Lejeune-Dirichlet

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

LEJEUNE-DIRICHLETSur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiplesJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 4 (1839), p. 164-168.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1839_1_4__164_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPA164 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Sur une nouvelle Méthode pour la détermination des Intégrales multiples ; Pas M. LEJEUIVE-DIRICBLET (*). On sait que revaluation ou même la réduction des intégrales multiples présente généralement de très grandes difficultés, lorsque les inégalités de condition qui définissent l'étendue des intégrations, renferment à la fois plusieurs des variables. En m'occupant de quel-ques questions de Physique mathématique qui dépendent, en der-nière analyse, de l'évaluation d'une classe d'intégrales multiples d'un ordre indéfini, j'ai été conduit à une méthode qui parait diminuer, dans beaucoup de cas, les difficultés dont je viens de parler. Cette mé-thode consiste simplement à multiplier l'expression qu'il s'agit d'in-tégrer par un facteur dont la valeur est égale à l'unité dans l'étendue que les intégrations doivent embrasser, et qui s'évanouit en dehors de cette étendue. L'expression différentielle ainsi modifiée, pouvant être intégrée entre des limites constantes et très simples, telles que ο et œ, ou — oo et oo, la question sera le plus souvent beaucoup plus facile à traiter. C'est çe procédé que je vais appliquer à quelques problèmes particuliers. Pour premier exemple, je choisirai la ques-tion si célèbre de l'attraction des ellipsoïdes homogènes. La méthode appliquée à ce problème présente cela de remarquable, que la solu-tion pour les deux cas d'un point extérieur et d'un point intérieur, qu'on avait toujours ramenés du premier au second, ou traités par des moyens tout-à-fait différents, résulte d'une analyse uniforme , qui s'étend généralement à toute loi d'attraction proportionnelle à une puissance quelconque entière ou fractionnaire de la distance. La même (*) Cet article est extrait des Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Voyez tome VIII, page i56. (J. L.) PURES ET APPLIQUÉES. i65 analyse ramène ce problème aux quadratures, lorsque la densité, au Heu d'être constante, est une fonction quelconque rationnelle et en-tière des trois coordonnées rectangulaires; mais, pour plus de simpli-cité , je supposerai la densité constante et égale à l'unité. Soient χ, y, ζ, les coordonnées d'un point quelconque de la masse attirante, a,b,c celles du point attiré. Posons p'= (x—■a)1-|-( —b)% -f-(z—c)' et soit ■— la loi de l'attraction, la constante ρ étant sup-posée comprise entre a et 3, cas auquel il est facile de ramener tous les autres. Cela posé , la question se réduit à déterminer l'intégrale triple suivante , dont le coefficient différentiel pris par rapport à a, donne la composante de l'attraction parallèle à l'axe des χ, que je dé-signerai par A : -τ±ίίίψ*"> (£>'+(?)'+©'<'■ Or, comme l'intégrale - j* cos gφάφ est égale à l'unité ou à zéro, suivant que la constante positive g est inférieure ou supérieure à l'unité, on conclut que l'intégrale (i) est la partie réelle de celle-ci : /·· sinf ( ΓC[Q + (5)" + G)'] * ^_I dxdydz *(/> —0 J ο VJJJ* ' les intégrations par rapport aux variables χ, y, ζ pouvant mainte-nant s'étendre depuis —00 jusqu'à co . Pour obtenir l'intégrale triple relative à ces variables, on exprimera la fraction = —~Ρ~ι > Par (P1) -une intégrale définie, au moyen de la formule connue d'Euler, que M. Poisson a démontrée et qui suppose les constantes q et r positives, et de plus r < ι : t de plus r < i I Il viendra ainsi, en remplaçant p* par sa valeur, 166 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES -V I I d*.* a ~V""M"f"')V U désignant, pour abréger, le produit de trois intégrales simples, dont celle relative à ce est, en vertu d'une formule connue qui dérive de l'équation (a), Γ ν- /-r- -^rtr~·,+v,—, J *>+1° ' ' ' En substituant cette valeur et celles des deux autres intégrales de forme analogue, remplaçant ensuite la variable Ϋ par une autre s telle que Ϋ = ~, différentiant par rapport à a, et observant qu'on a (ϋ£,·)·= on trouvera ν/(-Γ·)Χ·+?)(■+?) J. ' Cette expression devant être réduite à sa partie réelle, tout revient à -{p-rt \/—< ρ v— ύηφ avoir celle de ' ' I TZl· en Ρ08*"1 » pour abréger, à' , é* e* ' |8* + * + y»+/ Or, cette intégrale, en y remplaçant sïnφ par des exponentielles ima-ginaires , sera immédiatement donnée pàr l'équation (a), en ayant PURES ET APPLIQUÉES. 167 soin d'observer que le second membre de cette équation doit être remplacé par — > lorsque q a une valeur négative. On trouve ainsi que la partie réelle qu'il s'agit d'obtenir est zéro, ou r(f-,) sinÇ 2(( — 2γ(2—|)(l— <r)* suivant que σ > ι ou σ < ι. I. Si le point est intérieur, on aura — -j- ^ + — <11, et par con-séquent aussi 7 < 1, la variable s étant positive. Il viendra donc simplement 2απ* ι I ds s / a* b* c* \ 2 . 7F1F1TFÎ) H. Si le point est extérieur, on déterminera la racine positive uni-que λ de l'équation <7 = 1, et l'on aura évidemment σ> 1 ou ît<i, suivant que s </\ ou ί>λ. L'expression de A sera donc, dans ce cas, 2«71- * 1 | ·? ^ Λ" ê2 c' ^ 'Vf’-?)./ x/o Si dans cette dernière expression on écrit λ -|- s au lieu de s , et qu'on fasse α· + λ=«", /3·+λ=/3'·,6' = ̂ , >·Η-λ=>'·, C'=y, elle prendra la même forme que celle qui se rapporte au point inté-rieur, comme cela doit être en vertu du théorème des points corres-pondants, dû à M. Ivory, et qui, comme M. Poisson en a déjà fait 168 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ta remarque, s'étend à toutes les lois d'attraction en fonction de la dis-tance. Il est sans doute inutile d'ajouter que l'analyse que nous ve-nons de développer, s'applique à toute intégrale dont la forme est semblable à celle de l'intégrale (ι), et quel que soit le nombre des variables qu'elle puisse renfermer. Comme second exemple, j'indiquerai l'intégrale V = f af-yt—'g-*., ..dxdydz...., qui doit être étendue à toutes les valeurs positives de x,y, 2,... telles qu'on ait rp pfpnriiip a tnntPC IPQ vftlpnrc n les constantes a, b, c,... ρ, q, r,... ctf β étant également positives. Par une analyse toute semblable, on parvient à cette ex-pression très simple, qu'on peut aussi obtenir par d'autres moyens, et qui renferme un grand nombre de résultats relatifs aux volumes, aux centres de gravité, moments d'inertie, etc. : » ^ 7 • • • s pqr En terminant, je ferai observer que l'intégrale transformée que l'on obtient au moyen du procédé indiqué, peut, dans beaucoup de cas, devenir indéterminée, à cause des limites infinies. Pour éviter les difficultés et même les inexactitudes que cette circonstance pour-rait faire naître, on aura recours à l'artifice ingénieux dont MM. Pois-son et Cauchy ont fait usage dans différentes recherches, et qui consiste à remplacer l'intégrale proposée par une autre, dont la première puisse être considérée comme la limite, et qui reste complètement détermi-née, lorsqu'on lui applique la méthode dont nous venons de donner quelques exemples. 

Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples

http://www.numdam.org/item/JMPA_1839_1_4__164_0.pdf

Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques