Lebesgue, V. A.

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V. A. LEBESGUEDétermination des centres de gravité des fuseaux etdes onglets de révolutionJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 4 (1839), p. 60-62.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1839_1_4__60_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPA6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Détermination des centres de gravité des fuseaux et des onglets de révolution; Pau Y. A. LEBESGUE, Professeur à la Faculté des Sciences de Hordeaux. Dans tout solide de révolution, le centre de gravité d'un fuseau, ou surface comprise entre deux méridiens et deux parallèles, et celui d'un onglet, ou volume compris entre les mêmes plans et le fuseau, sont situés sur le méridien qui divise l'angle du fuseau ou de l'onglet en deux parties égales; il suffit donc de connaître leur projection sur l'axe et leur distance à cet axe. Soit u=tpx, la génératrice plane d'une surface de révolution, dont l'axe est celui des x; soit S la surface d'un fuseau, et V le volume d'un onglet d'angle i\ et compris entre les deux parallèles, ayant pour équations l'un a: = a, l'autre x = /3. Si l'on représente par x, la distance à l'origine des coordonnées, de la projection du centre de gravité du fuseau, par u, la distance de ce centre à l'axe des x, et par X, et U, les quantités correspondantes pour l'onglet, on aura S = saJ" *uds (i), Sj:,=2λÇ^uxds (2), S«,=2sinAy ' u'ds (3), V= λÇ*u*dx (4), VX, = h^u%xdx (5), y\],=^suiAj^^usdx (6). Les formules (1) , (2), (4), (5), sont démontrées dans tous les traités de Mécanique : voici la démonstration des deux autres. Si l'on prend pour plan des zx celui qui divise l'angle du fuseau en deux parties égales, le z, de la formule générale Sz« —fjzdxdy J/1 + p% -f- <7*, devient égal à u, : or l'équation de la surface de révolution est z'-«*, d'où q — P=dï= ; · di' a,nsi Vi-f-f+9'= ; V' + Cs) =ΊΤΧ> PURES ET APPLIQUÉES. 61 ds étant !a différentielle de l'arc de la courbe génératrice. On a donc Su, — ffudjds = f(f dy) uds; or on voit de suite que l'intégrale fdy doit être prise depuis — tisinA jusqu'à wjsinA, ce qui donne Sm, = a sin Λ/m'î/î; il reste à intégrer par rapport à χ depuis xzzzct, jusqu'à ατ=/3: donc S«,=2sinAJ^u*ds, où ιι=φχ, ~=γ/i-f-('^0 · Quant à la formule Yz, = fJfzdxdjdz, elle devient VU, = f{ffzdydz)dx: or, on reconnaît dans l'intégrale double ffzdydz, prise entre les limites convenables, la somme des éléments du secteur que l'on obtient en coupant l'onglet par un parallèle, multipliés par leur distance au diamètre perpendiculaire à celui qui diviserait le secteur en deux parties égales. Cette intégrale égale donc le secteur circulaire, multiplié par la distance de son centre de gravité à l'axe des x. Or, comme il est facile de le voir, le secteur égale u%A, la distance de son centre à l'axe est | 0n a donc | sin Àu3 pour valeur de l'intégrale double , d'où la formule VU, = ^ sin }.j u3dx. Ces formules montrent presque immédiatement que si l'on a cal-culé la position du centre de gravité d'un fuseau S et d'un onglet V d'angle ?.λ , une simple proportion suffira pour avoir celui d'un autre fuseau S' et d'un autre onglet V', d'angle différent ζμ, mais com-pris entre les mêmes parallèles. En effet, si l'on élimine S entre (i) et (2), et V entre (4) et (5), l'angle λ disparaît; ainsi χ, et X, restent les mêmes, quel que soit l'angle du fuseau, pourvu que les limites α et β ne varient point. Quant à u, et U,, on trouve le A disparaît ; ainsT~â le du fuseau, ponrva taat à «, et U,, on tro U 2 sin A J λ Pour un autre fuseau et un aulre onglet d'angle ζμ, on aurait sem-blablenient, si a, β, restent les mêmes , sln/« J « fu'J, ' ~ 3 ~ fïu,dx' 6a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES d'où les proportions u · u " U * U' ·· · Άημ · c'est-à-dire que la distance du centre de gravité du fuseau, ou de l'onglet, à l'axe de révolution, varie comme le rapport de la corde ι sin λ à l'arc 2λ. Cette proposition se démontre très facile-ment à priori par la considération des infiniment petits. Exemples. Si l'on considère la demi-surfàce sphérique comme un fuseau d'angle 7r eugendrépar la révolution d'une demi-circonférence, on aura λ =r^, u, r, car on peut aussi regarder cette surface comme une zone ayant pour hauteur le rayon r de la sphère; la proportion donnera donc «, = ^ irr. pour la distance g l'axe du centre de gravité d'un fuseau entier, d'angle αμ. Pour l'onglet on trouverait U, = 7rr. en le décomposant en pyramides infiniment petites, ayant pour sommet le centre de la sphère. Pour le demi-fuseau et le demi-onglet engendrés par la révolution d'un quart de cercle, u, et U, ne changeront pas; mais on aura x, = ~r, X, — gri tandis qu'on avait dans le premier cas χ, = o, X, = o. Pour le triangle sphérique trirectangle, et pour la pyramide sphé-rique correspondante, il faut faire = d'où x, = - r et u, = - ri/a, X. =. ô r et U, = δ r Va. Cela se vérifie immédiatement, car pour le triangle sphefique trirectangle, le centre de gravité est sur chacun des plans perpen-diculaires au milieu des rayons menés du centre de la sphère aux sommets du triangle, de là on tire x, et u,, puis X, et U, par le raisonnement connu pour passer de la zone au secteur sphérique. 

Détermination des centres de gravité des fuseaux et des onglets de révolution

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