} et |y | i< |x | i Vi G S} = Théorème 1.- Si est le groupe des unités de (y on a y = xx, x e vi e s, |y|. = |x|. ai e s, |y| = |x| OU (resp. >*v̂ ) désigne l'ensemble des commas (resp. points extrémaux, >=C с- l i r- с- 7* г- <3 faces) de O . 293 Y. HELLEGOUARCH, R. PAYSANT-LE ROUX Remarques 1) Si K est un corps de nombres on a mais ceci nTest plus vrai si K est un corps de fonctions algébriques. 2) Si K contient une valeur absolue réelle ou de degré 1, alors = ^>. 4) GRAPHES Soient x et y t (resp. ) on dit que x et y sont "voisins" ssi [2] : {ZEOnIO} ; VIE S, | Z | . < sup^xl^ly^}} = 0 et Y désignera (indistinctement) les couples de points voisins de (resp. cè,*^). Alors ()^,Y), (S, Y) et Cc£̂ ,Y) sont des graphes tels que : OS,Y) c (2,Y) cz Çjf9Y) Proposition 1 .- opère sur Çlf9Y) , (S ,Y) et ,Y) . Définition 3.- Les graphes Çê ,Y) , (cg; ,Y) , (Cj/,Y) seront appelés les graphes des classes de commas, points extrémaux et faces de (9 . Théorème 2 (Théorème de Lagrange).- Lorsque K est un corps global (nombres algé-briques, ou fonctions sur un corps de constantes k fini) ces trois graphes sont finis et connexes. (La démonstration utilise le théorème 3). Exemples : 1) Si K = QCvcT), d > 1 sans facteurs carrés, lu = anneaux des stabilisa-teurs de <1 ,VcT> et ïï = période du développement de vcT en fraction continue. Alors et T = Ĉ* ,Y) est une chaîne de longueur TT avec des boucles en chaque point. 2) On pose A = Vx3-6X+6 € Q(4)) et x K = Q(j,X,A) 0= A = Q(j)[X,A] où j désigne une racine primitive cubique de l'unité dans C, alors = c£ = 3^ et Y est : 294 INVARIANTS ARITHMÉTIQUES r J>1 x b2^ a>< v d2 B3 r •d3 ( Les boucles en chaque point n'ont pas été représentées) Point Fonction de A Partie à l'infi-ni du diviseur a 1 (0,0,0) bi X -A (1,-1,-D b2 X - j2A (-1,1,-1) b3 X -JA (-1,-1,1) C3 jX2+2(l-j)+j2XA+A2 (1,0,-2) d3 2 2 2 2 J X +2(l-J )+jXA+AZ (1,-2,0) cl jX2+2(l-j)+jXA+jA2 (-2,1,0) dl 2 2 2 2 j X +2(l-j )+XA+jA (0,1,-2) c2 jX2+2(l-j)+XA+j2A2 (0,-2,1) d2 2 2 2 2 2 jV+2(l-j)+jZXA+jV (-2,0,1) ii. APPLICATIONS 1) ALGORITHME On prend pour corps K une extension finie de k(X) dans laquelle k est algébriquement fermé et pour A la fermeture intégrale de k[X] dans K. S sera l'ensemble des valeurs absolues I I telles que |x| >1 et on posera s = Card(S). On va montrer que si s > 2, on peut construire des suites (x̂ ) de points extrémaux telles que XQ = 1 . Ces suites se propagent dans une certaine "direction" (vocabulaire d'E. Dubois) sur une "branche" du graphe (S,Y). Pour fixer les idées, nous choisissons une injection {1,2,...,s} • S et nous construisons, par récurrence, une suite appartenant à la direction d'indice 1. Supposons XQ,...,xn construits, on pose: D . = {x € AMO} ; |x| . < |x | . ,Vi t 1} n+1 1 1 1 1 n1 1 On sait que Dn+j ^ Posons : Yj := inf (|x|^ ; x G Dn+j) E[ - {x £ Dn+1, |x|j - y,} YI est atteint sur D . car les valeurs absolues sont discrètes. 1 n+1 11 est clair que E, 295 Y. HELLEGOUARCH, R. PAYSANT-LE ROUX Posons : ŷ  = inf {|x|̂  î x £ Ê } y2 est atteint sur Ej pour la même raison que ci-dessus. Soit E2 = {x € Ej ; |x|2 = Y2>, e tc . . Finalement, on choisit x . dans E . n+1 s Il est clair que x . £ ~Ù . D'autre part E c D . donc : ^ n+1 r s n+1 |x . I . < |x I. pour tout i G S Ml} 1 n+1 1 1 1 n1 i r Si on avait |x ,. . < |x I., x ne serait pas extrémal, donc |x I.. 1 n+1 1 1 1 n1 1 n r 1 n+1 1 1 1 n1 1 Finalement x et x . sont voisins car : n n+1 lyl. < sup {|x I., |x ,, | .} pour tout i € S 111 1 n'i ' 1 n+1'l entraîne, en particulier, que y G n̂+j ' donc que |y|j > ŷ  , ce qui est absurde. 2) DÉTERMINATION DE CORPS AYANT DES UNITES NON TRIVIALES Cette détermination repose sur le résultat suivant : Théorème 3.- On pose Kq = k(X), S comme plus haut. Si x G ̂  (resp. ÉJV^) sa norme NK/K (x) est un polynôme de k[X] dont o le degré est borné par une constante qui ne dépend que de K (et du fait que x G ^ , resp. 2 , -=6 . Exemple.- Si x G £T, deg NK/K (X) O ?enre de K. Comme l'extension K/KQ peut dépendre d'un certain nombre de paramètres, la condition deg N / (x) = 0 permet de fixer ces paramètres dins certains cas, voir ci-dessous 11,4. 3) RAPPORT AVEC LA TORSION DE LA JACOBIENNE On associe à chaque valeur absolue 11̂  de V une place P̂  de K; on sait que le groupe o& des diviseurs de K est le groupe abélien libre engendré par les P,. h Les places P̂  qui correspondent aux valeurs absolues IL € S engendrent un sous-groupe A/W que l'on appellera le groupe des diviseurs "à l'infini". 296 INVARIANTS ARITHMÉTIQUES On désignera par <£ï Q ê sous_groupe des diviseurs de degré zéro et on posera 4ii/Q = SDq flW comme dans [3]. Théorème 4.- Soit CP le groupe des diviseurs principaux de E, alors si l'on désigne par ^ le groupe U/^ , on a ^ = n (P. Si l'on désigne par J le groupe 2̂) q/(p (jacobienne de k) par le sous-groupe •/̂ /M/0//j/f/(/ n C? et par ^ sous~§rouPe de torsion de J^, on a : o Corollaire.-1) rang (Jœ/T) + rang ) = s-1 2) En particulier, si k est fini, rang ) = s-1. Exemple : Dans le deuxième exemple ci-dessus : s = 3 et rang vĵ  ) = 2, on en déduit que = T. Cas particulier On suppose que K = k(X,Y) avec YP = D(X) où D(X) est un polynôme uni-taire de degré pm sans racine multiple. On suppose aussi que p est premier, que p ^ caractéristique de k et que k ne contient pas de racine primitive pieme de l'unité. On prend pour A la fermeture intégrale de k[X] dans K ; S est alors constitué de deux éléments 11̂  et 11^ où 11̂  désigne la valeur absolue de degré 1 et I\̂  la valeur absolue de degré p-1. Soit (x̂ ) la suite des points extrémaux (è ="é> ) appartenant à la direc-tion d'indice 2 et (x_n) celle des points extrémaux appartenant à la direction d'indice 1. Le graphe T = Çê tY) que l'on obtient est une chaîne (avec boucles) de sommets x tels que : n 'Vi l i < lxJi X .. L > X L pour tout n € Z On dira que ce graphe est pseudo-périodique de période n ssi la suite des Xn+1 a = est telle que la suite (div(a )) est périodique de période ïï. Si x = Uo+UjY+. . . + Up_1YP , avec 0\ € k[X] et si A = D(X) P <E k((^)), on a : 297 Y. HELLEGOUARCH, R. PA YSANT-LE ROUX 1*1, - K+U,A+...+U ,AP-1| IxL - I Ki<p-1 (U +U.çV...+U ,ç(P_1)IAP"1}| O 1 ' p-1 1 ou Ç designe une racine primitive p de 1 unite. Un calcul simple montre que si 0 < |x|j < 1, on a : |x|. = |x|(p_1)deg U(x) avec deg U(x) := sup {deg Uq, deg UjA,...,deg Û_̂AP ̂ } Théorème 5.-1) Les conditions suivantes sont équivalentes i) ^ est non trivial ii) T est pseudo-périodique iii) T est fini iv) (p-l)P -P2 est d'ordre fini sur J oo 2) Si, de plus, £ désigne l'ordre de (p-l)Pj-P2 et TT la pseudo-période de (xn), on a : £ = deg U(x ) 3)Si p > 3, on a : |TT+in-l < £ < m + (TT-1) si m < p-1 n+m-1 < £ < m + (P+^)M (TT-1) si m > p-1 Corollaire. - Si p = 3 et m = 1 , on a £ = TT. 4) FAMILLES D'UNITÉS DES CORPS CUBIQUES DU TYPE Q( Va N +3N+y) Une famille d'unités de corps cubiques purs sera ici la donnée d'un polynôme 3 3 3 2 3 a X +3X+Y à coefficients rationnels avec a 4- 0 et 27a y 4 0 tel qu'il existe trois polynômes U ,U et U à coefficients rationnels vérifiant la pro-° 2 3 3 3 priété que le nombre e(N) = UQ(N)+UJ(N)A+U2(N)A , A = a N +3 N+y, est une unité du corps cubique pur $(A(N)) pour une infinité de N. Notre but est de déterminer toutes ces familles d'unités. On remarque que si e(N) est une suite de corps Q( va N +3N+y) pour une infinité de N alors le corps de fonctions (Q(X,Y) où 3 3 B . . . Y = X +aX+b, a = —, b = y, possède une X-unité non triviale. 2 L'algorithme précédent, permet alors de trouver tous les couples (a,b) € Q tels que le corps de fonctions considéré admet une X-unité non triviale et d'en 298 INVARIANTS ARITHMÉTIQUES déterminer une X-unité fondamentale dans le cas où X +aX+b n'a pas de racine multiple. En effet, la cubique Y = X +aX+b mise sous forme de Weierstrass est de 2 3 * la forme Z = T -d où d € <Q et d'après Fueter [4] cette cubique a comme groupe de points de torsion sur Q, {0} ou ^"^Z OU ^3Z °U ^6Z* D'après le corollaire du théorème 5, il suffit alors de trouver les couples (a,b) tels que les points extrémaux x ,̂ x2> x3> x£ soient des unités. P. Toffin et B. Vallée, grâce à un calcul fait sur Mac Syma, ont trouvé les 6 premiers points extrémaux. Donnons les deux premiers : Xj = -X+A, c'̂ Cxj) = aX+b x2 = -9b2X2-3ba2X+a4+(18b2+3a2)X+3ba2A+(-9b2-3a3)A2 Ĉ (x2) = (-9a10b-135a7b3-729a4b5-1458ab7)X+a12-135a6b4-729a3b6-729b8 On cherche alors les couples (a,b) tels que le coefficient de X dans l'expression tl^(x^) (i = 1,2,3,6) s'annule. On en trouve uniquement pour i = 1,2,3 (voir tableau). Nous allons donner le résultat sous forme de tableau, mais avant on doit se poser la question : Etant donnés deux corps de fonctions Q(X,Y) et Q(XJ,YJ) avec 3 3 Y = X +aX+b Y3 « X3+alVbl f Q[X] = Q[Xj] à quelle condition a-t-on < ? [ Q(X,Y) = Q(Xj,Y}) La réponse est oui si et seulement si il existe un c G Q tel que : 2 , 3 â  = c a, bj = c b. . . 3 Si cette condition est remplie, on dira que les deux polynômes X +aX+b et 3 Xj+â Xj+bj sont équivalents. Théorème 6.- A équivalence près, les seuls polynômes pour lesquels le corps de fonctions Q(X,Y), Y3 = D(X), D(X) = X3+aX+b, a, b € <Q, 27b2+4a3 4 0, admet une unité non triviale, sont donnés par le tableau : 299 Y. HELLEGOUARCH, R. PAYSANT-LE ROUX D(X) £q(X,Y) : unité fondamentale de K cly : norme Graphe X3+b -X+Y b X3+aX j +3XY _ 3Y2 a a 1 X3-6X+6 -X2-2X+4+2Y+Y2 4 X3-9X+9 3 3 ^- - 3X+4+(- *_-x+2)Y+Y2 1 Q. a a on peut, dans ce tableau, supposer b sans facteur cubique et a sans facteur carré. g En remarquant que si e(X,Y) est une X-unité de norme c € Q* alors est une unité de norme 1, on trouve dans chacun des cas, une unité fondamentale du sous-groupe des X-unités de norme 1. Si ê (X,Y) désigne une unité fonda-mentale de ^ il faut regarder s'il existe une infinité d'entiers N pour les-quels £j(N,A(N)) soit un entier, ce que l'on vérifie aisément pour toutes les va-leurs de (a,b) trouvées ici. Finalement, on obtient : Corollaire.- Les seuls polynômes a X +3X+y, à coefficients rationnels avec a ^ 0 et 27a y +43 ^ 0 pour lesquels on puisse définir une famille d'unités sont ceux (une fois mis sous la forme X,3+aX'+b, a =̂ -, b = y) qui sont équivalents aux poly-nômes donnés par la 1ère colonne du tableau. RÉFÉRENCES [1] Y. HELLEGOUARCH, R. PAYSANT-LE ROUX.- "Commas, points extrémaux et arêtes des corps possédant une formule du produit". C.R.M. Ac. Sc. Canada, 1985. [2] H. APPLEGATE, H. ONISHI.- "Periodic expansion of modules and its relation to units". Journ. of Number Theory 15, 283-294, 1982. [3] R. PAYSANT-LE ROUX, D.L. Mc QUILLAN, Y. HELLEGOUARCH.- "Unités de certains sous-anneaux des corps de fonctions algébriques". C.R.M. Ac. Sc. Canada 1985. [4] R. FUETER.- Uber kubische diophantische Glichungen, Commentarie Mathematici Helvetici,Vol 2 (1930), p. 69 Y.HELLEGOUARCH, R.PAYSANT LE ROUX Département de Mathématiques Esplanade de la Paix 14032 CAEN CEDEX 300 

Invariants arithmétiques des corps possédant une formule du produit; applications

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